伊斯兰墙砖艺术的尺规绘制秘籍

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少

本文探究伊斯兰艺术中具有六重旋转特征的图案之间的结构关系，并提出了一种基于将90度角六等分的尺规作图方法来生成图案。该方法能够在正方形和边长为√3的单位网格内系统地构建各种几何设计，为当代应用提供了一套实用的设计方法。本研究展示了这一方法如何揭示历史图案之间的关联，并加深对伊斯兰艺术中共同设计原则的理解。本研究的一项关键贡献是引入了SES-APPS系统（即"加法图案与多边形结构"系统），它将模块化设计元素与多边形框架相结合。本研究还提出了将这些图案应用于k-均匀系统以及复杂多面体形式（如立方八面体）的方法，为伊斯兰几何装饰艺术的理论探索和实际设计提供了新的可能性。

引言

伊斯兰几何图案是结合了数学精确性与艺术创造力的深厚知识传统的产物。在伊斯兰艺术中，基于使用尺规的传统设计方法一直是历史设计过程中不可或缺的一部分。然而，系统全面地研究这些技术的结构和方法框架的工作，仍然是一个有待进一步探索的领域。

本文聚焦于一种特定的设计策略：将90度角六等分。通过在正方形和边长为√3的单位网格内应用这一原理，研究展示了角度划分如何能够生成一系列具有六重旋转特征的图案。研究首先分析了位于马尔丁的茜蒂·拉达维耶经学院米哈拉布中发现的具有p4g对称性的基础图案。例如，图2中右下角的图案便是通过将六角星以"点对凹"的配置方式置于正方形的顶点上而构建的，从而保留了部分四重对称性。接着，本文将分析范围扩展至瓜廖尔穆罕默德·加乌斯陵墓的雕花屏窗以及祖赞经学院的图案。这种方法阐释了尺规作图法如何揭示出那些在不同时代和地域、看似无关的图案背后所共通的几何逻辑。识别这些内在联系为开发新方法奠定了基础。

六重旋转图案的基本构成

将正方形或长方形的90度角进行折叠或六等分，会产生一个六重旋转的图案单元，它通常遵循√3单位矩形的比例，但也可能以其他比例出现。图1展示了如何使用圆规和直尺构建正方形单位和√3单位矩形。在构建正方形的过程中，所绘弧线的交点可作为后续作图的参考点（A1）。从正方形顶点向这些内部交点绘制连线，即可将每个顶角六等分（A2）。绘制√3单位矩形时，需先确定其顶边的位置。为此，我们从右下和左下顶点以60度角作线段，标记这两条线段与右侧和左侧边缘的交点（B1）。然后连接这两个交点，即完成该矩形的绘制。为了构建本文所示的六重旋转图案的基本模板，我们以各顶点为圆心，绘制两条延伸至相邻顶点的弧线，从而将每个顶角六等分。当我们从这些弧线的交点向顶点绘制连线时，顶点处的角即被划分为六个15度的角（B2）。

图1 使用直尺和圆规绘制正方形单位和√3矩形。

《托普卡帕卷轴》是研究伊斯兰艺术几何图案的重要一手文献来源（Necipoglu 1995）。尽管该卷轴并未提供关于使用尺规构建图案的明确信息，但其大部分设计都是在可重复单位网格的四分之一结构内完成的。此外，在图案背后可以观察到划分顶角的淡色线条以及环绕星形的圆圈。这些元素表明，图案是运用尺规作图技术构建的，且潜在的放射状框架是几何构成过程中不可或缺的一部分。

卷轴所提供的、在技术层面最重要的见解之一，在于图案结构中存在一种如同外壳般包裹着星形的多边形构型。这些多边形用红色虚线标示。由 E. Hanbury Hankin 发现并命名为“相切多边形”（PIC）的结构（1925），后来被 Jay Bonner 扩展为一个全面的理论框架，他称之为“多边形技法”（2017）。Peter R. Cromwell 对卷轴中几何设计的分析（2010a；2010b），以及他关于结合一点法与二点法的混合结构的研究（2010c），为多边形系统的历史与当代应用提供了重要的见解。Craig S. Kaplan（2005）也做出了显著贡献，他将 Hankin 的“相切多边形”方法改编为计算机辅助设计流程。Kaplan 的方法通过追踪多边形的切点来生成星形图案，为将多边形系统融入当代设计应用提供了一个实用模型。

