这本书没有一个公式，却讲透了数学的思维！

我们到底是因为什么而恐惧数学呢？是因为怎么都解答不了的数学题吗？还是理解不了，背不完的数学公式呢？或者是不断“神化”的数学思维？

如果有一本数学科普书，全书没有一个公式，没有一道数学题目，全都是文字性的语言描述，深入浅出，小学生都能读完，却讲透了数学的思维，那么你是否还会因为书名加了“数学”两字而敬而远之呢？

法国巴黎高等师范学院概率学博士米卡埃尔·洛奈的这本《数学的雨伞下》就有着这样的魅力。他不仅仅能把数学知识用故事的方式讲解的清晰透彻，甚至连广义相对论都能全程不用一个公式讲明白！你敢信！

作者希望通过这本书，告诉大家科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。

来源 | 《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》

作者 | [法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）

译者 | 欧瑜

广义相对论（General Relativity） 是描述物质间引力相互作用的理论。其基础由阿尔伯特·爱因斯坦于1915年完成，1916年正式发表。这一理论首次把引力场等效成时空的弯曲。

19 世纪末，牛顿的引力理论刚刚取得两个世纪的成功。就连他明显的错误都变成了成就。回想一下于尔班·勒威耶的故事。为了解释理论与天王星观测轨迹之间的差异，他提出了一个存在尚未有人看到的第八颗行星的假设。他计算出这颗行星的假设位置，从而发现了海王星。

但勒威耶并不打算就此罢休。在 19 世纪 40 年代，这位天文学家注意到，距离太阳最近的水星，其轨道的理论与观测结果之间也具有轻微差异。这一差异非常微小，如果行星的轨迹可以被缩小到一个足球场的大小，那么这个差异就大约为每世纪 1 厘米！但是，计算已经在考虑到所有已知参数的情况下完成并反复进行，且无论这一差异有多小，都无法用测量的不准确或计算的错误来解释它。勒威耶忽略了什么东西，他决心找出是什么。

几位科学家在同一时间开始寻求解释。比如美国人西蒙·纽科姆，他提议对牛顿的方程进行略微的修改，但没有得出任何定论。另外，于尔班·勒威耶选择了一种对他来说已经行之有效的方法：寻找一颗新行星。他假定太阳和水星之间存在一个未知的天体，其引力将是产生这一差异的原因。在成功发现海王星之后，这一假说引发了新一轮的热潮，很多天文学家开始寻找第九颗行星。

1859 年，勒威耶收到一封信，这封信让他期望成真。一位名叫埃德蒙·勒卡尔博尔（Edmond Lescarbault）的业余天文学家发现了一个从太阳前面经过的小斑点，其特征与人们所寻找的天体极为相似。勒威耶在 1860 年 1 月 2 日向法国科学院宣布了这一发现，勒卡尔博尔被授予法国荣誉军团勋章，这颗全新的行星被命名为“火神星”（又称“祝融星”）。

于是，勒威耶发起了一项研究计划，并动员了天文学家团体，试图尽可能多地收集关于火神星的信息。在随后的几年中，出现了一些类似于勒卡尔博尔的观察的观察报告，但结果并不明确，有些还相互矛盾。最终，人们不禁纳闷：或许太阳和水星之间并没有几个绕轨道运行的小天体。若干年过去了，研究工作陷入困境，研究者没有得出任何明确的结果。在 1877 年勒威耶去世时，人们依然没有找到火神星存在的绝对证据。在没有新证据的情况下，科学家们逐渐对这个问题失去了兴趣。

20 世纪初，我们仍然不清楚为什么水星的轨迹与牛顿的预测不符。即使是 1905 年的狭义相对论也没有给这场辩论带来任何新的内容，但爱因斯坦并没有发表定论。从 1907 年起，他开始潜心发展一个新的理论，并在 1915 年提出了这一理论的最终形式。一个旨在取代牛顿理论的引力理论，一个将决定火神星命运的理论，那就是广义相对论。

