准初二，突破数学瓶颈，可以试试这么做

上周写了给准初一学生的建议：

今天继续这个系列的准初二版本的。

和初一相比，一方面初二的同学少了很多需要适应的东西，一些真的有比较大学习障碍，自控能力偏弱，学习态度不佳的同学已经能看出明显的掉队。如果小学基础本就一般的话，初一就已经是非常重要的一年。

从这个暑假开始，准初二的同学可以把更多的精力聚焦在学习内容和突破成绩瓶颈方面。

同样地，普娃和有拔尖需求的娃，在数学学习上的侧重点理应不同。

前者需要解决每个学期的所有基础问题，做熟做扎实，然后循序渐进去挑战一些更加综合，难度更大的题目。后者则是在保证基础稳如狗的前提下，不要逃避压轴题，多花时间在难题的思考与总结上，去形成一套解决常规难题的套路，以及面对没见过的新题型的方向。

具体到学习内容上，初二和初一又有很大的不同。

上一篇讲过，初一主要打的是代数基础，除了上学期几个代数章节外，下学期也有不等式、二元一次方程组、实数这几个纯代数章节，以及数轴的延伸与函数的前置知识——平面直角坐标系，依然是代数。

代数是基于一定的规则的运算，是保证基础的关键。因此数学能力相对不强的同学，首先抓的应该是代数，拿到所有基本的，该拿的分。

初二的代数章节主要包括八年级上学期的后半部分，即整式乘法、因式分解和分式，紧接着的还有八年级下学期第一章二次根式。

计算部分，纯粹可以熟能生巧，因此数学基础偏弱的同学，完全能够通过暑假预习，“笨鸟先飞”，把量堆上去，到时候学起来自然而然就熟练了，进而再去优化方法，去挑战一些对代数能力要求更高的题目。

而想要突破数学的瓶颈，在初二数学当中，几何才是更重要的内容。八上的几何与代数，看似对半分，但重点难点，以及对整个中考的影响大小，几何才是更重要的部分。

前半个学期我们都会在三角形里遨游，三角形、全等三角形和轴对称（本质上是等腰和等边三角形）。初二下会继续出现勾股定理、平行四边形这两个重要的几何章节。

比知识量更能体现几何在八年级学习中的重要性的是难题。初一上学期数轴动点的确定性会更强，题目再怎么变也就是那几类，无非就是初始位置变、速度变、方向变，变化相对可控。

而初二的压轴题则一定三角形的综合问题。三角形相关学习和难题将贯穿整个学年，并且其知识储备和对几何题的学习和解题感觉会一直延续到初二下学期的勾股与平行四边形，乃至初三几何。

这是刚刚过去的八年级越秀区期末数学压轴题，可以看到其考点的综合。

第一问平行四边形的证明，题目底图是矩形，并且出现不止一个直角三角形，思路上理应围绕勾股定理展开。同时可以看到，第三问“GH+EH=2GH”这个条件，学生应该想起“截长补短”构造全等或“将军饮马”等和“线段转换”相关的内容，这些内容其实是出现在八上那几章三角形里面的，是整个八年级压轴非常常见的考点。

但几何却是另一个要求。几何除了要求同学们记熟判定与性质之外，其题目变化多端，联系紧密，逻辑要求高。

给你一道计算题，你可能算错，你可能粗心，但你肯定知道题目要你干啥。但给你一道几何题，你可能就不知道怎么证，是通知所学的哪些知识去做这道题——一道题可以涉及多个知识。

不少学生学习比较死板，缺乏对不同知识之间关联程度的思考，如果自己校内或校外的老师在教学过程中是照本宣科，割裂知识之间联系的， 学生容易陷入“大脑 宕机 ”的境地，面对题目脑子一片空白，不知道从何入手。

要突破这层瓶颈，就不能只是一味刷题了。有一些方法，也许能帮助大家。

首先，你要构建起一颗颗“树”，要明白大多数知识之间不是独立存在的。

比如初二下学期我们会开始接触一次函数。一次函数会涉及一元一次和二元一次方程，会涉及不等式，它是深度的七下平面直角坐标系的延伸，而后者的前置知识是七上的数轴问题……你要看到，函数不过是加入了新配方的旧知识，是一种延伸。