这表明，多边形框架本就内在于卷轴上图案的建构逻辑之中，并通过尺规作图得以实现。然而，图案30和图案42（Necipoglu 1995）仅能通过尺规近似完成。图案30是由十六角星和十三角星结合而成，而图案42则基于十一角星与九角星的共存。在这些案例中，13和11作为质数的存在，是导致尺规作图难度增加的决定性因素，因此这些图案只能被近似地绘制出来（Ekizler Sönmez 2024）。

与此类似，本文所探讨的每个图案都是通过基于欧几里得几何的尺规作图法展开的，并且通常是在可重复单位网格的四分之一结构内完成的。这种共有的结构逻辑使我们能够追溯不同图案之间的亲缘关系。

穆罕默德·加乌斯陵墓及其相关图案

通常，研究者进行图案分析时，会聚焦于单一图案，或至多几个具有共同结构的图案。邦纳将具有相同多边形结构的图案划分到不同类别中（Bonner 2017）。本研究则首次尝试运用尺规作图法来阐明图案之间存在的紧密联系。我们通过追溯图案之间的关联，如同在不同网络标签页间浏览一般，按特定顺序展示这些图案的相互联系。

建于12世纪末的马尔丁茜蒂·拉达维耶（又称哈图尼耶）经学院米哈拉布上的图案（图2），其特点是在正方形的对角顶点处布置了具有60度夹角的六角星（图3）。这种布局是通过将星形以“点对凹”而非更常见的“点对点”方式对齐实现的。六重旋转纹样在正方形单元内的这种布置方式，对于本研究的后续阶段至关重要。本文在此示例的基础上继续发展出更多的设计。呈对角线相对位置的两个六角星朝向相反的方向（Ekizler Sönmez 2020a）。我们按照C1至C5的步骤来生成该图案。重复构成该结构中隐藏的、以红色、黑色和绿色标示的图案，可以得到不同的密铺镶嵌。此外，通过叠加这些图案，我们还能绘制出另一种设计。当构成C4图案的三个结构层用不同颜色高亮显示时，便得到了CA。其中绿色层描绘了邦纳所称的“振荡正方形”结构（Bonner 2017）。将菱形二等分，可以得到两个等边三角形，这对应于(3^2.4.3.4)型的半规则密铺，在该密铺中所有顶点都具有相同的构型。红色线条代表了可内切于菱形的最大六边形——这些六边形是通过切去菱形的角部获得的。如果将这些触及黄色正方形区域边中点的红色线条，作为边的平分线在正方形内部延伸，那么由此产生的布局（如CB所示）将生成一个由(3.4.6.4); (3.4^2.6); (4^4) 三种构型组成的三均匀半规则密铺（Grünbaum and Shephard 1987），即Galebach 61种三均匀密铺中的第22号（Galebach 2002-25）（图3）。

图2 茜蒂·拉达维耶经学院的米哈拉布

图3 图案C5的构建步骤及其底层结构层。

通过使用相同的结构和交点，生成了三个设计。这些设计自然与图2中所示的C5图案相关。第一个是图案D（图4）。在正方形的对角顶点处，布置了顶角为60度的六角星，它们在每个顶点处的旋转角度不同，分别为30度、90度或180度。D3图纸展示了该图案与图案C5的关联。该图案在《托普卡帕卷轴》中被编号为59（Necipoglu 1995），绘制在正方形单位网格内，可通过平移对称性进行重复以得到完整的密铺镶嵌（Ekizler Sönmez 2024）。D5-A中的粉色线段揭示了该设计的走向与结构，而在《托普卡帕卷轴》中，这些线段以红色虚线形式出现在图案背后。这一图案也出现在Bourgoin的图集中（Bourgoin 1973）以及埃迪尔内塞利米耶清真寺（1574）的窗棂上。

