《纽约时报》对99岁数学家琼·伯曼的长篇报道

我们曾经刊发过加州理工学院数学系倪忆教授撰写的Joan Birman（琼·伯曼）的传奇故事，Birman是哥伦比亚大学巴纳德学院的数学家，她在 99 岁时与两名学生合作作出重要成果（详见99岁女数学家，刚刚发表重磅成果）。2026 年 9 月 6 日，《纽约时报》发表了由Gregory Barber撰写的长篇报道《The 92-Year-Old Mathematician and the Teenage Apprentice》，讲述了Birman 92 岁开始指导当时年仅 15 岁的高中女生Vasudha Bharathram 进行数学研究，直到今年两人与Birman 的前学生Tara Brendle 合作最终解决Burau 表示的忠实性的故事。

以下是公众号“普林小虎队”用ChatGPT总结的该文中文摘要（略有修改）。

撰文 | Gregory Barber

一、一封看似普通的高中生邮件

故事从 2019 年夏天开始。当时 Joan Birman 92 岁，已经在 2004 年从哥伦比亚大学退休。她一生中收到过很多高中生来信，希望她指导数学，因此对此类邮件并不特别热心，甚至怀疑有些只是高中老师布置的“联系数学家”作业。

这一封邮件却有些不同。写信人 Vasudha Bharathram 当时刚满 15 岁，是纽约 Riverdale Country School 即将升入十年级的学生。她在九年级几何课上第一次真正感受到数学的吸引力，又偶然读到一个正式的数学证明，于是突然意识到：学校里学到的也许只是数学世界很小的一部分。她想知道真正的数学究竟是什么，于是查了哥伦比亚大学数学系网页，看到 Birman 的名字，读了介绍她工作的文章，便直接给她写信。

Birman 起初并不想充当一个高中生的“保姆”。但她那时刚经历人生巨变：丈夫、著名物理学家 Joseph Birman 两年前去世，她从两人在 New Rochelle 生活多年的房子搬回曼哈顿 Riverside Drive，选择那里正因为离哥大很近。虽然已经退休，她仍然保留着办公室，也仍然强烈渴望数学交流。她后来形容，自己想住在一个随时可以打车去参加数学讨论的地方。

她反复想了几天，觉得 Vasudha 的邮件不像例行公事，而是真的想学，于是同意见面，并直接让这个十五岁女孩去找 I. N. Herstein 的经典教材《Topics in Algebra》。这本抽象代数教材通常是大学高年级乃至研究生阶段才接触的，文章半开玩笑地把它称作有志于数学研究者的一种“折磨工具”。

二、Birman 很快意识到：这个孩子不一般

两人第一次见面就在 Birman 公寓楼的大厅里。更巧的是，Vasudha 一家也住在 Riverside Drive，距离 Birman 只有大约十个街区。Vasudha 三岁后随家人到印度生活，十三岁左右才重新回到纽约。

第一次见到她时，Birman 的印象是她看上去还是个小孩子。她向 Vasudha 简单解释了拓扑学和自己的研究领域，又画了一个“辫子”（braid）的例子，然后让她回家读 Herstein 的一章。

几天之后，Vasudha 发来一大批作业照片。她的字迹糟糕得让 Birman 几乎无法辨认，但真正令 Birman 吃惊的是解题方式：这个几乎没有受过高等数学训练的孩子不仅做出了不少抽象代数证明，而且经常采用不寻常的思路绕到正确结论。

Birman 下次见面时让她解释这些想法。听了一会儿，她意识到，这里有某种真正属于数学研究者的东西——不只是聪明，也不是竞赛式的快速计算，而是能够从不寻常角度看一个问题的能力。

就在那时，她改变了原本只准备教一点数学的计划。她脑子里一直藏着一个自己几十年也没有解决的问题。她决定逐步把 Vasudha 引到那个问题上去，只是最初没有告诉她。

