没人能正确使用图灵的自行车，很会数学的除外

现在网上流行没有人能正确使用我的东西。

其实很早之前数学家图灵就做到了没人能正确使用他的自行车。

处理事情上，他总和别人不同，并且自有一番自己的道理。

用领带系裤腰带，骑自行车带防毒面具，当然数学题解法也常常与老师要求不同。

很符合大众眼里天才总是独特且奇怪的刻板印象，数学故事大王斯图尔特是怎么讲述他的？或许数学家的人生故事比网文还精彩！

01

没人能正确使用图灵的自行车

据布莱奇利园的同事杰克·古德（Jack Good）说，图灵患有花粉症。他是骑自行车上班的，每年6月都要戴上防毒面具，好避免接触花粉。

他的自行车有点儿问题，经常掉链子。于是，图灵随身携带一罐油和一块抹布，以便在复位链条后做好清理。

终于，他厌倦了来回折腾，决定更为合理地解决问题。他开始计算踏板在链条两次脱落之间转动了多少圈。

这个数非常稳定。将它与自行车链条的节数和后轮的辐条数比较一番之后，他推断出，只要链条和车轮处于某个特定的位置，链条就会脱落。接下来，他不断计数，以便在链条即将脱落时提醒自己，并采取一种操作方法避免掉链子。他不再需要带油和抹布了。最后，图灵发现有一根略微弯曲的辐条碰到了一节损坏的链条。

这也算是理性的胜利了，只是其他人会把自行车送去维修店，修理师傅会更快速地查出问题所在。

但是换个角度看，图灵没有这样做，不仅节省了修理费，也确保了没有其他人骑他的自行车。

正如在其他事上一样，他有自己的一番道理，只不过和其他人不同而已。

02

很受欢迎的书呆子

图灵的父亲朱利叶斯·图灵（Julius Turing）在印度做公务员。他的母亲埃塞尔·斯托尼（Ethel Stoney）是马德拉斯铁路总工程师的女儿。这对夫妇希望他们的孩子在英国长大，因此搬到了伦敦。图灵是两个儿子中的老二。6岁时，他去海滨城镇圣伦纳兹（St Leonards）上学，女校长很快发现他异常聪明。

到了13岁，图灵进入舍伯恩（Sherborne）学校，这是一所独立的“公学”，在颇有几分奇特的英式说法中，这种学校是私立的，需要付费，生源多为富家子弟。和大多数同类学校一样，这里非常重视古典学。

图灵的字写得不好，英语也很差，甚至在他最喜欢的科目数学上，他也更在意自己的解答，而不是老师要求的答案。无论由此产生的影响是好是坏，他都赢得了所有数学奖项。他还喜欢化学，但同样偏爱自己捣鼓。

他的校长写道：“如果他只想成为一名科学专家，那他来公学就是在浪费时间。”

这话说得很对。

学校不知道的是，图灵在课余时间通过阅读爱因斯坦的论文知道了相对论，又通过阅读阿瑟·埃丁顿（Arthur Eddington）的《物理世界的本质》（The Nature of the Physical World）知道了量子理论。1928年，他与高他一年级的克里斯托弗·莫科姆（Christopher Morcom）成为好友，他们对科学有着共同的兴趣。但不到两年，莫科姆就去世了。

图灵悲痛至极，但他在求知上依然勤勉，并赢得了去剑桥大学国王学院学习数学的机会。图灵继续阅读那些远远超前或者说超出本科课程的教材。他于1934年毕业。

图灵其人极为不修边幅。即使穿西装，他也很少熨烫好。据说他是用领带系裤子的，有时也用绳子。图灵笑声洪亮但不大悦耳，甚至有点儿像驴叫。他还有语言障碍，但与其说他结巴，倒不如说他在头脑中找寻合适的词时会突然顿住，开始“啊，啊，啊……”。他刮起脸来不大细致，总是有点儿胡子拉碴的。

他经常被描绘成一个神经兮兮、不善社交的书呆子，但实际上他人缘不错，很受欢迎。图灵表面上的古怪主要源于原创性，他思考的内容和他的思考方式都很独特。在研究问题时，图灵会发现其他人完全觉察不到的角度。

一年后，他学习了马克斯·纽曼（Max Newman）关于数学之基础的研究生课程，从中了解了希尔伯特的计划，以及哥德尔是怎样让这个计划破产的。

图灵意识到，哥德尔关于不可判定的定理实际上是有关算法的。针对一个问题，如果存在提供答案的算法，那么这个问题就是可判定的。面对给定的问题，能找到对应的算法就意味着你可以做出证明。而不可判定则更深奥、更难对付：你必须证明不存在这样的算法。