爱因斯坦的想法往往相当激进。这位德国物理学家不是一个喜欢修补蹩脚理论的人。在出现问题时，他就将一切夷为平地，以便重建其他东西。就像光速的问题，爱因斯坦将通过改变几何来彻底改变引力。他的假设很简单，但很强大：我们生活在非欧几何中会是怎样一番情形？在这样一种变形几何中，《几何原本》和《原理》中的定理将不会完全为真。这样一来，水星轨道的问题就可以简单地解释为我们基于错误的定理进行了计算！

对于牛顿而言，引力是通过物体之间的吸引形成的。但对爱因斯坦来说，这种相互作用不是直接发生的，而是通过一个中介：几何（图 5.20）。如果说我们的行星绕着太阳转，是因为后者作用于时空的几何，而正是这个几何让地球具有了轨道。

回想一下贝尔特拉米和庞加莱的圆盘：生活在上面的生物在靠近边缘的过程中会在我们眼中变得越来越小。爱因斯坦断言，在你接近一个巨大的天体时也会发生同样的事情：你越接近它，你就越小。而天体的质量越大，这种缩小程度就越厉害。当然，这只是一种地图效应，从你的角度来看，你不会感觉到大小有变化。但是，这将对你的几何产生影响。

图　5.20

就以太阳两侧的两个点为例。连接这两个点的直线在爱因斯坦的几何中和在欧几里得的几何中是不一样的。在爱因斯坦的几何中，它应该是向外弯曲的（图 5.21）。

图　5.21

爱因斯坦的直线看起来是弯曲的，就像飞行员的直线向两极弯曲、贝尔特拉米圆盘上的生物的直线向圆盘中心弯曲一样。事实上，这是时空中两点之间的最短路线。如果我们画几条这样的直线并把它们延长，我们就会得到图 5.22 所示的结果。

图　5.22

椭圆！而这些椭圆正好与天体绕太阳运行的轨道相符。这就是广义相对论的第一个重大启示：在爱因斯坦的几何中，行星不旋转，而是沿直线运动！这篇论文既绝妙又优雅。对于爱因斯坦而言，一切都在直线上运动，一刻不停。物体之间没有相互吸引，它们之间没有丝毫吸引力！一切都只是在继续前进，既没有改变速度，也没有改变方向。行星沿直线围绕太阳旋转。月球沿直线围绕地球旋转。苹果沿直线掉落在地上。

因此，时空是一种弹性物质，只要里面有质量，其几何就会发生变形。而正是在这种几何中，天体的轨迹才遵循其路线。质量改变了几何，几何改变了质量的轨迹。通过这种时空和物质之间的永恒交换，巨大的天体时钟运转不停。

以下这种描绘爱因斯坦几何的方式颇为常见（图 5.23）。

图　5.23

时空呈现为一个二维网格，太阳的质量在这个网格中挖了一个洞，就好像它被放置在一张有弹性的画布上。其原理有点儿类似于绘制世界地图的原理：想要理解各大洲的变形和飞机的轨迹，你就得把这张地图放置在三维地球仪上。平面球形图的变形可以用我们星球的曲率来解释。同样，这种描绘通过时空的曲率解释了爱因斯坦的几何。就好像每个天体都在里面挖了一个洞，天体越重，洞就越大。因此，从太阳的一侧到另一侧，绕过它的路线确实要比进入洞内的路线要短。

这种看待事物的方式很实用，有助于我们的大脑去理解爱因斯坦的几何。但是，我们必须意识到其局限性。我们的时空不是二维的，而是四维的，因此，如果我们必须弯曲这个时空，那么就应该在五维、六维或更多维的时空中挖洞。此外，没有任何证据可以证明这些洞确实存在。我们宇宙的地图效应是曲率的结果，就像飞行员的几何那样，还是纯粹抽象的结果，就像贝尔特拉米和庞加莱那样？今天，没有人知道这个问题的答案，而且这种情况可能会继续下去，因为这两种解释处于完美的误解状态。但无论哪种解释，其定理和计算都是一样的。