图4 基于相同结构的三种不同设计。

在D5-B阶段，我们对四个蝴蝶形的线条进行了延伸和相交处理。此阶段的图案可见于叙利亚大马士革的伍麦叶清真寺（715年）的门扇上（Wade 2025），同时也出现在Bourgoin的图集中（Bourgoin）。在法塔赫布尔西格里（1570–1586），正方形单元网格和√3矩形单元网格被并列应用，这为我们比较这两种不同单元网格的应用提供了机会。在图案E中，图案D里的六边形被替换成了“面二三角”形。这种与正方形和十二边形相关的面二三角形，其内角为150度和90度，这分别是十二边形和正方形的内角。六角星的内角正是90度。此图案中的所有形态均为模块化构件。因此，中心的蝴蝶形也与面二三角形相关联。该图案出现在伊蒂马德-乌德-道拉陵墓（1622年）中。在Gabriel的档案中，也能看到巴特曼省泽伊内尔贝伊陵墓（1473年）的瓷砖设计里有相似的图案（Yurttaş 2010）。这些模块化构件对我们研究至关重要。在本研究的后续部分，我们将提出一种用于创建加法图案的新型模块化配置方案（图24）。

该方法的基础框架是通过将一个正方形的四个角分别六等分而生成的，它作为构建各种几何图案的模板。这是因为在设计过程中，通常只需遵循这些引导线并关注某些参考点就足够了。除了展示如何用最少的尺规作图步骤构建这个六重系统外，我们还通过图案F引入了在方法论上具有显著差异的新途径，从而扩展了该系统的生成潜力。图案F3中的蝴蝶形与图案D5-A中的蝴蝶形具有相同的属性，但这四个蝴蝶循环的旋转方向相反。F3图案见于瓜廖尔的穆罕默德·加乌斯陵墓（16世纪）（图5）。在探讨图案F所引导出的不同设计之前，我们需先指出另一种设计。观察图案的不同方式使我们能根据广泛的特征对其进行分类，这有助于我们生成新的设计。

图5 穆罕默德·加乌斯陵墓的雕花屏风图案，瓜廖尔，16世纪。

《托普卡帕卷轴》中以红色虚线显示的图案，此处用粉色线条表示。在外围正方形内，由四个风筝形构成一个循环图案并作为一个独立单元应用的设计，被Cromwell和Beltrami（2011）称为“旋转风筝形”设计。他们认为，此设计是一个由四个风筝形围绕一个中心正方形组成的有限构图，而非可重复的密铺图案。这种设计在伊朗通常被称为“chahar toranj”。构成该循环的风筝形，其内角分别为60度、90度和120度（图6）。此设计以不同角度和比例变化的变体，在伊斯兰建筑中也能找到（Ekizler Sönmez 2024）。图6中的紫色正方形单位对应着可通过平移对称性重复以生成连续表面图案的单位网格的四分之一。与图15不同，此处构成图案的线条并非连续的。

图6 旋转风筝形的有限构图。

当我们突出显示图案F3中交于中心点的线条时，便得到了图案F3-X（图7）。这一设计见于加济安泰普16世纪塔赫塔尼清真寺的宣礼塔上。

图7 F3-X设计。

通过利用D5-A、E4和E3中心的方形，我们得到了DX、EX和FX设计。对图案D5-A、E4和E3中的半风筝形应用反射对称再施加旋转对称，可以得到六边形单元；通过重复这些单元，我们得到了DY1、EY1和FY1设计（图8）。蓝色区域标示了这些图案中的根号三矩形单位网格。在FZ1中，中心六边形被移除，显露出其下方的十二角星。有趣的是，EY1结构同时出现在伊蒂马德-乌德-道拉陵墓（1628年，阿格拉）和鲁斯坦帕夏清真寺（1561年，伊斯坦布尔）中，尽管两地相隔遥远。

图8 图案DX、EX、FX 以及 DY、EY、FY。

首先对图4中设计底层较大半风筝形区域内的较小半风筝形部分（图8中以蓝色高亮显示）应用镜像对称，然后再施加六重旋转对称，我们生成了DY2、EY2和FY2构图。要得到FZ2图案，则需要增加一排六边形单位网格。这种扩展在角落和中心同时生成了十二角星。

