重复埃舍尔双面曲图案中的复杂对称性

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

为了在双曲面上创造艺术，人们经常使用复杂的对称变换，产生具有相应复杂对称性的重复图案。我们探讨了一种特定图案的这种变换，但这些变换是许多双曲面图案的特征，包括M.C. 埃舍尔的图案。我们还探索了色彩对称在创作这些图案中的应用，这又增加了变换的复杂程度。

1 引言

重复双曲面图案可以表现出复杂对称性的两个方面。第一个方面涉及双曲面的等距组合。第二种是颜色对称，它在等距的基础上又增加了一层复杂性。重复双曲面图案的对称性是双曲面的等值线，它使图案保持不变，即把图案映射到它本身。我们要考虑的重复图案是由基本子图案或图案的副本组成的。因此，图案的对称性会将图案的任何副本映射到图案的另一个副本。图1展示了一个以蝴蝶为主题的例子。荷兰艺术家埃舍尔（M.C. Escher）在他的重复图案中大多使用动物作为主题。

图1：蝴蝶的双曲线图案。

如果图案是彩色的，每个图案通常有一种相关的颜色。一般来说，图案的对称性会混合图案的颜色，但我们将只考虑以常规方式混合的图案。

这些概念不仅适用于双曲面图案，也适用于以下三种“经典几何图形”中的任何一种图案： 欧几里得几何、球面几何和双曲几何。埃舍尔在每种几何图形中都创造了重复的图案，其中大部分是欧几里得平面上的图案。

在下一节中，我们将扩展这些观点，尤其关注对称运算。下一节我们将研究这些对称运算的不变式。在第三部分，我们将讨论复杂的对称运算是如何由较简单的对称运算组合而成的。最后，我们对结果进行总结。

2 1. 双曲面重复图案的对称性

我们首先考虑的是双曲面上的无色重复图案，它由理论上无限多的图案副本组成。如上所述，该图案的对称性是双曲等值线，它使图案保持不变，将图案的每个副本映射到另一个这样的副本。重复图案的对称性集合形成一个群，即图案的对称群。

如果图案是彩色的，那么图案的对称性通常指的是一种保持未着色图案不变的等距法。在彩色重复图案中，每个图案都有一种颜色。因此一般来说，图案的对称性会重新分配每个图案副本的颜色。为了简单起见，我们只考虑具有有限n种颜色的图案，这也是埃舍尔图案的特点。不过，为了创造出美观的图案，我们应该以一致的方式来完成这一工作。因此，我们首先要求对称性能将一种颜色的所有图案映射为一种颜色，并且没有两种颜色的图案映射为相同的颜色。因此，每个对称性都会引起一种颜色的排列组合。因此，图案的对称群与n种颜色的对称群Sn的子群之间存在同构关系。在这种情况下，我们说图案具有颜色对称性。如果该子群具有传递性，因此所有颜色都可以互换，我们就说该图案具有完美的颜色对称性。我们所考虑的重复图案都具有这种色彩对称性，埃舍尔的所有彩色重复图案也是如此。

因此，我们甚至可以从讨论（彩色）重复图案的术语中看出，该主题与一般对称性密切相关。

3 2. 重复双曲图形对称性的不变量

双曲面的任意等分线不会使重复的双曲面图案保持不变，但任何能使（未着色的）图案保持不变的等分线都称为图案的对称线，这在上一节中已经提到过。彩色图案的某些对称性会改变颜色，某些对称性会固定一种颜色。例如，旋转2π/7可以固定图1中的白色蝴蝶，但会改变其他颜色。固定一种颜色i的对称集是一个子群，我们称之为图案对称群的Gi。如果有n种颜色，那么所有Gi从1到n的交集将固定所有颜色。它是图案对称群的法向子群，其元素会使整个彩色图案保持不变。