现在，令人苦恼的时刻到来了。你还记得吗？我们已经在牛顿那里体验过这一时刻了。发现这样一个美丽的理论是令人振奋和陶醉的，但我们不能忘记，这只是一个理论。一个单纯的数学世界，也就是一个想象的世界。无论广义相对论多么优雅，它在得到现实的认可之前是毫无价值的。必须进行实验。必须拿它和观察结果进行对照。它来得正好，因为有一个关于水星的小问题需要解决。

于是，爱因斯坦拿着他的方程进行了计算，结论出来了，直截了当、清晰明确：广义相对论准确地预测了水星的运行轨迹。理论和观察之间不再有丝毫的差异。千百年前的欧几里得和牛顿都要佩服得五体投地了。

当然了，在一个行星上行得通并不足以让人们高呼胜利。爱因斯坦还表明，在几何变形不太强烈的构型中，牛顿的理论是他的理论的一种近似。正如只要不超出小距离的范畴，飞行员的几何与欧几里得的几何相似；只要不涉及大质量的天体，爱因斯坦的结果与牛顿的结果相似。换句话说，对于水星之外的所有行星，爱因斯坦的方程和牛顿的方程一样有效。

广义相对论走在康庄大道上，但还没有大获全胜。这样一个如此重要的理论想要冠冕加身还需要更多的支撑。爱因斯坦的新几何刚刚解释了一颗行星轨迹的微小变化。这很好，但我们不该有丝毫的夸大其词，因为这还没有达到令人叹为观止的程度。尽管有些许错误，但牛顿的理论已经带来了重大的发现，并进一步推动了我们对宇宙的理解。牛顿理论的声望依然很高，因此不可能忽然就被扫地出门。

爱因斯坦的理论在字面上看起来更好，但它能在声望上与牛顿的理论一较高下吗？是否可能通过爱因斯坦的数学发现我们还不知道的新事物、新天体和新现象呢？这一理论是否能够大放异彩，成就伟大的发现，产生轰动的效应，最终在人们的心目中留下印记，并庄重地确立自己的权威呢？

在这一对合理性的追求中，爱因斯坦将会获得一位令人赞叹的英国人——亚瑟·埃丁顿（Arthur Eddington）的助力。这位天文学家是个贵格会信徒，他的英国同胞刘易斯·弗赖伊·理查森——分形的先驱，也是贵格会信徒。他与理查森一样，信念使埃丁顿成了一名坚定的和平主义者，他也和理查森一样，拒绝在第一次世界大战期间参军。从 1916 年开始，在英国和德国冲突不断时，埃丁顿便是爱因斯坦思想在盎格鲁 - 撒克逊世界亲力亲为的主要传播者之一。他举办了几次讲座，并撰写了几篇关于这个主题的文章。但这个英国人想要走得更远。1919 年初，他完成了一个重大项目，这个项目将为广义相对论奏响凯歌。

这一年，一次日全食被预测将在 5 月 29 日发生。其路线应该在上午从南美洲开始，然后穿越大西洋，并于下午早些时候在撒哈拉以南非洲结束。埃丁顿和他的几位同事对这次日食已经想了三年。这是在天文学历史上获得绝无仅有之体验的绝佳机会。

我们常常会忘记，天空中的星星在白天和在夜晚一样多。我们之所以在白天看不到这些星星，是因为微弱的星光被太阳的光芒掩盖了。只有在一种情况下我们才能在白天观察到这些星星：日食。

埃丁顿的想法是：如果他能观察到一颗在天空中的位置靠近日食的恒星，则意味着这颗恒星的光线必须掠过太阳的主体附近才能到达我们这里。但是，在这种情况下，爱因斯坦理论的描述和牛顿理论的描述并不一样。对牛顿来说，光线不受引力的影响，而是沿欧几里得的直线疾驰，因为光线没有质量。而对爱因斯坦来说，几何跟所有人都相关，尽管光线没有质量，但它必定是稍稍向外弯曲的（图 5.24）。

