【解题研究】巧用位似理解共线——2026年成都中考数学第26题

【解题研究】巧用位似理解共线——2026年成都中考数学第26题

一元二次方程根与系数的关系，在学生学习完方程解法之后，可以从求根公式推导出来，新旧版教材描述完全相同：

当学生学习完二次函数之后，这个关系又进一步升级，若直线与抛物线有两个交点，则这两个交点的横坐标，也满足这个式子，决定抛物线和直线位置、形状的恰恰就是解析式中的参数，联立方程之后，这些参数刻画出了坐标之间的关系，利用好这个关系，是解函数压轴题的基础。

而位似则是特殊的相似，我们在九年级下册学习的时候，有如下描述：

理解位似图形的概念，对于理解本题帮助极大。

题目

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+2(k>0)与抛物线y=x²相交于A，B两点，C，D两点在抛物线上，且CD∥AB.

(1)若点A的坐标为（-1，1），求k的值和点B的坐标；

(2)在(1)的条件下，记C，D两点的横坐标分别为m，n(m

(3)若AB=2CD，直线AC，BD的交点E恰好落在x轴正半轴上，求点E的坐标和k的值.

解析：

01

(1)将点A坐标代入y=kx+2，求得k=1，直线y=x+1与抛物线y=x²联立方程，解得另一根x=2，则点B(2,4)；

02

(2)CD所在直线解析式设为y=x+t，将它与抛物线联立得方程x²-x-t=0，点C和点D的横坐标m，n，就是这个方程的两个根，所以由韦达定理可得m+n=1；

然后我们来理解函数y=(x-h)²总在x=n处取最大值，这是一个开口向上的抛物线，在给定范围内存在最大值和最小值，然而总在x=n处取最大值，意味着在m≤x≤n内，x=n时函数值最大；

根据二次函数对称性，我们知道，开口向上的抛物线上的点，离对称轴越远，函数值越大，以此反推m≤x≤n内的抛物线上的点，x=n时，该点离对称轴最远，显然函数y=(x-h)²的对称轴是x=h，如下图：

观察红色加粗抛物线和它的对称轴(橙色加粗直线)，不妨把这条抛物线顶点H，x轴上的点M，N单独拎出来，如下图：

第一种情况：当点H在M左侧时，NH最长

当点H在线段MN上时，又有两种情况如下：

这两种情况中，点H可能偏向M或N，即无法判断HN是否最长，但我们也注意到这个“偏”字，啥叫偏？依据是什么？

现在我们终于找到这个关键点了，即MN中点，若点H在中点左侧，我们称“偏左”，则HN最长；若点H在中点右侧，我们称“偏右”，则HN

当然，最后一种情况，当点H在N点右侧，HN

现在我们找到“总在x=n处取最大值”的解决办法了，即只要对称轴x=h在线段MN中点左侧即可，由前面韦达定理可知MN中点横坐标为1/2(m+n)=1/2，所以h≤1/2；

03

(3)注意AB=2CD这个条件，结合前面给出的CD∥AB，很容易联想到三角形中位线，CD是△ABE的中位线，如下图：

设点A(a,a²)，B(b,b²)，我们联立直线y=kx+2和y=x²之后，得方程x²-kx-2=0，于是由韦达定理得a+b=k，ab=-2；

于是我们可得AB中点F的横坐标为1/2(a+b)=k/2，同理CD中点G的横坐标也是1/2(a+b)=k/2，对于图中的△ABE和△CDE，它们是位似图形，点E是位似中心，而点F和点G是对应连上的中点，它们的连线经过位似中心，所以E，F，G共线，其中F，G横坐标相同，意味着EF⊥x轴，即点E坐标为(k/2,0)；

由于点C，D分别是AE，BE中点，由中点公式可得它们的坐标，分别是C(a/2+k/4,a²/2)，D(b/2+k/4,b²/2)，我们将点C坐标代入抛物线解析式y=x²中，推导如下：

综上，k=2√2，E(√2，0).

解题思考

借用线段中点概念和位似图形的概念，理解本题中错综复杂的参数关系，会觉得简单许多，并不需要借助所谓二级结论，事实上个人认为把一些二级结论包装起来的所谓简单，并不是真的简单。

我们在二次函数图象与性质的教学中，关于对称轴，关注点还可以拓宽一些，描述抛物线对称性的视角还可以多样化，在课堂上去拓展视野，比用习题效果会更好，也就是说，教材要求的探索二次函数图象性质，是真的要放手给学生探究。

成都这道函数压轴题质量非常高，函数味道很浓，虽然也有含参方程，但实际上并不需要解，韦达定理已经帮我们建立了它们间的关联。特别是本题最后一问中的AB、CD中点与点E共线，利用位似，更好理解，不需要借助“高级”的知识。

回归课堂，回归教材，把概念深深印在学生脑海中，形成网络，自然就完成了授人以渔。