豆瓣9.3分，一本小学数学，但是数学家写的

最近，关于数学的讨论似乎一下子多了起来。

越来越多人开始意识到数学的重要性，不过，人们往往更关注那些看起来高深的内容，却常常没有意识到，越是简单的数学，越难真正讲清楚。

为什么做加法竖式要数位对齐？

除以一个分数为什么要颠倒相乘？

“负负得正”凭什么成立？

这些问题，我们大多“知道答案”，也熟悉计算方法。可一旦孩子追问“为什么”，许多人便会说不清楚是怎么一回事。

国际著名微分几何学家伍鸿熙所写的《数学家讲解小学数学》，正是从这些看似简单的问题切入。

他关心的不只是“怎样算出答案”，而是另一件更基础的事：这些算法为什么成立？它们背后的数学究竟是什么？怎样讲才能让孩子学到一套前后一致的推理……

豆瓣读者对《数学家讲解小学数学》的评价

当一位数学家重新审视小学数学，会看到哪些容易被我们忽略的问题？又会带来哪些与众不同的讲解？不妨从书中的几个例子说起。

1

分数到底是什么？

通俗的理解有什么问题

“三分之一是什么？”很多人会拿出一张饼，把它平均切成三份，说其中一份就是三分之一。这样的解释很直观，却留下了不少问题。

如果两张饼大小不同，它们各自的一份还能直接比较吗？七分之五仍然可以画在一张饼里，七分之十二又怎么办？

更重要的是，我们说“三分之一”时，那个作为整体的“1”究竟是什么？伍鸿熙特别强调“单位”的重要性。

图｜《高考灰姑娘》剧照

因此，他没有把分数停留在“整体的一部分”上，而是把它放到数轴上定义：先在数轴上确定0和1，把从0到1的单位线段平均分成n份。从0出发，第一个分点是1/n，第二个分点是2/n……第m个分点就是m/n。

把单位线段等分后继续向右重复，同样的分割方法可以自然得到大于1的分数。

这样一来，分数不再只是某块饼上的阴影，而是数轴上一个确定的点。这种定义还能自然容纳大于1的分数：4/3只是从0出发，以1/3为一个单位走四步所到达的位置，并不需要另外编造一种解释。

从切饼到数轴，看似只是换了一幅图，其实完成了一次重要的转变：分数不再依附于某个具体物体，而成为真正的“数”。以后讨论分数的大小、加减乘除，都可以回到同一个出发点。

2

为什么做加法竖式，

一定要数位对齐？

计算865＋32，大多数孩子都知道，要把右边对齐，让个位和个位相加、十位和十位相加。但如果问一句“为什么”，常见的回答大概是：“竖式就是这样写的。”

伍鸿熙却从位值制讲起。865并不是三个数字简单地排在一起，而是800＋60＋5；同样，32也可以写成0＋30＋2。

865＋32＝

（800＋60＋5）＋（0＋30＋2）＝

（800＋0）＋（60＋30）＋（5＋2）

竖式中的“对齐”，实际是在把具有相同位值的数放在一起：个位加个位，十位加十位，百位加百位。也就是说，32写在865下面时，我们实际上把它当成032处理。最左边那一列不是“没有数”，而是0个百。

中国古代计算工具：象牙算筹（汉）

陕西历史博物馆藏

那么“进位”又是什么意思？以765＋892为例，十位上的6和9相加得到15个十，也就是150。150又可以分成100和50：其中的100进入百位，剩下的50仍留在十位。所谓“向前进一”，并不是一条凭空规定的规则，而是把10个较小单位重新组合成1个较大单位。

孩子当然可以先记住竖式怎么写。但数学家更在意的是：他是否知道，竖式只是把数的展开、同位值相加以及十进制的重新组合压缩到了一套简洁的书写程序里。

3

为什么分数相乘，

要“分子乘分子、分母乘分母”？

我们都背过m/n×k/l＝mk/nl。可是，这条规则为什么成立？伍鸿熙选择用矩形面积来定义分数乘法。自然数相乘可以理解为矩形的面积：长是m、宽是n，面积就是m×n。即使长和宽变成分数，面积仍然有意义。