DY2设计在伊斯兰建筑中应用广泛。埃尔祖鲁姆的雅库提耶经学院（1310年）、阿克萨赖的苏丹汉驿站（1229年）、布哈拉的米尔-阿拉伯经学院（1536年）以及胡马雍陵（1570年）等都是使用该图案的地方。Critchlow的分析揭示了该图案与(3.4.6.4)半规则密铺的关联（Critchlow 2011）。虽然EY2图案包含的模块化构件属于一个在米马尔·希南作品中广泛使用的图案（尤其是在奥斯曼时期，我们将在图17中将其称为图案N），但FY2图案将在本研究的后续部分中作为一个能够衍生出不同图案的结构来使用。

该图案被应用在埃迪尔内塞利米耶清真寺（1575年）的陵墓围墙上（图9）。当我们移除根号三矩形单位网格中心的六边形后，就得到了图案FZ。这一图案可见于伊兹尼克绿色清真寺（1391年）的米哈拉布，以及安卡拉哈吉·穆萨清真寺（15世纪）的敏拜尔栏杆上。

图9 埃迪尔内塞利米耶清真寺陵墓围墙上（1575年）

图案F3呈现出一个略有不同的体系，类似于多边形结构。在此，我们从另一个角度解释图案F3与其他设计的关联。角落处四分之一大小的六边形被替换为六角星，其线条经过延伸和相交处理。通过使用60度角和90度角这两种不同的六角星，我们分别得到了图案D5-A和图案E4。在图10中，可以看到这些图案的密铺镶嵌。背景中的绿色线条标示了一个由 (3.4.6.4); (3.4².6); (4⁴) 构成的三均匀半规则密铺系统。

图10 图案D5-A与E4及其底层的半规则密铺。

基于图4中的图案F，还可以生成另一种图案。该图案出现在Bourgoin的图集中，这一事实可能表明它存在于历史建筑中（Bourgoin 1973）。此图案按照FA-1至FA-5的步骤构建。FA-2阶段展示了该图案内部嵌有我们在图2中讨论过的图案。此外，该图案中还隐藏着以绿色显示的FA-3X“chahar-turanj”图案。

在FA-5阶段的红色结构中，我们看到了两种重复出现的形态：蝴蝶形和风筝形。在本研究的这个阶段，我们开始思考重新排列这些部件以构建新设计的可能性（图11）。

图11 图案FA的构建过程。

图12展示了与图4中图案F相关的另一种图案。该图案尤其在印度的许多建筑中可见，而阿格拉堡的实例最为著名。在示意图H1中，我们可以看到中心四个旋转风筝形与红色蝴蝶形之间的结构关系。在角落处，蓝色层的六边形与红色层的六边形完全相同，只是旋转了90度。

图12 图案H的构建步骤。

在图4中，我们展示了如何将图案F3用作另一个图案的骨架。这个新形成的图案，如图13所示，如同肌肉般包裹着这个骨架。我们可以按照K1至K6的步骤绘制此图案。在K7中，我们高亮显示了图案中的风筝形。

图13 图案K的构建步骤。

该图案源自祖赞经学院（1219年）（图14），其历史可追溯至花剌子模王朝时期。图案中蝴蝶形的排列方式所构成的设计，与图3中的图4-F3图案密切相关。如图15中蓝色部分所示，绘制并延伸中心正方形的对角线，会得到一个由蝴蝶形水平垂直排列构成的设计，其顶角为150度和90度。在绿色图层中，我们绘制中心正方形的中线并使其相交，也得到了具有相同蝴蝶形排列的设计，但这次蝴蝶形的顶角为120度和90度。

图14 祖赞经学院的图案（1219年）

图15 基于F3图案绘制不同的蝴蝶形图案。

本研究的下一部分将揭示在正方形单位网格内构建的六重旋转图案与那些采用√3单位矩形网格的图案之间的关系。图8指出了它们在图案FY的初始阶段是如何关联的。图1展示了√3矩形的构建方法以及如何将顶角六等分。为了构建图案FY，我们使用这些线条和顶点作为参考点（图16）。利用相同的结构，我们可以绘制出FZ图案。

