监测预警基础42-这次学透 ARIMA之第3讲：自相关 & 偏自相关

系列简介

这是我们一系列原创技术贴，从易到难，每天学习一点。所有内容均为疾控数据分析、科研论文相关，或者说很多和现在的热门监测预警相关，所以我们这个系列就叫“监测预警基础”。

今天是第42节，这算是我们一个小专题吧，大概11讲，我们细化，短篇化，彻底把ARIMA模型搞懂。

今天是学透ARIMA专题第3讲的内容，学习自相关和偏自相关，也是要理解后续内容非常重要的概念，是你要懂ARIMA就必须弄懂的概念。

上一篇我们搞定了 ARIMA 的第一道门槛：平稳性与差分。

把数据处理成平稳序列后，接下来就要给模型定阶——也就是确定 AR 的阶数 p 和 MA 的阶数 q。

很多同行学到这里会卡壳：自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），看着长得差不多，到底有啥区别？常说的 “截尾”“拖尾”，到底怎么判断？两个图看来看去，还是不知道 p 和 q 选几？

这一篇我们就用疾控场景的例子，彻底讲清这两个核心工具，全程不用记公式，看完就能看懂图、会初步定阶。

1. 从 “普通相关” 到 “自相关”
相关我们肯定都知道，我们平时说的相关系数，是衡量两个不同变量的关联，比如 “气温越低，流感病例数越高”，就是气温和流感病例的相关性。
自相关，顾名思义就是「自己和自己的相关」—— 衡量的是同一个时间序列里，当期数值和过去某一期数值的线性关联强度。简单说就是：过去的发病情况，和现在的发病情况，到底有多大关系？
我们用流感周病例数举例：
滞后 1 阶自相关就是本周病例数和上周病例数的关联程度；滞后 2 阶自相关就是本周病例数和上上周病例数的关联程度；滞后 52 阶自相关就是本周病例和去年同周病例的关联程度，用来判断有没有年度季节性。
2. 怎么解读自相关系数
自相关系数的取值固定在[-1, 1]，非常好判断：
越接近 1：正相关越强，也就是过去发病多，现在大概率也多，发病有延续性； 越接近 - 1：负相关越强，过去发病多，现在反而少，有高低交替的规律； 接近 0：两者基本没有线性关联，过去的情况对现在没影响。
疾控的监测数据里，绝大多数传染病滞后 1 阶的自相关系数都很高（接近 1），因为发病有连续性 —— 上周病例多，本周大概率不会突然降下来，这也是我们能做预测的基础。
3.最关键的特点：它是「总相关」，包含所有间接影响
这也是它和偏自相关最核心的区别。
自相关系数算的是过去某一期对当期的全部影响，不管是直接作用，还是通过中间期传导的间接作用，全部累加在一起
还是用流感病例举例子，我们看 “上上周病例（滞后 2 阶）” 和 “本周病例” 的自相关，这里面藏着两条影响路径：第一是直接影响，也就是上上周的感染者潜伏期较长，到本周才确诊，直接贡献病例；第二是间接影响，是指上上周的感染者先传染给上周的人，上周的感染者再传染给本周的人，通过 “上周病例” 这个中间环节间接影响本周。
自相关系数，就是把这两条路径的影响全部加起来，得到的总关联强度。

1. “偏” 的核心：剔除中间干扰
“偏” 这个字，意思就是「排除其他因素干扰，单独看」。偏自相关系数，就是把中间所有滞后项的影响全部剔除后，只看某一个滞后期，对当期的纯直接影响
对应上面的流感例子：想知道上上周病例对本周病例有没有直接作用，我们就先把 “上周病例数” 固定住 —— 相当于所有样本的上周病例数都一样，堵死 “上上周→上周→本周” 这条间接路径。这时候再看上上周和本周的关联，剩下的相关性，就是滞后 2 阶的偏自相关系数。
如果固定上周的数值后，上上周和本周就没关系了，说明它们之前的相关性全是靠上周 “中转” 的，没有直接影响，偏自相关系数就会接近 0；如果还有明显关联，就说明存在直接作用。
2. 一个好懂的类比
可以把它想象成家族遗传的相似度：自相关（ACF）是爷爷和孙子的总相似度，里面包含了爸爸的遗传中转，是整个家族血脉的总关联；偏自相关（PACF）是排除了爸爸的基因影响后，爷爷和孙子的直接遗传相似度，只保留最直接的关联。

定阶的核心概念：截尾 vs 拖尾
定阶就是确定p/d/q分别是多少，d是根据我们上一节讲的差分来确定的，p和q是根据我们这一节讲的自相关和偏自相关定的。
看懂了自相关和偏自相关两个系数的含义，接下来要认识两个定阶的关键特征：截尾拖尾这两个词听着抽象，其实非常好理解。
截尾就是到某一阶突然 “断了”。截尾，就像用刀切尾巴，到了某一阶之后，相关系数突然全部落入 0 附近的置信区间（图里的两条虚线），没有统计显著性了，相当于相关性直接消失了。简单判断标准就是超过第 k 阶之后，几乎所有柱子都在两条虚线之间，都接近 0，那就是 k 阶截尾
拖尾就是慢慢衰减，一直 “拖着”。拖尾，就是相关系数不会突然消失，而是逐渐向 0 衰减，可能是慢慢下降，也可能是正弦波动，一直有小幅的波动，不会齐刷刷掉进置信区间里，相当于尾巴拖着慢慢消失。简单判断标准是超过很多阶之后，还是有柱子偶尔超出虚线，整体缓慢衰减，就是拖尾

ACF 和 PACF 是一对互补的工具，两者的截尾 / 拖尾特征组合起来，就能直接判断模型类型和阶数，这是 ARIMA 手动定阶的核心规则。

我们直接对应疾控常用的场景，给大家整理成好懂的规则：

对于新手来说，
1. 一定先平稳，再看图非平稳的序列，ACF 图会出现缓慢下降的趋势，前几十阶都显著为正，根本没法判断截尾拖尾。永远遵循上一篇的流程：先做平稳性检验，数据平稳了，再画 ACF/PACF 图定阶，否则看了也白看。
2. 真实数据不用死抠 “完美截尾”

教材里的理论模型数据，截尾会非常整齐，但我们疾控的真实监测数据，往往会有个别阶数偶尔超出置信区间，不用死抠完美标准。只要大部分滞后项都落入区间，整体呈现截尾趋势，就可以初步定阶。拿不准的时候，配合auto.arima()自动定阶的结果交叉验证就可以，不用死磕手动看图。

看懂了定阶的工具，下一篇我们就正式拆解 AR、MA、ARMA 三个基础模型。

把这篇的定阶规则和模型原理对应起来，彻底搞懂 ARIMA 里的 p 和 q 到底代表什么，模型到底在拟合什么规律。

参考：

《时间序列分析-基于R》. [M] .王燕.中国人民大学出版社出版

传染病预测预警技术及实践案例分析. [M]. 杨鹏, 王小莉. 人民卫生出版社

编辑：普通疾控人 | 审核：诗酒趁年华

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