图　5.24

在地球上，这就意味着遥远恒星的光线不会沿着相同的方向到达我们这里。换句话说，这颗恒星的位置在我们看来略有移位（图 5.25）。

图　5.25

于是，亚瑟·埃丁顿和几个同事组织了一次日食考察。他们决定在加蓬沿海普林西比岛的桑迪搭建观测站。埃丁顿带着从英国牛津大学天文台借来的高精度仪器在 3 月启程。到了 5 月中旬，他的仪器已经安装完毕，可以投入使用了。日食将在两周后，也就是 5 月 29 日的下午 2 点发生。

可惜的是，无论实验计划得多么周全，但有些事情终究是人无法控制的。当这一天终于到来的时候，观察条件简直糟糕透顶。当天上午，普林西比岛陷入暴风雨之中，大雨倾盆而下，兜头浇在考察队队员们的身上。到了中午，雨停了，但天空仍然覆盖着厚厚的云层。无助的埃丁顿除了等待和希望什么也做不了。下午 1 点 30 分，距离日食还有半个小时，阳光开始羞怯地透出云层。观测条件并不理想，但整个团队都在忙碌不停。下午 2 点，日食开始了。

在六分钟里，月球阴影的奇异黯黑笼罩着岛上的景致。一阵清风徐徐吹起，普林西比岛陷入这片虚幻而迷人的夜色之中。断断续续的云朵不停涌起，但眼下已经不能再耽搁下去。埃丁顿竭尽全力拍摄了几张日食的照片（图 5.26）。

图　5.26

日食结束后，压力有所缓解，但仍需等待结果。当时还没有进入数字和即时的时代。为了获得定论，眼下必须花时间去冲洗照片。

6 月 3 日，埃丁顿拿到了照片。大多数照片没有拍摄成功，从中得不到什么有用的东西。除了一张。在这张照片中，位于 15 亿千米外的毕星团（Hyades）似乎略微偏离了它平时的位置。埃丁顿进行了数学计算，而且算之有效！这个偏差和广义相对论的预测相一致。一张照片上一个小光点在位置上几毫米的差异，就这样印证了关于宇宙、空间和时间的最宏大的理论！

轰动的反响旋即而起。这个消息传遍了世界，远远超出了科学界的圈子。要知道，尽管在此之前，爱因斯坦的名字已为他的物理学同行所熟知，但大多数普通人仍然对他一无所知。1919 年，爱因斯坦上了头条新闻，全世界的人都知道了他的模样。在第一次世界大战结束后不到一年的时间里，英国人埃丁顿几经波折的冒险不仅展现了科学的才能，更具有了极高的象征意义。就连爱因斯坦的个性都备受众人青睐。蓄着小胡子、性情乖张的天才，推翻了牛顿的理论，并以某种不为人知的方式将空间和时间合为一体，这个形象获得了公众的追捧。从那一天开始，爱因斯坦的传奇拉开了序幕。

然而，在那个时候，世人还不知道亚瑟·埃丁顿对自己的观测结果做了些许篡改。那一天，普林西比岛的天气实在糟糕，即便拍得最好的那张照片也只是模糊地呈现出被拍摄恒星的实际位置。诚然，差异肉眼可见，但其测算结果尚不确定，秉承严格科学伦理的人会更为谨慎地对待这一结果，本不该从中得出任何定论。这个英国人是想通过宣布自己的结果虚张声势吗？还是因为他太过兴奋，甚至他本人都信了自己的小小谎言？对此，我们或许永远都不会知道答案。但就在全世界都在赞颂爱因斯坦的时候，天文学家们却依然保持着谨慎。

过快地宣布一个不确定的结果可能会带来风险。在发现火神星时行事略显草率的勒威耶也会赞同我们的这个看法。但这一次，埃丁顿的运气更好，他的大胆将会得到回报。爱因斯坦是对的，而随后的实验只会证实这一点。自 1919 年以来，科学家已经观察到很多次其他的日食，而如今，预期的结果已经被确认无疑。靠近太阳的恒星确实出现了偏移。

这一次，牛顿输了。时空的几何不是欧氏几何。颇具讽刺意味的是，埃丁顿观察日食的地点和日期正是通过《原理》中的方程计算出来的。

作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）

译者：欧瑜

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