图16 图案FY与FZ的构建过程。

在图17中，我们参照图16中使用的方法，通过填充六边形内部来设计新的图案。在六边形内部，我们放置了多种形态，范围从顶角150度的十二边形到顶角30度的六角星。在图案L中，我们对六边形内的十二边形线条进行延伸和相交处理（图17）。如L2所示，当移除十二边形后，顶角90度的六角星在最终图案中显现得更加清晰。边缘处则留有半面二三角形。

图17 图案L、M、N、O、P、L2和O2的构建过程。

在图案M中，红色六边形内部包含着一个六边形。在这种情况下，边缘处也是六边形。在图案N中，六边形内部是一个顶角90度的六角星。同样，边缘处是面二三角形。在图案O中，我们将一个顶角60度的六角星放置在六边形内部。这一次，面二三角形被替换成了等边三角形。在图案P中，六边形内部是一个顶角30度的六角星。这导致边缘处出现了顶角30度的三角星。使用图4中图案D5-A的构件，可以在√3矩形内生成新的图案。使用这些构件时，我们能得到与图案O相关的图案O2。在图案D5-A和图案O2中，线条都不是连续的；六边形在角部是断开的。

当所有图案中的构件叠加在一起时，图案尺寸的变化变得明显，类似于吸气和呼气的过程（图18）。这些系统性的角度转换也与构成多边形结构的线条相关。

图18 图案叠加。

为了审视这些均呈现p6m对称性的瓷砖图案的视觉连续性和内在逻辑，我们在图19中并排展示了五种此类变体。通过突出显示图案中相应的组成部分，它们之间的相互转换关系变得可见，从而可以更清晰地理解这些变体之间的结构亲缘性。通过这种方法获得的视觉清晰度，有助于更深入地理解单元内角的细微变化如何影响最终的美学效果。采用与图20中祖赞经学院图案相同的方法，可以在√3矩形内生成一个新的图案，按照R1至R6的步骤进行。该图案见于开罗的苏丹·哈桑经学院（1356年）（图21）（Wade sd）。

图19 基于局部角度变换的图案变体。

图20 图案R的构建步骤（R1至R6）。

图21 来自开罗苏丹·哈桑经学院的几何图案。

图16中的图案FY类似于一个骨架，而图案R6则是包裹着它的肌肉。在图22中，图案R是通过平移对称性重复单位网格得到的。如果我们使用红色六边形形态作为单位网格并进行重复，就会得到图案S。此外，如果将蝴蝶形排列成一个旋转循环并进行重复，就会得到图案T。

图22 图案R、S和T。

一种新的加法图案系统

本节通过重新评估已开发的基础设计来回顾研究的轨迹——从最初作为其他构型生成基础的F3设计开始。在图23中，展示了与F3设计相关的底层三均匀密铺，以及它与E4图案的关系。K6a展示了K6设计与三均匀密铺之间的联系。E4+K6a中的复合布局则展示了F3、E4和K6设计在共同的三均匀结构上的叠加。所有重叠的图案都使用了相近的色调，以清晰显示它们之间的对应关系。

图23 具有加法结构的两个图案的叠加。

这种视觉呈现使得人们更容易认识到：三均匀系统中正方形区域的边中点网格对应着F3设计；当这些正方形被细分为4×4单元时，K6设计便显现出来；而这些正方形的对角线则揭示了E4图案的结构。在K6b中，我们延伸并相交了祖赞经学院图案的线条。结果显而易见，在三均匀密铺系统上构建该图案，只需在每个三角形单元内放置一个六边形，使其三个角接触三角形各边的中点，然后将这些六边形的线条延伸到初始边界之外即可。

E4和K6图案在此构型中的叠加，引导我们得到了一种新生的加法图案。E4结构中的每个模块化单元都包含一个额外的、几何上连贯的子设计，从而形成了一个分层的、结构整合的加法构型。除了在此构型中识别出的六角星、蝴蝶形和面二三角形之外，还有其他几个模块化构件也对整体几何结构有所贡献（Ekizler Sönmez 2023）。

