袁岚峰：量子纠缠是什么？｜科学世界·视点

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请问你觉得，量子力学中最著名而最令人迷惑的概念是什么？答案十有八九会是量子纠缠。现在每当人们想表达两个东西之间具有某种神秘的关联，都很可能会说它们之间具有量子纠缠，这俨然成了当代最流行、最有格调的修辞。但如果真正问量子纠缠是什么意思，绝大多数人就一脑门子浆糊了。

许多伪科普讲过这些说法：量子纠缠是一种神秘的超时空感应，量子纠缠推翻了相对论，量子纠缠的原理没有人知道，量子纠缠来自高维空间，量子纠缠说明灵魂存在，量子纠缠让我们对世界的认识崩塌了⋯⋯如此等等，不一而足。

但实际上，这些说法全都是错的！这些说法全都是一知半解、不懂装懂的人搞出来的，故弄玄虚，以讹传讹。

因此，我经常感到对量子纠缠的科普特别重要，也特别难做。最大的困难在于，许多人的脑子里已经塞满了这些错误的说法。这比一张白纸还糟糕。

下面，我们就来正面解释，什么是量子纠缠。

Part.1

什么是量子纠缠

我们在前面说过，量子信息中用到的量子力学原理主要有“三大奥义”，量子纠缠就是其中的第三个奥义。

关于量子纠缠，首先需要强调的一个基本点是，它不是个神秘现象，它的规律可以用数学来表述，它的原理可以用前面说的三大奥义中的前两个，即量子叠加和量子测量来表述。

如果你学过这两个原理，你就肯定能对量子纠缠有所理解。而如果你没学过这两个原理，那你当然不可能理解量子纠缠。许多所谓科普的糟糕之处就在于，不解释量子叠加和量子测量，只是用各种玄而又玄的比喻来描述量子纠缠。更糟糕的是，许多比喻还是错误的。这样的比喻越多，只会让人越糊涂。

下面我们来快速地回顾一下量子叠加和量子测量。最快的方式就是用狄拉克符号（Dirac notation），即尖括号|〉，来表示量子力学中的状态。

叠加原理说的是：如果两个状态|0〉和|1〉是一个体系可以取到的状态，那么这两个状态的任意线性叠加即a|0〉+b|1〉也是这个体系可以取到的状态，其中a和b是两个数，对它们唯一的限制是|a|2+|b|2=1。像|0〉和|1〉这样的一组基本状态，就叫作一个基组（basis set）。

测量原理说的是：用|0〉和|1〉这个基组，对a|0〉+b|1〉这个状态做测量，结果就会以|a|2的概率得到|0〉，以|b|2的概率得到|1〉。

从这两个原理如何推出量子纠缠呢？这里的关键在于：叠加原理不仅适用于一个粒子，它也适用于多个粒子。当对多粒子体系使用叠加原理时，就必然会出现量子纠缠现象。

打个比方，我们把一个粒子比喻为一朵玫瑰，它有两个基本状态，分别称为红玫瑰与白玫瑰，红和白就对应我们前面经常举的0和1。然后，扩展到一个由两朵玫瑰组成的体系。请问它的状态该如何表示呢？

Part.2

两个状态

在日常熟悉的即经典力学的世界中，这很简单，就是分别描述两朵玫瑰处于什么颜色。总共有四种可能的状态，即红红、白白、红白和白红。

但需要注意，量子力学的做法不是这样。在量子力学中，刚才那四个状态其实只是四个基本状态，它们构成一个基组。而双粒子体系的一般状态，是这四个基本状态的线性叠加！也就是说，一般的状态是c1|红红〉+ c2|白白〉+c3 |红白〉+c4|白红〉，c1、c2、c3、c4是四个数，对它们唯一的限制是它们的平方和等于1。

一旦你想通了这一点，后面就都是顺理成章的了。我们立刻就可以构造一些特别的双粒子状态，它们具有神奇的性质，而这种性质就叫作量子纠缠。

例1：|红红>和|白白>这两个状态

的等权重叠加

首先来看这样一个状态，它是|红红>和|白白>这两个状态的等权重叠加，即，对这个态去做测量，我们会得到什么呢？

我们会发现，以，即1/2的概率得到|红红>；以，即1/2的概率得到|白白>。对于一号粒子和二号粒子，它们各自的测量值都是不确定的，都是一半红一半白。但真正惊人的是，它们的测量值总是相同的！如果我们测得一号是红玫瑰，那么同时二号也是红玫瑰。如果我们测得一号是白玫瑰，那么同时二号也是白玫瑰。这种关联就叫作量子纠缠。