几个月内，Vasudha 学完了 Herstein，随后开始读 Birman 自己 1974 年的经典著作《Braids, Links, and Mapping Class Groups》。原本是“教授教高中生”的关系，很快变成了真正的数学对话。Birman 发现，跟这个女孩聊天带来的智力刺激，并不亚于她花十几美元打车去哥伦比亚找专业数学家讨论。

三、Birman 自己也是一个“晚起步”的数学家

文章花了不少篇幅回顾 Birman 的经历，这也是理解两人关系的关键。

Birman 少女时代就喜欢几何，因为那是一种“可以看见”的数学。但她成长的年代，女性的社会道路仍被强烈预设。她父母支持四个女儿接受教育，但基本设想仍是读书之后依次结婚。

Birman 结婚、生下三个孩子后曾兼职做工程师。真正进入数学研究却很晚。34 岁时，她到纽约大学上夜校，本来只是想用数学“磨一磨脑子”。她甚至在不清楚考试用途的情况下通过了博士资格考试。获得奖学金后，她把钱用来请保姆，使自己终于可以整天坐着思考拓扑问题。

1968 年，41 岁的她才取得博士学位。她选择的一个主要方向是辫子群（braid groups）。当时这个领域相对冷门，甚至被认为是数学中的“穷乡僻壤”。但这恰恰给一位年纪较大、又处在女性可以因为“性别不对”而被直接拒聘的年代的数学家留下了一条可以进入学术界的道路。

她后来在 Barnard College 任教，并逐渐成为辫子群、纽结理论和映射类群领域的重要人物。她最重要的贡献之一，就是把“辫子”的代数结构与纽结理论以及其他数学领域建立起深刻联系。

1984 年，Vaughan Jones 在研究算子代数和辫子时发现后来被称为Jones polynomial（琼斯多项式）的不变量。Jones 找 Birman 讨论这个对象和纽结理论之间的关系，Birman 很快认识到它可以用来区分纽结。几年后 Jones 因包括这项工作在内的成就获得菲尔兹奖，颁奖介绍人正是 Birman。

文章还提到 Birman 对培养年轻女性数学家一直非常在意。她把自己的学生称为“mathematical daughters”。早年她曾指导过一位身体严重患病的本科女生，对方不久后去世。几十年后 Birman 仍为自己当时没有更积极地推动她做出数学成果而自责，觉得自己“辜负了她”。从此她一度决定不再带这么年轻的学生。

Vasudha 是例外。

四、真正的问题：四股辫子的 Burau表示是否忠实？

两人最后进入的问题，是辫子群理论中一个极其著名的老问题：四股辫子群 B4 的 Burau representation 是否 faithful（忠实）？

简单地说，辫子可以看作若干根从上到下缠绕的线。数学家可以把辫子的几何信息转化成矩阵或多项式这样的代数对象。Burau 表示就是最经典的这种转换之一。

所谓“忠实”，可以粗略理解为：这种代数编码是否保留了辫子的全部信息。如果两个不同的辫子经过表示之后变成同一个代数对象，那么信息就丢失了，这个表示就是不忠实的。

此前的结果非常奇特：

• 三股或更少的情形是忠实的；
• 五股或更多已经知道不忠实；
• 唯独四股 B4 几十年来悬而未决。
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这个问题几乎与 Birman 的学术生涯一样古老。数学家甚至长期无法判断答案更可能是“忠实”还是“不忠实”。从证明策略上讲，连应该朝哪个方向走都不清楚。

疫情开始后，Birman 给 Vasudha 的第一个策略并不是直接攻击B4，而是让她重新研究已知的三股情况：能不能找到一个不同于经典证明的新证明？如果能，也许这种新方法能够延伸到四股。

Vasudha 开始用一种特殊的多项式来重新理解三股辫子的忠实性。颇为反常的是，这种多项式过去曾经在证明五股以上情形“不忠实”时发挥作用，而她却觉得同样的工具可能反过来证明四股情形“忠实”。

这种感觉最初主要来自她长时间在脑中想象辫子的缠绕结构，还远远称不上证明。Vanderbilt 大学拓扑学家 Dan Margalit 看过早期思路后认为，她们有一个想法，但还没有变成别人可以理解和检验的论证。