这些模块化构件几乎起到了图案的多边形结构的作用。换言之，图案中各种形态的角部恰好接触这些模块化构件的中点。这个新提出的系统与该领域中其他多边形结构最重要的区别在于，它所利用的多边形结构本身就是伊斯兰艺术中常见的图案构件。换句话说，在这里，多边形结构的线条本身被直接用作图案，其内部不再填充其他纹样。图24展示了从这些加法图案中衍生出的几个示例，它们在此被用作多边形结构。值得注意的是，所有这些设计都可以通过尺规作图技术实现。

图24 模块化构件的变体与新图案。

文献中将由两个重叠图案层构成的设计称为“双层图案”。这一类别由Bonner（2003）系统性地概念化并引入该领域。此类设计呈现出一种层级结构：主层通常由较大尺度的形态构成，而次层则由较小的元素组成，这些元素参照主层的几何框架，并使用相同的设计语汇进行运作。例如，如果主层是根据四重几何系统构建的，那么次层也必须遵循相同的四重结构；五重结构在几何上是无法兼容的。

Bonner还关注到另一类图案，他称之为“加法图案”（Bonner 2017）。他用这个术语来描述通过在背景区域添加设计线条来修改独立图案，从而增加整体复杂性的过程。这种方法最显著的例子之一可以在马拉盖陵墓塔的外立面上观察到，那里一个连续的五重场域图案（不包括十角星）通过向背景中添加次级图案线条而得以丰富。根据Bonner的观点，这种添加不会改变图案的结构逻辑，而是为表面引入一种视觉上的动态感（Bonner 2017）。

本研究中提出的SES-APPS（加法图案与多边形结构）模型提供了一个框架，用以挑战并重新思考这两类图案之间的界限。在该模型中，所添加的次级层乍看之下可能类似于加法图案，但实际上，它源自一个独立的生成几何学。因此，次级纹样不仅仅是装饰性的增强，其本身也代表着结构上连贯的系统。我们基于在祖赞经学院观察到的图案以及奥斯曼古典时期清真寺中常见的石制格栅设计所进行的调查表明，这两类设计都可以使用尺规作图法构建。更重要的是，它揭示了尽管这两个系统看起来不同，但它们共享一个基础的几何构造。这种共享的构造不仅仅指它们都属于具有六重旋转特征的图案类别，更是指在所提出的基础框架内，这两个设计仅通过线条绘制的变体就能推导出来。关键的是，我们发现当从祖赞经学院图案的几何逻辑出发来审视时，那些格栅图案展现出了根本性的多边形结构。在此背景下，SES-APPS模型引入了一个理论框架，该框架重新评估了多边形系统在图案生成过程中的作用，并扩展了加法设计的结构潜力。

图案K也出现在图24中，其蓝色多边形结构与图4中的图案E4完全相同。实际上，图案S与图17中的图案L是一样的。科尼亚阿拉丁清真寺（1235年）的敏拜尔是能够找到图案S的蓝色多边形构件的地方之一。由多边形构件排列形成的Q形轮廓图案，位于盖布泽的乔班·穆斯塔法·帕夏经学院（16世纪）。然而，多边形内部则是一个全新的设计。图案R中以蓝色线条多边形构件呈现的图案，是奥斯曼时期清真寺，特别是希南设计的清真寺中大理石工艺的典型应用。

图24中的多边形内部应用了图案R。尽管图案W和图案Z中的蓝色线条模块化构件在伊斯兰艺术中并不常见，但它是一种全新的几何设计。通过改变这些构件的排列方式，可以增加这类设计的数量。

针对不同单元网格比例的新方法

到目前为止，本研究讨论了具有正方形和√3矩形单元网格的图案。图案还可以有许多其他形式的单元网格，例如不同的矩形、菱形或六边形。历史上，存在通过排列红色六边形和蝴蝶形（120度和90度角）创造图案的不同实例。开罗的奥斯曼时期建筑之一——布尔代尼清真寺（1616年）的敏拜尔上的图案就是其中之一。我们将在图25中创建一个示例来展示另一种可能性。首先，我们确定单元网格四分之一部分的非常规边界。经过U1和U2阶段后，我们利用矩形构建线条的交点进行绘制。一旦图案开始显现，我们便借助直尺和圆规完成缺失的线条。

