分分合合：物理学与数学——从本届菲尔兹奖得主邓煜的获奖工作谈起 | 凤凰科学传播

2026年7月23日，四年一届的国际数学家大会在美国费城隆重开幕。据官方最新消息，中国数学家邓煜、王虹在本届大会上荣获有数学界诺贝尔奖之称的“菲尔兹奖”，标志着中国青年数学家已在国际数学大舞台上大显身手，着实令人振奋和欣喜。

颁奖典礼现场（图源网络）

邓煜的获奖工作，与著名的“希尔伯特问题”密切相关。近年来，邓煜与合作者在希尔伯特第六问题的研究中取得突破性进展，首次完成了长时间情况下由微观硬球动力学到稀薄气体玻尔兹曼方程的严格数学推导，由此进一步导出宏观流体力学方程，这是数学物理领域的重大成就。

希尔伯特问题是数学大师大卫· 希尔伯特1900年在巴黎国际数学家大会上提出的，共23个，其中第六问题简言之即物理学的公理化。当时，希尔伯特刚在《几何基础》这本著作中完成了几何学的严格公理化，也希望“用同样的方法借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学”。

大卫·希尔伯特

问题是数学的心脏。希尔伯特23个问题对20世纪乃至今日的数学发展产生了巨大影响。迄今为止大多数问题得到解决或部分解决，剩下的都是“硬骨头”。解决希尔伯特问题之一是许多数学家的梦想，也是数学家的荣耀。那么，自问题提出以来，谁研究了这些问题？谁解决了它们？是如何解决的？ 哪些尚未解决？其中经历了哪些波折？主要思想是什么？......这些疑问一直是研究数学、爱好数学、关心数学的人希望深入了解的。

2026年下半年，回答这些疑问的一本科普书《数学家的荣耀——希尔伯特问题及其解决者》，将由江苏凤凰科学技术出版社推出中文版，该书由美国数学科普作家B.H. Yandell花费十年时间倾心写就成，曾获美国数学会“欧拉图书奖”，书中深入浅出地讲述了百年来数学家们上下求索解决希尔伯特问题的历程、故事和核心思想，有利于启发探索精神和创新思维。

下文是书中关于希尔伯特第六问题及其背景的简要介绍，有助于了解邓煜获奖工作的历史渊源，了解当今数学与物理学的密切关系及历史上两者的分分合合。

《数学家的荣耀：希尔伯特问题及其解决者》英文原版

希尔伯特第六问题

希尔伯特第六问题要求对物理学进行公理化，并探究公理体系的内在结构。希尔伯特当年提出这个目标时，似乎有些高估了时代的条件。1900年，物理学家尚未用公理体系构建学科理论。他们的研究方法纵然成效卓著，却缺少统一的规范。（这就好比海盗行事，也不存在一套标准化操作手册。）彼时物理学内部充斥着各种矛盾，而矛盾对物理而言往往是一件好事——它往往预示着新突破即将到来。量子革命的序幕已然拉开。即便是经典物理学的两大巅峰成果：牛顿力学与电磁学，表面上也彼此互斥。因此，在当时开展物理学公理化，时机尚不成熟。曾为新物理学的数学框架做出重要贡献的外尔对此有一段精辟论述：

物理学家需要处理的实验事实纷繁如同迷宫，新现象不断涌现，各类规律的权重与表现形式瞬息万变。除了那些已经发展成熟的物理分支，公理化方法很难在此找到稳固的立足点。爱因斯坦、尼尔斯·玻尔这样的学者，依靠与数学家截然不同的经验和想象力，在黑暗中摸索出广义相对论与原子结构理论，尽管数学无疑是他们不可或缺的工具。由此可见，希尔伯特宏大的物理学构想从未真正实现。