例2：|红白>和|白红>这两个状态

的等权重叠加

再来看另一个状态，它是|红白>和|白红>这两个状态的等权重叠加，即。

对这个态去做测量，就会发现两个粒子的颜色总是相反。如果我们测得一号是红玫瑰，那么同时二号就是白玫瑰。如果我们测得一号是白玫瑰，那么同时二号就是红玫瑰。这种关联同样也叫作量子纠缠。事实上，这两个状态正是量子纠缠的两个非常常见的例子。

了解到这里，就可以解决一个常见的困惑，即量子纠缠究竟意味着相同还是相反。经常有文章说量子纠缠导致两个粒子的状态总是相同，也经常有文章说量子纠缠导致两个粒子的状态总是相反。你也许早就在心里嘀咕：到底是啥？现在你可以明白，其实这两个都是量子纠缠。它们是完全同类型的现象，只是最终表现不同而已。

理解了这些例子，我们就可以对量子纠缠给出一个统一的定义。量子纠缠指的是这样一种现象：在多粒子体系中，单个粒子的测量结果各自都是随机的，但这些随机数之间存在确定的关联。单粒子随机，关联确定，这两个要素缺一不可。具有这样性质的状态，就叫作纠缠态（entangled state）。

根据这个定义，立刻就可以明白，很多体系不存在量子纠缠。例如单粒子体系就没有量子纠缠，因为量子纠缠至少需要两个粒子。（这话其实不是完全正确，因为经过非常精细的考虑，有可能在单个粒子的多个性质之间建立量子纠缠。不过这属于专业人士内部的讨论，在这里就不赘述了。在大部分时候，我们只考虑单个粒子的一个性质，这时量子纠缠自然就需要多个粒子。）

又例如，|红红>、|白白>、|红白>和|白红>这些基本状态也没有量子纠缠，因为它们的单粒子测量结果就是确定的，不满足量子纠缠的第一个条件。两个确定值之间的关联当然也是确定的，但这就变成一件平凡的事了。

前面这些例子都非常容易理解，不过下面这个例子就有点费思量了。把四个基本状态全都等权重叠加起来，即(|红红>+ |红白> + |白红>+ |白白>)/2。

请问它有没有量子纠缠？乍一看，可能会觉得它也是量子纠缠，因为对它的测量结果是，一号粒子和二号粒子各自有一半的概率红，一半的概率白。但仔细想想，一号和二号的测量结果之间有关联吗？你会发现答案是没有。因为当测得一号是红色时，二号的颜色仍然是一半红一半白；当测得一号是白色时，二号的颜色也仍然是一半红一半白。这两个随机数是完全独立取值的，不满足量子纠缠的第二个条件。所以这个看似最复杂的态其实反而是很简单的，它没有量子纠缠。

通过这些例子，我们就可以对什么叫作关联有更深的理解。完全相同当然是关联，完全相反当然也是关联。中间程度的，比如说以90%的概率相同或者以10%的概率相同（即以有90%的概率相反），也是关联。但以50%的概率相同就不是关联，而是没有关联，因为两个取0和1的变量完全独立地取值，就会有一半的概率碰上。对于两个变量，测量它们之间的关联，其实就是测量它们相同的概率偏离50%的程度。

Part.3

什么叫作分离变量？

到这里为止，你对量子纠缠的了解已经超过了绝大多数人。如果你还想知道更有理论深度的表述，那就是：一个状态是不是纠缠态，其实是一个多元函数能不能分离变量的问题。

什么叫作分离变量？就是把一个多变量函数写成多个单变量函数的乘积。例如把二元函数F(x, y)写成一个关于x的函数f(x)与一个关于y的函数g(y)的乘积，即F(x, y) = f(x) g(y)。

如果存在这样的f(x)和g(y)，我们就说F(x, y)是可以分离变量的。如果不存在，我们就说它不能分离变量。同样的定义可以推广到更多自变量的函数，例如F(x, y, z) 是否可以写成f(x) g(y) u(z)，就是这个三元函数能不能分离变量。

显然，很容易找到一些可分离变量的例子。例如F(x, y)=xy。一望可知，取f(x) =x和g(y) =y就可以了，这是道送分题！稍微复杂一点的，例如F(x, y)=xy+x+y+1，仔细看看你就会发现它等于(x+1)(y+1)，所以取f(x)=x+1和g(y)=y+1即可。然而，也很容易找到一些不可分离变量的例子。例如F(x, y)=xy+1。(可以用反证法证明）。