图25 具有不同形式单元网格的图案U的构建过程。

在图26中，由六边形组成的水平带以交错方式排列。这些带被源自p4g图案的条带分隔开来。然而，与标准的p4g构型不同，这里的旋转点减少为二重，从而导致整体的对称类型为cmm。

图26 图案U及其相关图案的密铺。

新方法：立方八面体上的正方形与三角形区域

本研究的最后部分涉及更复杂的设计，通过用八角星替换正方形区域来运用祖赞经学院图案。基于此设计，我们生成了√3矩形图案。考虑到祖赞经学院图案的镜像对称性，该图案在水平边和垂直边上的部分是互不相同的（图27-K）。以绿色显示的边为参考，我们得到了图27中绿色三角形内部的设计。而以正方形的粉色边为基准，蓝色三角形内部的设计则是我们能够实现的另一种设计。绿色和蓝色三角形角部六角星的方向不同；其中一个相较于另一个旋转了90度。当我们对等边三角形应用六重旋转对称时，便得到了六边形（图27）。

图27 基于祖赞经学院图案（图案K）的两种六边形密铺。

我们可以将三角形、六边形与正方形结合，生成半规则和半规则变体设计。在(3.4.6.4)半规则密铺系统中，当绿色六边形位于中心时，图案中的三角形将是蓝色三角形（图28）。当将蓝色六边形置于中心时，那么三角形将是绿色的（图29）。在3^2.4.3.4半规则密铺中，我们可以更清晰地看到正方形与蓝色、绿色三角形之间的关系。在图30中，我们展示了一种适用于在图10中发现的(3.4.6.4);(3.4^2.6);(4^4)三均匀半规则密铺的排列方式，其中六边形和三角形的位置在四个方向上旋转。

图28 一种(3.4.6.4)半规则密铺。

图29 一种 (3.4.6.4) 半规则密铺。

图30 隐藏在(3².4.3.4)密铺中的一种(3.4.6.4); (3.4².6); (4⁴)三均匀半规则密铺。

将这些图案K的构件应用于立方八面体的表面，揭示了立方八面体与四正方向图像之间的关系（图31和32）。四正方向的图像，与卍字形也有关联，在古代思想史中，特别是在中亚社会中占有重要地位。在伊斯兰建筑中，尤其是在安纳托利亚塞尔柱人建造的建筑物中，立方八面体被用于柱廊（H. Hisarligil and B. Hisarligil 2018; Özgan and Özkar 2017）。

图31 图案K在立方八面体表面的应用。

图32 立方八面体的3D绘图。

卍字形可追溯至公元前10,000年，被伊斯兰化前的突厥人称为“oz tamga”（本源印记）。Oz Tamga，或称天轮，由四个角与一个圆形循环结合而成，它象征着统一，并通过火作为转化的象征概念来体现飞升向神性的过程。在古代突厥人的宇宙想象中，大地（地与水）和以圆形覆盖大地的天空是两个基本元素（Esin 2001）。他们认为大地有四个角，并将天空称为天轮。çığrı（土耳其语纺锤）一词，指的是一种带有十字形纺轮的手纺锤，是一种通过将羊毛捻成线来手工纺纱的传统工具，而这种圆周运动象征着天空的运行（Ögel 1994）。

在图31中，立方八面体上围绕正方形排列的三角形以两种不同的颜色显示。图32则在立方八面体的3D绘图中标示了蓝色和绿色三角形的位置。

结论

本研究揭示了伊斯兰艺术中具有六重旋转特征的图案之间的结构关系，为理解支配图案构建的基本原则提供了一个系统性的方法。将90度角六等分这一几何操作，不仅能够生成新的设计，还能识别出历史图案之间的关联与延续性。该方法展示了如何在正方形和√3单位网格内构建多种多样的图案，使尺规作图法内在的结构逻辑变得清晰可见。

本研究的一项关键贡献是引入了SES-APPS系统（加法图案与多边形结构），它通过将模块化设计元素与多边形结构相结合，提出了一种新的框架。该系统不仅提供了一种美学语言，也提供了一种结构设计模型，为将具有六重旋转特征的图案应用于k-均匀系统和复杂多面体表面（如立方八面体）提供了方法。

总之，本研究展示了共享的基础构造如何揭示图案之间隐含的关系，并为生成新的设计可能性奠定了基础。

参考文献

Bonner, Jay, 2003. Three Traditions of Self-Similarity in Fourteenth and Fifteenth Century Islamic Geometric Ornament. Meeting Alhambra: ISAMA Bridges Conference Proceedings 3: 1–12.

