黎曼诞辰200周年：一篇八页论文，困住数学界160多年

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格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼（德语：Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）。图源：维基百科

导读：

1859年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）写了一篇八页纸的论文。他在文中坦承，研究“还没有得到完善的结论”，并留下了若干证明缺口。

这八页纸里，藏着一个关于素数分布的猜想。此后160多年，全世界最聪明的数学家一次次向它发起冲击，至今无人证明，也无人推翻。

黎曼去世时还不满40岁，正式发表的论文屈指可数，其中的每一篇都几乎重塑了一整个数学分支，包括黎曼几何、黎曼曲面、黎曼ζ函数、黎曼积分等重要遗产。爱因斯坦描述广义相对论的语言也以黎曼几何为基础。

2026年9月17日，是黎曼诞辰两百周年。这位偏远乡村里的牧师之子，是怎样一步步走到数学世界中心的？

瞿立建｜撰文

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牧师之子与数学天赋

1826年9月17日，伯恩哈德·黎曼出生于汉诺威王国（现属德国）一个偏僻的村庄。

父亲曾在哥廷根大学学习神学，因抵抗拿破仑而中断学业入伍，退伍之后回村里做牧师，收入并不高。

老黎曼亲自给家里六个孩子上课。黎曼约十岁大的时候，父亲请了一位老师协助自己教孩子们算术和几何。这位老师很快发现，自己有时也难以跟上黎曼的解题思路。

黎曼最大的乐趣之一，就是自己编出困难的题目，再让兄弟姐妹来解。

黎曼大约十一二岁时，圣诞节前后，村里的孩子们聚在一起展示自己用纸板等材料制作的手工作品。轮到黎曼时，他拿出的不是普通装饰品，而是一件真正能够使用的“万年历”。这个装置可以利用年份、月份、闰年和星期循环之间的规律，帮助判断不同日期所对应的星期。

1840年，14岁的黎曼进入正规学校接受正式教育，相当于今天的八年级。

1842年，黎曼的数学老师Constantin Schmalfuss发现十六岁的黎曼极具数学天赋，学会一个特殊的结论便能自己推导出更一般的结论。Schmalfuss便因材施教，在每堂课上专门为他提供与其能力相匹配的内容。

结果，黎曼一次次超过老师的预期。最后，老师发现自己教不了这个学生了，便把自己丰富的私人数学藏书向黎曼开放，由他自由取阅。黎曼就这样读完了有关欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯（古希腊数学家，主要成就在圆锥曲线）的著作，还读了牛顿的《广义算术》（Arithmetica Universalis）、笛卡儿的《几何学》（La Géométrie）、勒让德的《数论》。

接下来发生的事，多少有些出乎所有人的意料。Schmalfuss发现，黎曼越来越沉迷数学阅读，以至于拉丁文和德文作文经常拖延。Schmalfuss不得不暂时停止借数学书给他，并与另一位教师Seffer合作，逼他把其他学科的作业完成。

Schmalfuss 老师发现黎曼的主要问题是过于追求完美了。一句话写出后，总要反复推敲，担心表达得不够准确，结果常常因为修改过度而无法按时完成作文。

Seffer老师让黎曼寄宿在自己家里，并经常陪黎曼写作直到深夜，反复告诉他不要思考过度，到截止时间必须给文章收尾。

两位老师没有彻底解决黎曼的这个问题，但至少能让黎曼应付学校的作业和考试了。

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从哥廷根到柏林：走向数学

1846年，黎曼入读哥廷根大学古典文献学和神学专业——这是父亲希望的专业，也容易获得教会的资助来减轻家庭负担。

当时的德意志大学实行“学习自由”（Lernfreiheit）的制度，学生可以自由地选课、转学，没有作业，没有考试，没有GPA。黎曼只选修了寥寥几门专业相关课程，主要精力都用于学习数学和物理学。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss；1777年4月30日—1855年2月23日），德国数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家。图源：wikimedia

哥廷根最重要的人物是高斯（Carl Friedrich Gauss）。黎曼并非高斯直接指导的学生，但深受其思想影响。入学第一周，他便借阅高斯的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae），之后又阅读高斯关于数论、地磁学和曲面理论的著作。

19世纪德国大学中，图书馆和个人阅读是学生成长的重要途径。据留存的借阅记录，黎曼在哥廷根累计借阅了大约500种书籍和期刊。

黎曼的兴趣并不局限于纯数学。他对地磁学、天文学和物理测量也很感兴趣，这些兴趣贯穿了黎曼后来的学术生涯。

第一年结束时，黎曼学习数学的决心已经定了。哥廷根的高阶课程比较少，他于1847年转学去了柏林大学。

黎曼在柏林大学修课证明（Abgangszeugnis）显示的第一学期课程：数论、分析方法在数论中的应用、光学、球面天文学、近代史。图源：参考文献

黎曼在柏林大学重点学习的课程有狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）的数论和分析方法在数论中的应用、偏微分方程、艾森斯坦（Gotthold Eisenstein）的椭圆函数、雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）的分析力学。

