湖南
注: 如果手机阅读公式显示不全, 请在公式上左滑手指显示完整公式内容. 以下题目为第十七届全国大学生数学竞赛非数学专业B类试卷的填空题详细解答, 思路与步骤仅供参考.
目录
函数的第二类间断点个数(同A)
一元函数的高阶导数值
方向导数的计算
常值级数求和
定积分计算(同A)
函数 有______个第二类间断点（填阿拉伯数字）.
解答：第二类间断点是指：至少有一个单侧极限不存在，或函数在该点附近趋于无穷大的间断点。
由函数表达式可知，间断点只能来自以下几类位置：
(1) 要求 ，故 可能是间断点；
(2) 时，即 ，可能是间断点；
(3) 时，即 ，可能是间断点。
下面分别讨论。
（1）当 时： 有 ， 而 所以 . 故 是第二类间断点。
（2）当 时： 此时在 的邻域内有 ，因此
利用等价无穷小： , , , 可得
于是 所以 为可去间断点，不是第二类间断点。
（3）当 时： 有 , , , 因此分母趋于 ，分子趋于非零常数，从而 , 故 是第二类间断点。
所以 第二类间断点共有 个.
2、一元函数高阶导数值的计算
设 则
解答：先将函数改写为
法 1：特殊法(主要项).由于要求的是 处的三阶导数，只需关注函数在 附近的低阶主项。由于 ，故 , 从而整个第二项与 同阶，是比 更高阶的无穷小。因此，决定三阶导数的只有第一项 。 于是
法 2：泰勒展开法.由 可得
又 , 得
所以 于是由泰勒展开的唯一性知， 项系数为 ，因此
法 3：直接求导法.记
则 逐阶求导得：
下面计算 处的相关值。首先，
再求导：
代入 ，得 于是
3、方向导数的计算
设函数 则 在点 处沿曲线 的切线方向（指向逆时针方向）的方向导数为
法 1：图形法.注意到 只依赖于 ，即它是关于 的复合函数。因此，在圆 上， 恒为常数，所以 也恒为常数。也就是说，该圆正是函数 的一条等值线。 沿等值线的切线方向前进，函数值不发生变化，因此方向导数为
法 2：公式法.令 则
由复合函数求导法则，得
因此在点 处，
故梯度为 曲线 在点 处的法向量可取为 于是其逆时针方向的单位切向量可取为
所以方向导数为
4、常值级数求和
设数列 满足
则级数 的和等于
解答:记 当 时，
展开得 因此
于是
代入级数可得
这是一个裂项相消级数，因此
5、定积分计算
积分
解答.利用三角恒等变换：
所以原积分化为
令 , 则 且积分限变为：
当 时， ；
当 时， 。
因此 . 再作万能代换：令 , 则
积分上下限对应为：
当 时， ；
当 时， , 所以
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