第六问题开篇原文如下：

对几何基础的研究引出这样一个问题：采用公理化方法，以同等方式处理数学在其中发挥重要作用的物理科学；首要对象便是概率论与力学。

概率论的公理化是切实可行的目标，柯尔莫哥洛夫于1933年完成了这项工作。但不加限定词的“力学”一词，却是一个特洛伊木马。韦氏词典对该词的释义为：“自然科学的分支，研究能量、力及其对物体产生的作用。”（和德语中“Mechanik”含义基本一致。）这一定义可以囊括引力、电磁力、强相互作用、弱相互作用，以及不断提出的各类假想作用力。可究竟何为“物体”？这一部分问题至今显然没有得到解决。1974年美国数学学会举办希尔伯特问题专题研讨会，A.S.怀特曼撰写了关于第六问题的专题文章，文中写道：“20 世纪物理学历经两次重大革命，人们或许会认为，希尔伯特当年提出的原始问题如今只具备史料价值。”

但物理学总能不断带来意外。随着学科突飞猛进的发展，新兴理论往往蕴含大量数学工具，或是看似数学的推演手段。有时物理学家会自创一些严谨性不足的新的数学工具，例如1930年前后P.A.M.狄拉克首次使用的狄拉克δ函数，以及至今广泛应用、定义却不够严谨的费曼路径积分。有时他们会重新发掘早已存在的数学理论：沃纳·海森堡提出的无穷矩阵，本质上就是希尔伯特空间的特例。他们有时会与数学家实时交流，比如爱因斯坦当年运用黎曼几何构建广义相对论时。

量子力学创立时期，哥廷根大学知名数学家汉斯·列维曾被问及是否参与过量子力学的发展，他的回答很能反映当时数学家的普遍心态：

没有。我对这套理论十分排斥。从数学思维来看，物理学家的推导太过粗糙。换句话说，他们显然拥有我不具备的物理直觉，但所用的数学推导实在难以接受。

可后来越来越多的证据表明，新物理学的理论体系是成立的：原子弹成功爆炸，晶体管顺利问世。物理学背后蕴含的数学结构极其复杂。早在普通大众意识到新物理的重要性之前，外尔、冯·诺依曼等大数学家就已经尝试钻研其数学基础。尽管有这些早期介入，理论体系的完善之路依旧曲折：量子力学与狭义相对论需要自洽统一。（举个例子：做一项计算，得出结果是无穷大。再换一个按理结果本应为0的物理量重新计算，得到的依旧是无穷大。随后小心翼翼地将两个无穷大相减，剩下的差值就当作最终答案。必须补充的是，自这套计算方法问世以来，众多学者对此进行了完善，补上了严格的数学证明。）

20世纪三四十年代，物理与数学两大领域渐行渐远，到世纪中叶，数学彻底走向纯粹化。对纯之又纯的数学家而言，数学演化成一套精心铺陈、架构繁复的集合论体系。代数拓扑、代数几何等热门分支的大部分，看上去完全无法应用于物理，却显然对数学家有着极强的吸引力。物理学领域也缺少值得数学家脱离自身研究方向、值得深耕的数学课题。各类高能加速器不断发现成百上千种“基本粒子”，物理前沿更像是一份“怪兽图鉴”，距离统一的数学理论遥不可及。随着世界各地高校中更多高水平数学系、物理系的设立，以及各院系规模的不断扩张，两大领域在行政架构、物理空间上的隔阂也越发明显。1972年，弗里曼·戴森在美国数学学会主办的吉布斯讲座上直言：“数个世纪以来硕果累累的数学与物理联姻，如今已然走向离婚。”（这个比喻出自他的好友雷斯·约斯特。）戴森还提到，早在19世纪60年代，二者的沟通就已经出现裂痕：当时数学家没能意识到麦克斯韦方程组蕴含的重大数学价值。