在柏林近两年，黎曼进入了复分析、数论和数学物理的最前沿。在狄利克雷的影响下，他逐渐形成了从基本概念和整体结构出发研究问题的风格，这成为后来黎曼数学最鲜明的特征。

除了学习，黎曼开始进行学术研究。

1847年1月11日，仍在哥廷根学习的黎曼完成了一篇关于微分与积分一般理论的论文。数学家Moritz Stern很欣赏这项工作，并建议他投稿到顶尖的数学期刊。黎曼却认为这项成果“实际用处太少”，最终没有投稿。

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开创数学新天地

1849年4月，黎曼返回哥廷根，开始攻读博士学位。当时的德国，学生念几年大学后就可以直接读博，不需要学士和硕士这样的中间阶段。

黎曼的博士论文由高斯负责审阅。人们常把高斯称作黎曼的博士导师，但两人并不存在今天这种由导师持续指导论文研究的关系；黎曼基本独立完成了论文，只是在提交之后才与高斯讨论。

1851年，黎曼完成博士论文。

向来吝于给予赞誉的高斯给出了罕见的高度评价："这是一部优秀且极具价值的著作，不仅达到了人们通常对博士论文的要求，更远远超越了这些标准。"

黎曼的博士论文不只是证明了几个结果，而是改变了研究复函数的方式。黎曼不再只把复变函数看成公式，而是把函数、曲面、映射和几何结构联系起来，重塑了复变函数的研究方式，并为后来现代复分析的发展奠定了基础。

1851年12月，黎曼获得博士学位。

当时获得博士学位后有两个典型去向，通过教师资格考试，去做中学老师，或继续努力三五年，获得特许任教资格（Habilitation），留在大学任教。

大学教职极少，几乎所有学生都会选前一条路，但黎曼没有去考，而是准备任教资格。

黎曼的任教资格论文《关于函数由三角级数表示》与高斯的研究领域完全无关，而是与狄利克雷的研究方向更接近。有科学史家推断，黎曼的部分参考资料是在柏林求学时从狄利克雷那里获得的。

黎曼的任教资格论文不是他最具革命性的作品，但也是数学史上的重要文献：它推进了函数与积分概念的严格化，并孕育了后来所谓的黎曼积分。

1852年秋，狄利克雷访问哥廷根。狄利克雷给了黎曼详尽的笔记，还细致审阅了黎曼的论文，并提出了一些有价值的建议。

1853年初，黎曼的兴趣突然从数学转向了自然哲学。

他重温牛顿的《自然哲学的数学原理》后，试图建立自己的“自然哲学的新数学原理”：他将物理过程与心理过程进行类比，认为人的意识活动中存在持续产生和消失的“精神质量”，自然界中也可能存在类似的内部过程。他提出一种“充满空间的物质”（space-filling substance，类似于以太）的假设，万有引力就是这种物质的压力，这种物质的振动就是光、热现象的成因。

这些设想未形成成熟体系，但他由此持续思考科学基本概念和几何基础。

1853年12月，黎曼完成他的任教资格论文。下一步，他还要做一个学术演讲。

黎曼提交了三个题目，第一个与他的论文密切相关，第二个是一个传统的代数问题，第三个是《关于几何学基础所依据的假设》。前两个题目他已经做好了完全的准备，第三个他还没做好准备。

按惯例，教授一般会挑选申请人已经准备好的题目。黎曼满心希望被抽中的题目是前两个中的一个，高斯偏偏选中了第三个。

好在还有时间，他的演讲定在了6月。

这段时间他并没有全力准备演讲，反而回到了自然哲学的研究。有一些流传的说法认为，黎曼是突击完成第三个题目的研究。这种说法不对，相关的思考他早已完成，只是没有整理成系统的文稿。

新年前后，黎曼病倒。

1854年2月，黎曼病情好转，开始写讲稿。6月10日，黎曼在六位教授面前做了演讲。演讲顺利通过。

有些文章说，在座的教授，包括高斯，被演讲内容震惊，这样的说法并不可靠。但这次的演讲分量确实不寻常，它是现代微分几何的奠基性文献之一——把几何从三维欧几里得空间推广到任意维空间。黎曼不是在解决一个几何问题，而是在重新定义“几何”本身。这份讲稿会在他死后发表，再过半个世纪，成为爱因斯坦描述宇宙的语言。

黎曼演讲之后，感觉非常轻松，开始憧憬获得任教资格后的生活。

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从无名讲师到顶尖数学家

1854年秋，黎曼第一次在哥廷根开课，讲偏微分方程及其物理应用。

开课之前，他最关心的问题是有没有足够的学生选课，使课程能够开出。他需要至少两个学生，最终有八个学生。对于一门高级数学课程，这已经相当不错。

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805年2月13日—1859年5月5日），德国数学家。他对数、傅里叶级数理论和其他数学分析学领域有杰出贡献，并被认为是最早定义现代函数的数学家之一。图源：wikimedia