为了让这番探索继续下去，算法本身必须先有一个精确的定义。哥德尔实际上讨论过这个问题，他把算法看作公理系统中的证明。而图灵则开始思考如何对算法进行一般形式化。

03

图灵的两个重要定理

1935 年，因为独立发现了概率论中的中心极限定理，为统计推断中“钟形曲线”，即正态分布的广泛使用提供了依据，图灵成为国王学院的研究员。1936年，随着重要论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》（“On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”）发表，他对哥德尔定理的思考脱颖而出。在这篇论文中，他证明了一种形式上的计算模型（现在称为图灵机）的不可判定定理。

图灵指出，任何算法都无法事先判定计算是否会在得到答案后停止。他的证明比哥德尔的更简洁，尽管两者都需要先用一些技巧来建立情境。

虽然名称中有“机”，但图灵机是抽象的数学模型，代表一种理想化的机器。图灵称它为“a机”，其中a代表“自动的”（automatic）。

我们可以想象一条带子，上面分出了一系列相邻的小格子，格子里要么是空的，要么包含一个符号。这种带子像是机器的存储器，长度没有限制，但存在尽头。到达尽头之后，你可以继续增加新的格子。有一个部件位于初始格子的上方，负责读取其中的符号。然后，它会查阅规则表（由用户提供程序），在格子中写入一个符号（覆盖已存在的任何符号），并将带子移动一格。接下来，根据规则表和符号，机器要么停止，要么针对新的一格完成表中关于符号的指令。

图灵机有许多变体，但就能够完成同类计算来看，所有变体都是等价的。事实上，这种最基本的机器在原理上可以计算数字计算机所能计算的任何东西，无论后者有多么快速和先进。例如，使用包括0～9在内的一些符号，图灵机可以通过编程将π计算到小数点后任意位数，并写入带子上的一连串格子，最后停止。对如此简单的设备来说，这样的通用程度似乎令人惊讶，但计算有多复杂要看规则表，规则表也许相当不简单。这就好比计算机会做什么，取决于其中运行的软件。

然而，图灵机的简洁也导致了它的缓慢，因为即使是简单的计算也需要大量的步骤。它本身并不实用，但这种简洁性使它非常适合用于研究有关计算极限的理论问题。

图灵的第一个重要定理证明了通用图灵机的存在，它可以模拟任何特定的图灵机。在计算开始之前，特定图灵机的程序被编码到通用图灵机的带子上。规则表会告诉通用图灵机如何将这些符号解码为指令，并执行它们。通用图灵机结构的提出是一次重要的进步，将引导人们制造出以内存存储程序的真实可用的计算机。除了一些非常特殊的应用情境，我们不会为每一个问题制造一种新的计算机，并专门编写一个又一个固定程序。

图灵的第二个重要定理和哥德尔有关，证明了图灵机的停机问题是不可判定的。这个问题要求找到一种算法，能够在给定图灵机程序的情况下，判定机器（最终）会得出答案并停止，还是永远计算下去。图灵证明不存在这样的算法，也就是说停机问题是不可判定的。假定存在这样的算法，将该算法构造出的机器应用于自身程序，问题就被巧妙地转换成了当且仅当原机不停机时，模拟机才会停机。

于是矛盾出现了：模拟机会停机就意味着不会停机，不会停机就意味着会停机。我们已经看到，哥德尔的证明最终被编码为一个形似“此陈述为假”的陈述。图灵的证明则更简单，它更像是一张卡片，卡片的两面分别印有下面两句话：

卡片另一面的陈述是真的。

卡片另一面的陈述是假的。

两条陈述都分两步暗示了自己是站不住脚的。

图灵向《伦敦数学学会会报》（Proceedings of the London Mathematical Society）提交了他的论文，但他并不知道，几周前美国数理逻辑学家阿朗佐·丘奇（Alonzo Church）刚在《美国数学期刊》（American Journal of Mathematics）上发表了《初等数论中的一个不可解问题》（“An Unsolvable Problem in Elementary Number Theory”），为哥德尔的算术不可判定提供了另一种证明思路。

丘奇的证明非常复杂，但他的论文发表得更早。纽曼劝说编辑部接收图灵的论文，因为它在概念和结构上都要简单得多。而图灵则配合修改，引用了丘奇的作品。

故事有了一个圆满的结局，因为图灵后来去了普林斯顿大学，在丘奇的指导下攻读博士学位。他的博士论文于1938年发表，题目是《基于序数的逻辑系统》（“Systems of Logic Based on Ordinals”）。

《数学巨人传 : 思考、创造的奇趣故事》

作者： [英] 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

译者：张憬

享誉世界的数学科普作家斯图尔特全新力作，聚焦奠定数学发展之路的25位天才，用纯粹思想的力量塑造两千年的世界。

数学巨人不仅创造了数学，更让数学改变了世界。讲述阿基米德、刘徽、费马、牛顿、高斯、黎曼、庞加莱、诺特、拉马努金、等25位数学家的非凡生活和惊人发现。

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