湖南
注: 本文试题来源于网络学友分享, 据说由部分学友根据回忆整理, 是否正确, 请知晓学友文后留言指出和分享正确严谨的题目, 感谢阅读!
第十七届大学生数学竞赛决赛（非数学专业A类）
一、填空题（本题30分，每小题6分）
1、函数 有 ______ 个第二类间断点（填阿拉伯数字）.
2、极限 ______.
3、设函数 由方程 确定，则 ______.
4、设 为平面曲线 （ ），方向为 增加的方向，则曲线积分 ______.
5、积分 ______.
二、（本题10分）设函数 .
(1) 求 的最小值；
(2) 求曲线 在点 处的法线方程.
三、（本题12分）设 为 上恒正的连续函数， 为有限实数，且 , .
证明：微分方程 的任一正解 满足 .
四、（本题10分）求曲面积分 其中 是柱面 夹在两平面 之间的部分，方向取外侧.
五、（本题14分）已知曲面 :
所围成的区域被曲面 :
分成上下两部分，计算上下两部分区域的体积之比.
六、（本题12分）考虑在 上定义的无穷次可导函数 ， 表示 的 阶导数，约定 . 若存在实数 , 使得：
(i) ；
(ii) 当 时， 在 上无零点；
(iii) 在 上无零点，
则称 的零点指标为 . 若 本身无正零点，则称其零点指标为 .
(1) 给定实数 。证明：若 ，则对于任意的不全为零的实数 ，函数 的零点指标不超过 ；
(2) 给定实数 . 证明：若 且 ，则对于任意的不全为零的实数 ，函数 的零点指标不超过 .
七、（本题12分）设 ，数列 由如下递推式定义
其中 . 设 收敛.
(1) 证明： 收敛；
(2) 求 .
第十七届大学生数学竞赛决赛（非数学专业B 类）
一、填空题（本题30分，每小题6分）
1、设函数 有______个第二类间断点.
2、设 , 则 ______.
3、设函数 , 则 在点 处沿曲线 的切线方向（指向逆时针方向）的方向导数为______.
4、设数列 满足 , 则级数 的和为______.
5、______.
二、（本题10分）设数列 .
求 . 2. 求 .
三、（本题10分）设 ，其中 具有二阶连续导数， 由方程 所确定，且满足 . 求 .
四、（本题12分）设 ， 为 上恒正的连续函数， 为有限实数，且 , . 证明：微分方程
的任一正解 满足 .
五、（本题12分）设 的Maclaurin展开式的系数为 （ ），求幂级数 的和函数.
六、（本题12分）已知曲面
被平面 分成上下两部分，计算上下两部分区域的体积之比.
七、（本题24分）定义在 上的无限次可导函数 ， 表示 的 阶导数，给定：
(i)存在实数 使得：
(a)
(b)当 时， 在 上无零点。
(c)在 上无零点。
则称 的零点指标为 . 若 本身无正零点，则称其零点指标为 .
(1)给定实数 ，证明：若 且 ，则对于任意的不全为 的实数 ，函数 的零点指标不超过 .
(2)给定实数 ，证明：若 且 ，则对于任意的不全为 的实数 ，函数
的零点指标不超过 .
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