五、第三位数学家加入

随着问题越来越复杂，Birman 意识到两个人需要帮助。

Vasudha 高中最后一年时，Birman 请自己的另一位学生、后来成为 Glasgow 大学教授的Tara Brendle来看她们的工作。Brendle 第一次仔细检查图形，就发现了一个错误。Birman 反而非常高兴：她马上意识到，她们找到了需要的合作者。

Brendle 原本不太愿意碰 Burau 问题。这个问题在业内以“兔子洞”著称，她甚至会劝自己的博士生不要轻易陷进去。但 Vasudha 的办法实在有趣，使她决定加入。

于是形成了一个非常罕见的三人合作组：

• 已经九十多岁的 Joan Birman；
• 四五十岁的 Tara Brendle；
• 从高中生成长为大学生的 Vasudha Bharathram。
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三人的合作并不像传统意义上的“导师给学生布置题目”。Brendle 观察到，Birman 和 Vasudha 性格其实很像：都高度专注、说话直接，对许多日常社交话题兴趣有限，但对什么数学是漂亮的、什么想法值得追，她们有很深的共同趣味。对数学家来说，这种“数学品味”的共享本身就是一种非常私人而深刻的联系。

六、从高中生到 Princeton 数学系

到了申请大学的时候，Birman 几乎直接替 Vasudha 做了决定。她给 Princeton 写推荐信，因为在她看来，那是“数学奇才都去的地方”。Vasudha 最后只申请了 Princeton 一所学校，并入学。

她后来在 Princeton 的导师是著名三维拓扑学家David Gabai。Gabai 起初提醒 Birman：早慧的数学少年未必最终适合做研究。很多竞赛高手习惯于迅速找到答案、赢得奖牌，却不一定能够忍受一个开放问题几年都没有进展，尤其是当你甚至不知道这个问题有没有答案的时候。

但 Gabai 很快发现，Vasudha 已经被 Birman 的训练塑造成另一类数学家。她早就习惯一个想法很可能失败；失败了，再换一个就是了。

这正是研究数学和竞赛数学之间最重要的差别之一。

Gabai 甚至把 Birman 回复一个陌生女孩邮件的决定，比作 1913 年 G. H. Hardy 回复印度数学家 Ramanujan 来信的故事：一个看似微小的决定，可以彻底改变另一个人的数学人生。

七、真正突破发生在一个意外的“五股化”想法

进入 Princeton 后，Vasudha 一面正常上大学，一面继续与纽约的 Birman 和苏格兰的 Brendle 研究这个问题。三人有时会在 Birman 公寓里举办自己的“math camp”。

她们先完成了新的三股证明，然后正式进攻四股。

最大的技术困难来自某些多项式项之间可能发生的cancellation（抵消）。如果抵消累积到一定程度，就意味着信息可能消失，也就是 Burau 表示可能不忠实。

最初，她们似乎需要画成千上万幅辫子图，逐种情况排除抵消。这个过程极其繁琐。三人在 Zoom 上开几个小时的会议，Brendle 和 Vasudha 在 iPad 上画图计算。已接近百岁的 Birman 有时私下担心自己跟不上年轻合作者，虽然另外两人说根本没有察觉。

真正的突破发生在 2026 年冬天。

她们忽然意识到：与其直接在四股辫子中逐一处理所有抵消，不如把一个四股问题放进五股的环境中来看。在这个扩大的五股世界里，可以进行一种操作，使那些妨碍证明的抵消全部消失。

北卡罗来纳州立大学的纽结理论专家 Radmila Sazdanovic 后来把这个想法称为极其优雅。Brendle 则说，看到那些抵消全部消失，是自己数学职业中最令人满足的时刻。