1855年，高斯去世。狄利克雷接任了高斯的职位，这对黎曼来说是好事，因为狄利克雷一贯赏识他。

黎曼依然很少发表论文。他的朋友理查德·戴德金一直催促他抓紧发表论文。戴德金比黎曼小五岁，1850年到哥廷根求学，二人从此结下深厚友谊。

尤利乌斯·威廉·里夏德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831年10月6日—1916年2月12日），德国数学家，在数论、抽象代数和算术公理基础方面做出重要贡献。图源：wikimedia

1857年夏，黎曼集中时间写论文。这一年，黎曼发表了多篇论文，其中两项最重要的研究涉及超几何函数理论和阿贝尔函数理论。

长期独处、身体疼痛和连续工作也使他的身体越来越糟，情绪状态尤其低落。戴德金陪他一起散步、远足，一度使黎曼的情绪明显好转，但他随后反复出现情绪低落。

1857年11月，黎曼被提升为副教授。

1858年，黎曼关于阿贝尔函数的论文引起关注。数学家们看到，黎曼用几何方式处理复变函数的方法始于他1851年的博士论文。一些数学家开始四处寻找那篇早年几乎没人读的博士论文，希望弄清楚黎曼这套新方法究竟是怎样形成的。

1859年5月5日，狄利克雷突然去世，享年54岁。黎曼任正教授，接替狄利克雷留下的职位。同年，被遴选为柏林科学院通讯院士。

接下来的几周，是黎曼一生中最富传奇色彩的时刻之一。

9月，黎曼与好友戴德金一起访问柏林，这是黎曼十年前求学的地方。此时他当年在柏林接触的几位主要老师，狄利克雷、雅可比、艾森斯坦等都已经去世，他面对的是一个新的数学家圈子。

9月25日晚，一群数学家在餐厅招待远来的黎曼和戴德金。席间谈得最热烈的话题之一，是素数分布问题：随着数字越来越大，素数总体上越来越稀疏，但它们的出现仍然带有明显的局部波动，即有时几个素数相距很近，有时又会出现较长的空隙。在越来越稀的总体趋势之外，这些波动是否也隐藏着更精确的规律？

这次饭桌上的讨论重新点燃了黎曼研究素数分布的兴趣。回到哥廷根后，他全力研究这一问题。大约五周后，写出了一篇八页论文《论小于一个给定数的素数的个数》，寄给柏林科学院发表。他在文中坦承，研究“还没有得到完善的结论”，还留下了若干证明缺口。

在这篇短小的论文中，黎曼把素数分布与一个复函数的零点联系起来，这个复函数后来被称为黎曼 ζ 函数。黎曼提出了一个关于这些零点位置的猜想，这就是今天所说的黎曼猜想。

这篇短文发表后，并未立即引起广泛注意。直到19世纪90年代，复分析和整函数理论发展成熟，多位数学家开始补上黎曼留下的证明缺口，数学界才越来越清楚地意识到：黎曼那篇短文并不是一篇零散的猜想，而是为现代解析数论画出了路线图。

黎曼还研究复变函数、流体力学、热传导、声学和偏微分方程。

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疾病、意大利与最后的研究

身体已经开始跟不上大脑。1861年，黎曼上午连续讲两节课，到第二节时常常已经筋疲力尽，还会语无伦次，说话卡壳。

1862年6月，年近36岁的黎曼结婚。一个月后，他因病中断授课，医生建议去气候温和的地方长期休养。

1862年和1863年，黎曼夫妇两次去意大利休养，但黎曼的身体状况没有根本性好转。

据同事后来回忆，1866年春，黎曼曾追问医生自己还剩多少时间，以便选择一个能完成的问题。令人意外的是，他选的不是数学。他转向了耳朵的力学，阅读解剖学著作，从刚宰杀的牛头上观察锤骨、镫骨等听小骨。

1866年6月，黎曼与妻子和两岁多的女儿第三次去意大利，休养的同时试图完成耳朵力学的手稿。

7月20日，黎曼在意大利马焦雷湖畔去世，不到40岁。

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第二次生命

黎曼去世后，他的妻子整理好他所有遗稿，按黎曼生前遗愿，交给好友戴德金整理出版。

1867年，他未完成的耳朵力学手稿经整理后发表。黎曼提出了与当时研究声音和听觉的核心人物亥姆霍兹不同的理论。亥姆霍兹在1869年专门发表了一篇论文回应黎曼的遗作，称赞黎曼具有“非同寻常的洞察力”，并认为黎曼抓住了生理声学中一个真正重要的问题：耳朵如何把极其微弱的空气振动精确传递到内耳。

1868年，黎曼那份1854年的特许任教资格演讲《关于几何学基础所依据的假设》终于发表。约半个世纪后，爱因斯坦在苦苦寻找描述引力的数学语言时，一位数学家朋友告诉他，黎曼早已为准备好了一切。黎曼几何从一个纯粹的数学构造，变成了我们理解宇宙结构的基础工具。

黎曼去世十年后，1876年，《黎曼全集》（Riemann’s Werke）问世，完整、系统整理了他的学术遗产。

黎曼那篇八页的短文，他自己都承认没写完的短文，其中的猜想，依然是悬在数学界头顶160多年的谜。黎曼一生来不及回答的问题，留给后人继续求索。真正伟大的思想，不一定完成于一个人的生命之内。