以1/2×1/3为例。取一个面积为1的正方形，把一条边平均分成两份，另一条边平均分成三份。整个正方形便被分成了2×3，也就是6个面积相等的小长方形。

一条边取一半，另一条边取三分之一；两种区域的重叠部分占单位正方形的六分之一。

其中一个小长方形的两条边分别是1/2和1/3，它的面积自然是整个正方形的1/6。因此，1/2×1/3＝1/6。

一般来说，如果一条边被分成n份，另一条边被分成l份，单位正方形就被分成nl个相等的小长方形。取其中横向的m份、纵向的k份，一共得到mk个小长方形，所以面积是mk/nl。

这里的图形不是算完以后用来“帮助记忆”的装饰，而是分数乘法意义的一部分。计算公式是从面积模型中推导出来的，而不是先把公式交给孩子，再让他接受一条无法解释的口诀。

4

为什么除以一个分数，

要颠倒过来相乘？

如果分数乘法还可以借助面积理解，那么分数除法往往只剩下一句口诀：“除以一个数，等于乘它的倒数。”问题是：为什么？

伍鸿熙先回到除法本身的意义。

A除以B，就是寻找一个数C，使得：

A＝C×B

例如，计算：

3/2 ÷ 4/5

真正的问题是：寻找一个分数C，使得：

3/2＝C×4/5

要把C找出来，就要消去等式右边的4/5。能够与4/5相乘得到1的数，是5/4。

因此两边同时乘5/4，就得到：

C＝3/2×5/4

所以：

3/2 ÷ 4/5＝3/2×5/4

“颠倒相乘”并不是除法里突然冒出来的一项新规定，而是从“除法是乘法的逆运算”自然推出的结果。这也说明了伍鸿熙的一项重要教学原则：不能让定义和运算彼此分离。

孩子如果只记得怎么把第二个分数倒过来，却不知道自己究竟在寻找什么，那么口诀记得再熟，也很难迁移到新的问题中。

5

“负负得正”，究竟凭什么？

“同号得正，异号得负”，这是又一句人人熟悉的口诀。但为什么两个负数相乘会得到正数？伍鸿熙选择从已经建立的运算规律出发。

先看最简单的情形：

（-1）×（-1）＝？

设这个结果为z。我们已经知道：

（-1）＋1＝0

把等式两边都乘以-1，并使用分配律：

（-1）×［（-1）＋1］＝（-1）×0

左边展开为：

（-1）×（-1）＋（-1）×1

也就是：

z＋（-1）

右边等于0，因此：

z－1＝0

所以：z＝1

也就是说：

（-1）×（-1）＝1

伍鸿熙特别指出，对中小学生来说，没有必要一开始就给出过于抽象的完整证明。可以先把最关键的（-1）×（-1）讲清楚，再利用分配律把它推广到（-2）×（-3）等具体例子。

重要的是让学生看见：“负负得正”并不是张口就来的规则。只要我们希望加法、乘法和分配律在负数中仍然保持一致，这个结果就是必然的。

6

数学家讲小学数学，

究竟不同在哪里？

读完这些例子会发现，数学家讲小学数学，并不是故意把简单问题复杂化，也不是把高等数学搬进小学课堂。恰恰相反，他想做的是把那些被口诀遮住的道理重新显现出来。

分数是数轴上的点，而不只是一块被切开的饼；竖式对齐，是因为相同位值的数才能相加；分数乘法来自矩形面积；分数除法是乘法的逆运算；负负得正，是为了让已有的运算规律保持一致……

伍鸿熙反复提醒：准确并不等于晦涩，严谨也不等于抽象。真正困难的，是既不牺牲数学的准确性，又能找到孩子可以理解的表达方式。

越简单的数学，越容易让人觉得“不必解释”。但也正因为它们处在数学学习的底层，一处含混、一条没有来由的口诀，都可能影响此后漫长的学习。

我们教给孩子的每一条规则，都应该有理由；每一个理由，又应当与他已经学过的知识连接起来。

文章中的这些问题你思考过吗？

你小时候还背过哪些数学口诀，

直到今天仍说不清它为什么成立？

辅导孩子数学的时候又有哪些困惑？

欢迎在留言区展开说说。

小北将从中选出一位优秀留言读者，

送出数学家伍鸿熙写给孩子的这本书。

从自然数到分数，

从运算口诀到数学道理，

一位数学家带你重新认识小学数学

-End-

观点资料来源：《数学家讲解小学数学》

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