三人由此认为，她们终于证明了：四股辫子群的 Burau 表示是忠实的。

如果论文最终经受住同行检验，那么这就填补了几十年来 Burau 表示是否忠实问题中最后一个空白。

八、论文发表时，Birman 已经 99 岁

三人并没有立即公布结果。她们花了几个月反复整理证明，因为很多想法非常反直觉，必须把三人之间已经能够相互理解的“私人语言”转化成任何专家都可以核查的正式论证。

论文在 2026 年 7 月被放上网络。

文章特别谨慎地强调：论文当时尚未经过正式同行评审，数学界仍需要几个月甚至更长时间仔细检查，理论上仍可能发现错误。因此《纽约时报》报道的是一个非常有分量、专家高度重视的claimed solution / 新证明，而不是把它描述成已经完全尘埃落定的定理。

Oxford 数学家 Emmanuel Breuillard 称这篇论文在很多方面都“remarkable”。有趣的是，他自己此前正领导一个利用 AI chatbot 辅助研究 Burau 问题的项目。最后看来却是三位跨越巨大年龄差的人类数学家先找到了答案，他对此颇为感慨。

九、文章真正讲的并不只是一个定理

报道结束时，Birman 已经 99 岁。她的身体状况明显衰退：听力问题加重，心脏瓣膜恶化，并开始使用轮椅。但她仍然在做数学。

Dan Margalit 对记者说，数学大多并不真正存在于书本中，而存在于数学家的脑子里。数学在某种意义上是一种艺术，它必须由一个人传给另一个人。数学家愿意教学生，既是利他的——希望知识继续存在——某种意义上也有一点“自私”：他们有一些思想、直觉和传统，希望有人把这些东西继续带下去。

这句话几乎概括了整篇报道。

七年前，15 岁的 Vasudha 只是偶然发出一封邮件。七年后，她已经从 Princeton 本科毕业，开始数学研究生阶段的学习，并准备去参加在费城举行的国际数学家大会。那个第一次到 Birman 公寓时还显得像小孩的女孩，在 Birman 眼里已经变成一位年轻数学家。

更重要的是，Burau 问题并不是故事的终点。

Vasudha 已经开始研究 Birman 几十年前论文留下的其他问题，尤其是把纽结与辫子之间的思想推向四维拓扑。Birman 年轻时曾说，自己的“数学梦想”就是把 knots 和 braids 更深地连接起来。如今这个梦想中许多问题已经由她和后来者解决，而剩下的一部分开始由 Vasudha 接过去。

文章最后，两人再次坐在那张多年讨论数学的橡木桌旁。Vasudha 谈起自己正在做的新问题，Birman 马上知道她指的是自己几十年前哪几篇文章、哪些问题，并开始讲当年的来龙去脉。

因此，这篇报道最动人的地方并不是“99 岁数学家解决了一个难题”，也不是“15 岁天才少女创造奇迹”。它写的是数学研究中一种通常很难被外界看见的连续性：一个人几十年形成的数学直觉、审美和未完成的梦想，可以通过讨论、错误、图画、证明和长期共同思考，慢慢进入另一个人的头脑。

2019 年 Birman 回复那封邮件时，她可能只是觉得自己仍然想找个人谈数学。七年之后，那次回复不仅导致一个困扰数学界数十年的问题可能得到解决，也让一个原本甚至不确定自己为什么喜欢数学的高中生走上了数学研究的道路。而在报道结束处，关系已经悄然反转：最初是 Birman 把 Vasudha 带进自己的数学世界；现在，99 岁的 Birman 正期待着看这个年轻人会把她几十年前的“数学梦想”带到哪里去。

作者额外的评论

作者Gregory Barber本人在报道网络版的评论区留言道：

我联系 Joan Birman 时，本来想写一篇关于她的人物特写：一位 99 岁的数学家，刚刚发表了一项重大成果——这种事可不是每天都会发生！

但 Joan 坚决认为，故事的主角并不是她。她说，真正的故事，是一段智识上的伙伴关系：七年前，一个十几岁的女孩突然发来一封邮件，而这段合作就从那里开始了。

在如今被人工智能生成成果占据大量篇幅的数学新闻周期里，报道这个故事对我来说像是一剂提神剂——它提醒我们，数学的核心仍然有人类的创造性、技艺，以及代代相传的传统。

本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。