监测预警基础43-这次学透 ARIMA之第4讲：ARMA 拆开一点都不难！

系列简介

这是我们一系列原创技术贴，从易到难，每天学习一点。所有内容均为疾控数据分析、科研论文相关，或者说很多和现在的热门监测预警相关，所以我们这个系列就叫“监测预警基础”。

今天是第43节，这算是我们一个小专题吧，大概11讲，我们细化，短篇化，彻底把ARIMA模型搞懂。

今天是学透ARIMA专题第4讲的内容，拆开每一部分讲，这样就彻底清楚了。

上一篇我们学习了 ARIMA 定阶的核心工具，但很多新手还是会犯嘀咕：

AR、MA 这两个模型，到底分别在拟合什么规律？难道要先做 AR 才有 MA？两个模型合在一起的 ARMA，又解决了什么问题？

这一篇我们就把三个基础模型彻底拆开讲，全程用传染病监测场景举例，避开复杂数学推导，看完就能搞懂每个模型的本质，以及阶数 p、q 的实际含义。

1. 大白话本质理解
AR 是 Autoregression（自回归）的缩写，核心逻辑非常简单：用过去几期的真实发病数，来预测当期的发病数
这个逻辑完全贴合我们对传染病的常识：传染病发病有连续性，本周的病例数，一定和前几周的病例数直接相关 —— 上周病例多，本周大概率不会突然降下来；上周进入流行期，本周会继续上升。
2. 模型公式与疾控场景解读
p 阶自回归模型记作 AR (p)，公式非常好懂：

我们用疾控的场景对应翻译如下：

3. 现在来理解一下，P阶到底是什么意思？
p 就是自回归的阶数，p 等于几，就代表模型用了前几期的发病数来预测当期
AR (1)：只用上周 1 期的病例数预测本周，适合连续性极强的序列

• AR (2)：用上周 + 上上周 2 期的病例数预测本周

• AR (3)：用前三周的病例数预测本周

• 在疾控实际数据里，流感、手足口这类有连续流行趋势的传染病，大多符合低阶 AR 模型的特征，一般 p 在 1-3 之间就足够。

• 4. 对应定阶特征：

• 呼应上一篇的知识点：AR (p) 模型的 PACF 图（偏自相关图）会在 p 阶截尾，ACF 图呈拖尾状态。比如平稳序列的 PACF 在第 3 阶之后全部落入置信区间，我们就初步判断是 AR (3) 模型，p=3。

MA 是整个 ARIMA 体系里最容易被误解的模型，我们先澄清两个最常见的误区：

第一，MA 的 “移动平均”，不是对病例数的滑动平均，和我们之前讲的做数据平滑用的 7 天移动平均完全不是一回事；

第二，MA 是完全独立的模型，不需要先做 AR 才能得到残差，不存在 “先 AR 后 MA” 的先后顺序。

1. 大白话本质
MA 是 Moving Average（移动平均）的缩写，它的核心逻辑是：用过去几期的突发随机冲击，来预测当期的发病数
什么是突发随机冲击？就是不在常规流行趋势里的意外因素，也是疾控工作里最常见的变量：
正冲击：某周突然出现学校聚集性疫情、境外输入病例引发本地传播、大规模筛查检出大量病例。
负冲击：某周恰逢假期检测量骤降、防控措施落地快速压制了传播。
这些突发因素的影响，不会只持续 1 周。比如一次学校聚集疫情，当周会出现大量病例，第二周还会有续发病例，第三周影响才完全消失 ——MA 模型捕捉的，就是这种 “突发冲击的滞后影响”。
2. 模型公式与疾控场景解读
q 阶移动平均模型记作 MA (q)，公式如下：

我们采用疾控常见的场景翻译一下：

3. q 阶到底是什么意思？
q 就是移动平均的阶数，q 等于几，就代表突发冲击的影响会持续 q 期
MA (1)：突发冲击只影响当期和下一期，第二周就完全消失

• MA (2)：突发冲击会持续影响两期，第三周才消失

• MA (q)：冲击的影响持续 q 期

• 4. 大家最关心的问题：这些冲击（ε）从哪来？

• 理论上，这些随机冲击是构成时间序列的原生因素，是我们假设的、影响发病的意外变量；实操中，软件拟合 MA 模型时，会通过迭代算法，一边计算冲击的权重 θ，一边同步推算出每一期的冲击值，全程不需要我们手动计算，也不需要依赖 AR 模型的结果 —— 你只需要输入原始发病数据，指定 q 的阶数，软件就能自动完成全部计算。

1. 为什么需要组合模型？
单独的 AR 模型，只能捕捉 “发病自身的延续趋势”；单独的 MA 模型，只能捕捉 “突发冲击的滞后影响”。
但我们疾控的真实监测数据，往往两种规律同时存在：
比如流感流行期，病例数既有自身的持续上升趋势（AR 项捕捉）；同时又会受到聚集疫情、寒潮、假期等突发因素的干扰，冲击的影响会持续数周（MA 项捕捉）。
这时候单独用 AR 或者 MA，都没法完整拟合数据的规律，就需要把两者结合起来，也就是 ARMA 模型。
2. 模型本质
ARMA (p,q) = AR (p) + MA (q)，同时用「前 p 期的发病数」和「前 q 期的突发冲击」，共同预测当期的发病数。
它的公式就是把两个模型拼在一起，同时包含自回归项和移动平均项，兼顾了序列的自身延续性和突发波动的滞后影响，是适配性最强的基础平稳序列模型。
3. 对应定阶特征
当 ACF 图和 PACF 图都呈现拖尾状态，没有明显的截尾时，就说明序列同时有自回归和移动平均特征，适合用 ARMA (p,q) 组合模型。

我总结一下，大家可以记住一个最朴素的区分：AR 是 “用过去的病情，推现在的病情”，看的是发病的延续性；MA 是 “用过去的意外，推现在的病情”，看的是突发因素的滞后影响。

很多新手会陷入 “必须手动定阶完美” 的误区，盯着 ACF/PACF 图反复纠结 p 和 q 到底选几。

这里给大家两个疾控建模的实用建议：

第一，手动定阶只是初步参考：真实监测数据很少有理论上完美的截尾，初步定出 p 和 q 的范围就可以，比如 p 可能是 2 或 3，q 可能是 0 或 1；

第二，最终用 AIC 准则筛选最优模型：把初步范围内的组合都试一遍，选 AIC 值最小的模型，就是拟合效果最优的。后面我们讲实操的时候，会教大家用auto.arima()函数一键完成自动筛选，非常方便。

到这里，我们已经把 AR、MA、ARMA 三个平稳序列模型，以及差分（d）都讲完了。

下一篇我们就把三个参数 p、d、q 合在一起，串起完整的 ARIMA (p,d,q) 建模全流程，给大家一套标准化的 5 步建模法，拿到任何监测数据，都知道从哪下手、每一步做什么。

参考：

《时间序列分析-基于R》. [M] .王燕.中国人民大学出版社出版

传染病预测预警技术及实践案例分析. [M]. 杨鹏, 王小莉. 人民卫生出版社

编辑：普通疾控人 | 审核：诗酒趁年华

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