千禧之惑：陶哲轩他们到底在担心什么

前几天，OpenAI公司宣布完成了NS方程的部分结果。由于NS方程是著名的七个千禧问题之一，关心的朋友很多，在此说说我的看法。本文只是随笔性质，数学公式定理统统没有，目标读者设定为小学四年级辍学（本人也是这个水平）。

由于个人原因，我也是AI重度用户，每天使用好几个小时，并且经常让AI做数学题，做的内容也比较杂乱，包括代数类、几何类、分析类、PDE（偏微分方程）、离散类、概率统计、形式逻辑、计算机算法、编程、自动机等等。尽管都是幼儿园级入门练习题，但也有一些使用体会。AI能做千禧七题中的NS方程而不是别的，毫不意外，因为这个就是AI的擅长领域（后文有述）。

千禧七题是美国克雷数学研究所于2000年提出的7道数学难题。这里的“提出”不是说他家发明的，只是挑选、总结的前人猜想。因为1900年，大数学家希尔伯特提出了23个世纪难题，百年后已经解决了一大半，克雷研究所担心数学家没事干，又找了一批题目给大家做，每道题悬赏100万美元。其实按我个人观点，像著名的P vsNP这样的问题，几百年也未必做得出来，给一亿美元都嫌少。

这次openAI宣称得出了NS方程的部分结果。NS方程属于PDE与流体力学领域，韦东奕就是干这个的，他也对该问题做出过贡献。该问题有四个分支，其中核心问题是A，B的无外力情形，openAI解决的是C，D两个相对次要的有光滑外力情形。尽管解决的是非核心问题，但也使用了1万个agent，使用的token花了几百万美元，远远超出克雷研究所的悬赏金额，所以人家不是为了这点赏金，广告效应、AI军备竞赛更加重要。

然后前天，著名华人数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩牵头，纠集了25个菲奖得主签名，写了一封联名信，发表在陶的个人博客上。要点摘录如下，加上我自己的点评：

1.AI有用

陶哲轩本人近几年主要精力就是用AI辅助做数学研究，天天指挥AI干这干那，有没有用他比谁都清楚。

2.AI重目标轻过程

这次AI破解NS问题使用了1万agent，270万条消息互相讨论，输出token有1300亿之多，同时试图破解其他几道千禧题还花了很多token。直白地说，由于生成的信息海量，AI怎么做的题，人类不会知道，它只告诉你对错（跟传统软件不同，AI干活是个黑箱）。

这个问题很严重。数学界评判一个数学家、一个数学问题的标准，不光是难不难，还有影响力，即是否通过解决这个问题，发展有用的数学工具，打通不同的数学分支，带动学科发展。举例来说，黎曼猜想能够入选七道千禧问题，而哥德巴赫猜想未能入选，未必是黎曼猜想比哥德巴赫猜想更难，而是哥德巴赫猜想相对更孤立一些，而解决黎曼猜想能推动解决一大批问题（好比足球影响力大，曲棍球影响力小）。评菲尔兹奖也是如此，不是你解决难题就行，还得带动学科发展。

如果AI算了88小时，花了几百万美元，最后只告诉你结果行还是不行，那就跟没说一样，让一只猴子抛硬币也是这俩结果。

3.瞎炒作

说AI公司夸大其词，解决了部分非核心问题，就宣传“解决了”。AI公司是商业公司，不炒作吃什么。还有，大模型依靠训练，训练就需要喂它人类生产的论文、书籍。所以这次结果一出来，就有数学家指控它剽窃自己的成果。但AI不喂数据，拿什么拟合呢？这也是学术界新问题，还需要法规跟进。

4.新人没机会练手

这个问题跟其他受AI冲击的行业是相通的。比如，AI接管了大部分初级程序员、初级律师的工作，会切断刚入行的新人训练、成长的渠道。

数学界也是如此。以美国为例，每年生产约800名数学博士（一多半会改行）。R1/R2/文理学院加起来，现存数学系助理教授以上总共8-9千人（R1/R2代表研究型大学级别，可以粗略理解为985学校和二本以下），具有原创性成果的也就几百人，剩下90%以上做的都是增量型、修补型工作，从技术上看，很大一部分都能被AI取代。

然而，不能轻视这些无名研究者的意义。海量的人才基数是大牛成长的土壤，行业需要天才也需要炮灰，欧洲如果没有几百万注册青少年球员，就没有梅西。

5.话语权问题

谁来掌握学术评价和激励规则？数学界本来是个小圈子，大众并不了解，只是有出圈的新闻才看一下，比如王虹、韦东奕这些名人。实际上，一个细分领域可能全球只有几十人在研究，冷门方向甚至只有几个人在搞。现在AI公司进来搅局，也会颠覆数学界的生态。

既然写到了千禧问题和AI，就顺便整理一下AI解决六个千禧问题的前景，加入部分我个人的观点，以便有兴趣的观众参考。（庞加莱猜想已经被俄国传奇数学家佩雷尔曼解决，所以剩下的是6个问题。）

1.NS方程（PDE、流体力学）：NS方程研究的是粘性流体运动问题。从我自己对AI的使用经验来看，解方程（PDE）、数值估计、矩阵计算是AI最擅长的领域，因为这是重体力劳动，可以把AI当个大号计算器用。此外，构造性问题比证明全称命题（比如对于所有对象，证明它们都满足某个性质，或者证明不存在啥啥啥）对AI更友好，因为前者找个例子/反例就行，可以暴力计算、验证。当然现在的AI比1960年代计算机证明四色定理时先进了不少，不再傻乎乎地穷举。

上图为粘性流体

2.BSD猜想（椭圆曲线数论）：AI可以进行大规模数值验证，发现数据的相关性、统计规律，启发人类数学家进行全局证明。

3.黎曼猜想（解析数论）：AI能帮上忙的地方，也跟BSD猜想类似，即大规模数值验证、计算部分。

但AI无法提出新方案、新思路，如张益唐在黎曼猜想上做的工作（朗道-西格尔零点问题）。

4.杨‑米尔斯存在性与质量间隙（数学物理）：AI仍然只能干体力活，无法打通多个数学、物理学科，搭建底层全局框架。

5.P vs NP问题（算法复杂度）：这个不用说了，AI完全没思路，大眼瞪小眼。人类数学家花了大几十年，只是证明了这样做不行、那样做不行。你可是说说怎么才行？

6.霍奇猜想（代数几何）：OpenAI宣称在另一个千禧问题上也获得了实质性进展（注意不是“解决”），但没说是哪个。自媒体猜测是这道题，也有人猜是上面那个BSD猜想。按我使用AI的经验，AI不擅长抽象代数、几何类问题，这些东西比较抽象，更需要深层洞察力和几何直觉，不靠暴力计算。与NS方程不一样的是，这边连反例都不好找。

总的来说，目前的大模型建立在transformer架构之上，底层机制全靠概率拟合，擅长暴力计算、数值估计、构造验证，但它用的办法都是人类已有的，无法提出新工具、新思想、新框架、新范式。所以AI更有希望推进方程、数值类相关问题，对代数、几何、深层算法问题办法较少。数学中有时还需要建立新型的哲学思辨框架（如哥德尔不完备定理），加深人类对数学、哲学、逻辑、理性、乃至宇宙规律的认识。这些，都是当前的transformer式大模型尚不具备的能力。