弗里曼·戴森（图源网络）

并非所有学者都接受这场“决裂”，俄罗斯学者尤其固执地认为二者的联结从未断裂。即便在两大领域隔阂最深的时期，不少顶尖数学家仍会投身物理问题研究。斯蒂芬·斯梅尔先是攻克代数拓扑核心难题，随后转向经典力学，深入研究无线电振荡器。戴森本人甚至更适合被归为数学家。他接受数学专业训练，在希尔伯特第七问题等方向做出重要数学成果，从未中断数学研究。而他对物理学的贡献，是用清晰的数学语言阐明相对论量子力学如何消去无穷发散从而得到符合实验的物理结果。

在这样的时代背景下，希尔伯特第六问题维系着两门学科的正向交流。但凡希尔伯特提出的问题，都具备值得深入探讨的价值。

物理学的僵局正在缓慢打破。首先，描述带电粒子相互作用的理论在数学层面变得自洽严谨。随后弱相互作用与电磁力完成理论统一。强相互作用理论也相继问世。此前的“怪兽图鉴”——繁杂的粒子图谱得到简化：所有“基本粒子”被发现是少数几种夸克的不同组合。针对这些物理理论，带有数学色彩、甚至完全公理化的研究成果不断涌现，也越发具有数学上的可表达性。20世纪70年代，部分最棘手的难题基本得到解决，物理学家手中终于拥有至少在理论层面可以解释实验室中观测到的各类现象的理论工具。但这套理论体系极其复杂。很难通过方程求解进行数值上的预测，甚至常常是不可能的。纵观历史，每当出现这类局面，数学家往往能够带来关键突破。翻阅赫伯特·戈德斯坦的《经典力学》就能发现，书中用到的各类方法，命名几乎全部来自数学家：拉格朗日、欧拉、诺特等等。于是，如何为新物理理论搭建严谨数学框架，催生出一系列极具价值的数学研究，如同一对久未联系的伴侣，先试探着相约午餐，再共进晚餐，最终共度周末。我们将在介绍希尔伯特第十五问题的章节中，见证代数几何与物理学一处奇妙的交汇点。

随着世纪之交的临近，数学与物理正式复婚，这场盛大的“教堂婚礼”于1990年举行： 物理学家爱德华·威滕在京都举办的国际数学家大会上斩获菲尔兹奖。同期另外三位菲尔兹奖得主中，有两位的研究都与物理紧密相关。自此之后，越来越多的纯理论数学家投身物理相关理论研究。该领域的数学严谨标准有所放宽，更接近十八、十九世纪的数学风格，如同欧拉当年处理不收敛级数，例如：

欧拉的研究最终厘清了级数收敛的判定准则。许多最纯粹、最抽象的纯数学成果，都被物理学家从尘封的理论书架中翻出，反过来，来自物理学的全新思路也源源不断流向数学界。（但凡研究超弦理论，谁都能直观看出纽结拓扑理论是核心工具，这一点显而易见）V. I. 阿诺尔德与米哈伊尔·莫纳斯特尔斯基在1993年出版的《数学进展：莫斯科学派》一书序言中，以平实的文字精准概括了这一现状。谈及阿诺尔德收录在书中的论文，二人写道：“值得一提的是，这篇论文的绝大部分内容，围绕一套高度艰深的现代数学展开，其应用背景或理论动机均来自物理学。这也是当今科学的整体趋势。”

爱德华·威滕（图源网络）

如今我们处于一个微妙的局面。倘若某一种新理论成立——比如超弦理论，那么它必然能够完成公理化。一旦实现，希尔伯特当年最宏大、最理想化的第六问题，就能得到完美解答。但物理与数学之间这种“相异相吸”的关系，依旧充满波折。我曾向戴森求证他那句“离婚”论断，他在1999年回信写道：“当下的问题在于，弦理论与物理学其余分支即将分道扬镳。”或许弦理论最终会彻底归入数学范畴——就目前而言，这套“物理理论”完全无法与实验观测数据对接。

本文2026年7月24日发表于 凤凰科学传播（ ），风云之声获授权转载。

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