Bonner, Jay. 2017. Islamic Geometric Patterns: Their Historical Development and Traditional Methods of Construction. New York: Springer.

Bourgoin, Jules. 1973. Arabic Geometrical Pattern and Design. New York: Dover Publications Inc.

Critchlow, Keith. 2011. Islamic Patterns: An Analytical and Cosmological Approach. Thames & Hudson.

Cromwell, Peter. R. 2010a. Islamic Geometric Designs From The Topkapı Scroll I: Unusual Arrangements of Stars. Journal of Mathematics and the Arts 4(2): 73–85.

Cromwell, Peter. R. 2010b. Islamic Geometric Designs from the Topkapı Scroll II: A Modular Design System. Journal of Mathematics and the Arts 4(3): 119–136.

Cromwell, Peter. R. 2010c. Hybrid 1-Point and 2-Point Constructions For Some Islamic Geometric Designs. Journal of Mathematics and the Arts 4(1): 21–28.

Cromwell, Peter R., and Elisabetta Beltrami. 2011. The whirling kites of Isfahan: Geometric variations on a theme. Mathematical Intelligencer 33(3):84–93

Ekizler Sönmez, Serap. 2020a. Anadolu Selçuklu Sanatının Geometrik Dili v.1. Istanbul: Ketebe.

Ekizler Sönmez, Serap. 2023. Geometric Patterns Workshop in the Footsteps of Sinan. Istanbul: Ketebe.

Ekizler Sönmez, Serap. 2024. *Islam Mimarisinde Hendesi Desenler Topkapı Tomarı ve İslâm Mimarisinde Geometrik Desenlere Küllî Bakış v.1-II*. Istanbul: Hassa Mimarlık.

Esin, Emel. 2001. Türk Kozmolojiine Giriş. İstanbul: Kabalcı.

Galebach, Brian. 2002–2025. https://probabilitysports.com/tilings.html?u=0&n=3&t=22. Accessed 29 May 2025.

Grünbaum, Branko and Geoffrey Colin Shephard. 1987. Tilings And Patterns. New York: W.H. Freeman and Company.

Hankin, Ernest Hanbury. 1925. The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art. Memoirs of the Archaeological Survey of India, No. 15. Calcutta: Government of India, Central Publication Branch.

Hisarligil, Hakan and Bilge Hisarligil. 2018. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal 20: 125–152.

Kaplan, Craig S. 2005. Islamic Star Patterns from Polygons in Contact. Proceedings of Graphics Interface 2005. Victoria: British Columbia, Canada: 177–185.

Necipoglu, Gülru. 1995. The Topkapı Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture. Santa Monica, CA: The Getty Center for the History of Art and the Humanities.

Ögel, Bahaeddin. 1994. Türk Mitolojisi I-II. Ankara: Türk Tarih Kurumu Yanım.

Özgan, Sibel Yasemin, and Mine Özkar. 2017. A Thirteenth-century Dodecahedron in Central Anatolia: Geometric Patterns and Polyhedral Geometry. Nexus Network Journal 19: 455–471.

Serap Ekizler Sönmez. A Novel System Combining Additive Patterns and Polygonal Structures

Wade, David. Pattern in Islamic Art: SYR 0125. https://patterninislamicart.com/single/syr0125. Accessed 09 May 2025.

Wade, David. Pattern in Islamic Art: EGY 0716. https://patterninislamicart.com/single/egy0716. Accessed 05 May 2025.

Yurttaş, Hakan. 2010. Hasankeyf Zeynel Bey Türbesi. Güzel Sanatlar Enstitüsü Dergisi 3: 121–150.

Serap Ekizler Sönmez, A Novel System Combining Additive Patterns and Polygonal Structures

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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