前面这些数学讨论，跟量子纠缠有什么关系呢？在量子力学中，体系的状态可以用一个函数来表示，称为“态函数”（前面我们把一个状态理解为一个矢量，这里又把它理解为一个函数，这两者都是成立的，学了线性代数和微积分就明白了）。如果一个多粒子体系的态函数可以分离变量，我们就把它称为直积态（direct product state），即多个单粒子态函数的直接的乘积。如果它不能分离变量，我们就把它称为纠缠态。

对于直积态，我们在对一个粒子做测量的时候，不会影响另一个粒子的状态。这时我们对整个体系可以用类似经典力学的语言来描述，说“一号粒子处于某某状态，二号粒子处于某某状态”。这就是分离变量的结果。

但对于纠缠态，我们在对一个粒子做测量的时候，就必然会影响其他粒子的状态。因此我们无法把整个体系描述为各个粒子各自处于某某状态，只能说它整体处于某某状态。这是一种在经典力学中完全不存在的情况，我们失去了对单个粒子定义明确状态的能力。所以我们说这些粒子纠缠在一起，纠缠这个词就是这么来的。

提出量子纠缠的3位物理学家

照片从左到右分别为爱因斯坦（Einstein)、波多尔斯基（Podolsky）与罗森（Rosen）。1935年，3人联名发表了论文，提出量子纠缠的概念。这篇论文采用了这3位物理学家姓氏的首字母缩写，称为EPR论文。

根据这些数学定义，我们很容易就能更加深入地理解前面举的那些例子。例如|红红>一看就是个直积态，因为它实际的意思就是|红>1|红>2，即一号粒子和二号粒子各自的红态的乘积。

对于乍看起来最复杂的，也很容易发现它其实是直积态，因为它等于。

这个例子的有趣之处在于，一号粒子和二号粒子各自都处于一个叠加态，但它们之间没有纠缠。双粒子体系的态函数，就是这两个单粒子态函数的乘积。

再来看我们举的第一个纠缠态的例子，即。如何证明它不能分离变量呢？用反证法。假如它可以分离变量，也就是说，存在四个数a、b、c、d，使得 = (a|红>1+b|白>1) (c|红>2+d|白>2)。

我们来观察一下。这个状态中不包含|红白>，所以ad=0，这说明a和d中至少有一个等于0。但到底是谁等于0呢？

如果a=0，|红红>这一项就不会出现。而如果d=0，|白白>这一项又不会出现。无论如何都自相矛盾，由此可见最初的假设是错的，这个态不能分离变量，也就是说它不是直积态，而是纠缠态。

类似地，对前面举的第二个例子，也很容易证明它不是直积态，而是纠缠态。按照这样的思路，我们很容易构造出大量的直积态以及大量的纠缠态。

了解到这个程度，就可以解决一个常见的困惑，即许多人分不清叠加态和纠缠态这两个词，只觉得它们都很神秘，都表示了量子力学的某种模糊性，难道它们是一回事吗？其实完全不是。一个很明显的区别是，单粒子体系和多粒子体系都可以有叠加态，但只有多粒子体系才能有纠缠态。更有理论深度的区别是，一个态是不是叠加态依赖于基组（换一个基组它就可能不是叠加态了，而是这个基组中的一个基本状态），而一个态是不是纠缠态不依赖于基组（无论取什么基组，都不能改变这个态是否可以分离变量）。

Part.4

做个总结

现在，我们对量子纠缠已经获得了相当深入的认识，稍微总结一下。

● 量子纠缠不是个神秘现象。

● 量子纠缠是由量子力学中的叠加和测量这两个原理推出来的。

● 量子纠缠可以表述为，对单粒子的测量结果是随机的，在多个随机结果之间的关联是确定的。

● 量子纠缠是需要构造的，并不是所有的多粒子状态都具有纠缠。

● 量子态分为两类，直积态和纠缠态，它们的区别在于能否分离变量。

而如果你还知道量子纠缠在实验上是如何判定的⋯⋯我们下次来讲这个故事，这又将是一个波澜壮阔而出人意料的故事，一次人类思维与实践的伟大历险。

本文摘编自杂志2025年第2期，文章内容略有删改。

实习编辑 | 扶佳燕

本文2026年6月1日发表于微信公众号 科学世界 （），风云之声获授权转载。

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