再比如八下，仔细琢磨一下，为什么课本安排按照的是二次根式——勾股定理——四边形这个顺序？因为环环相扣，勾股需要用到二次根式的计算，而特殊平行四边形里又有大量的直角三角形，则必然会出现勾股相关知识，当然还有八上的三角形。

其次，公式定理不应死记硬背

死记硬背只能解决死记硬背的问题，但是现在出题灵活度比不是过去能比的，酒瓶换新酒很多同学就看不出来。

全等的五个判定，绝大多数学生都会记得。但你有想过为什么“SAS”可以，而"SSA”却不行吗？

勾股定理的多种证明方式，课本出现过，很多考题的背景知识里其实也有，你有弄明白吗？如果你推倒过，弄明白了，你就知道“三垂直模型”这个初中数学经典常考模型是个什么东西，很多题目你一看就会知道它很可能靠这个。但有的同学，却从头到尾只是知道那一条公式，就觉得自己掌握了勾股定理。

还有函数“一次函数与方程（组）、不等式”这一节书，你知道为什么起这么一个标题吗？它们有什么联系？你会看图吗？要知道，这是任何一份一次函数考题里都必然会出现的考点，会看图就是秒做，几乎不用计算的送分题。

“将军饮马”、以及初三出现更多的“胡不归”，不要只停留在这些定理的名称，要真正落到实处，怎么作线，题目会有什么变化。

第三，把题目条件和所学知识或方法关联起来。

几何辅助线有时候确实是玄学，某些题目要“试”，但这不是你摆烂的理由，因为你需要培养自己有思路，要有想法，看到题目的条件、图的样子要合理怀疑题目可能考我这个那个，建立起你自己的解题链路。比如：

中点可能指向倍长中线、中位线，直角三角形斜边上的中线等，视乎条件选择；

题目告诉你出现了角平分线，一来给相等的角标上同样的符号，找题目还能否推导出其他相等角，进而可能出现等腰、平行的推论，二来反应到可能涉及“角平分线的性质”，则应该考虑过角平分线上的点做垂线；

含有几何题里面的一些经典数字，如 √2、 √3等这些玩意已出现，特殊角的指向性就很明显，则理应迅速反应出来题目可能存在的特殊角直角三角形的三边关系；

还包括和各种你能喊得出来，上面提到过或者没提到过的定理和方法，你要在一次又一次看到题目的时候，首先反应过来“题目要考我这个”，然后依据题目条件尝试作辅助线展开证明，或者设未知数展开计算等等。

做题重要吗？重要的！没有量变怎么会有质变。部分同学上课也是认真的，也会去思考，但只停留在思考而不是动笔层面，听懂不代表会做，更不代表拿到分，尤其是现在题目变化程度是如此地大，日常做题免不了。

但另一方面，做题并不在量，而在质。你有那么多的学科要学习，那么多的学习任务要完成，数学不是唯一的。

如果你本身就在一所不错的学校里面，学校给的难题量和难题专题与评讲时间已经足够，那么只要老师安排的能保质完成就很好了。如果你学校讲得不多，你每周都应该抽出时间去完成3~5道压轴题的练习，每道限时在30分钟左右，任务包括拿到新题、思考并尽可能写下思路和过程、对答案并复盘（复盘这道题考什么，自己卡在哪个点，回忆这个考点出现频率）。

如果你基础薄弱，那没有捷径，从计算开始，从基础开始，提前预习，调整心态不要害怕不要逃避，笨鸟先飞。

如果你基础问题不大但卡在瓶颈上无法更上一层楼，那首先要有一个突破的决心，但同时也急不来。不妨按照我上面给的建议，但一定要坚持，坚持再坚持，同时不断优化自己的思维和解题方式。

当然，如果有机会，欢迎大家直接过来跟跟我的课，除了数学外，区老师工作室还开设有初高中的数理化，有和我一样优秀的老师，详情可以咨询叮当老师。