4 3. 由简单对称建立的复杂对称

在“经典”几何中，双曲面不同于球面和欧几里得平面，因为它不能平滑地嵌入我们生活的普通三维空间。数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）早在100多年前就证明了这一点[希尔伯特，1901 年]。因此，我们必须依靠双曲面的模型：欧几里得构造，其各部分可被赋予与双曲几何学一致的双曲含义。庞加莱圆盘模型就是这样一个模型[格林伯格，2007]。该模型中的双曲点只是边界圆内的欧几里得点。双曲线由与边界圆正交的圆弧表示，包括作为特例的直径。图2显示了一个带有一些双曲线的圆盘。对于重复双曲线图案的创作，艺术家们更喜欢这种模型，因为 (1) 它是保角的，因此角度的度量与欧几里得度量相同，从而使图案在接近边界圆时保持近似形状；(2) 它包含在欧几里得平面的一个有界区域内，因此观众可以看到整个图案。需要注意的是，双曲线图案必须重复出现，即理论上有无限多个图案，这样我们才能看到它真正的双曲线性质。否则，我们就只能看到有限的物体集合，而我们自然会认为这些物体是欧几里得的，例如图2。

图2：庞加莱模型中的一些双曲线。

反射是每个(二维)经典几何中的基本等距，因为任何等距都可以表示为至多三个反射的合成。在欧几里得平面中，有四种等距：反射、平移、旋转和滑移反射。两条直线上的连续反射分别产生平移或旋转，这取决于这两条直线是平行的还是相交的。如果一条直线上的反射波随后是沿这条直线的平移波，就得到一个滑移反射波，它由三个反射波组成。在球面上有三种等距线：大圆反射、旋转和旋转反射。穿过两个大圆(必须相交)的连续反射产生绕其相交轴的旋转。旋转反射类似于欧几里得滑移反射，可以由三次连续的大圆反射产生。双曲平面的等距线与欧几里得平面的等距线相同，只是增加了一点。附加等距线是由两条双曲线上的连续反射产生的，这两条双曲线在边界圆上的一点处相切。这种等距线沿着通过该点的水平圆(由与边界圆相切的圆表示)来“平移”点，因此被称为水平圆。埃舍尔和我都没有在我们重复的双曲线图案中使用这样的等距，但其他艺术家使用过。因此，在双曲平面上有四种复等距:平移、反射、滑移反射和旋转。在每一个经典的几何图形中，两条相交直线上的连续反射产生了绕交点的旋转，旋转角度是直线相交角度的两倍。因此，围绕图2右侧的两条线的交点的这种旋转产生了围绕该点的90度旋转，因为两条线以45度相交。

在庞加莱圆盘模型中，跨直线的反射是由代表该直线的圆弧中的反转给出的（在这种情况下，也可以说是跨直径的普通欧几里得反射）。图 1 的模式中不存在反射、滑移反射或角对称。

图1中未着色图案的所有对称都是旋转或平移，因此可以被视为复杂对称，因为它们都可以通过两次连续反射产生。事实上，在创建图1的计算机程序中，这些复对称就是这样构建的。

为了给图1等图案添加颜色对称性，我们必须说明在应用（无彩色）图案的对称性时，颜色是如何变化的。在完全颜色对称的情况下，这仅仅是颜色的排列组合。为了做到这一点，我们通过将排列编码为变换的一部分，为表示对称性的变换增加了另一层复杂性。同样，这也正是创建图1的计算机程序所要做的。

埃舍尔的所有重复欧几里得图案、双曲线图案以及大部分球形图案都可以在Doris Schattschneider的著作《M.C. Escher：Visions of Symmetry》 [Schattschneider, 2004]一书中。他的许多欧几里得图案和四个双曲线图案中有两个具有完美的色彩对称性。其他双曲线图案，有些具有色彩对称性，也可参见 [Dunham, 1999]。

5 结果

我们已经展示了基本双曲等距如何组成双曲图形的复杂对称。此外，我们还展示了如何通过在对称变换中加入颜色对称来增加对称的复杂性。

参考文献

Dunham, D. (1999), Artistic Patterns in Hyperbolic Geometry, Proceedings of Bridges 1999, pp. 239–250, 1999. Online at: http://archive.bridgesmathart.org/1999/index.html.

Greenberg, M. (2007) Non-Euclidean Geometry, 4th ed., New York, W.H. Freeman, Inc., 2007. ISBN

Hilbert, D. (1901), Über Flächen von konstanter gausscher Krümmung, of the American Mathematical Society, pp. 87–99, 1901. https://doi.org/10.2307/1986308, https://doi.org/10.2307/2970640

Schattschneider, D, (2004), M.C. Escher: Visions of Symmetry, 2nd ed., New York, Harry N. Abrams, Inc., 2004, 384 pp. ISBN 0-8109-4308-5

Douglas Dunham, Complex Symmetries in Repeating Hyperbolic Patterns

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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