通俗解读两名中国籍菲尔兹奖得主的数学成果

前天（7月23日），两名中国籍数学家获得数学界的最高奖——菲尔兹奖，举国关注。很多朋友想了解他们的获奖成就，我之前也转发过几次学术界专业作者写的科普文章，奈何很多朋友反映看不懂公式。我试着写一篇文盲版解读，设定目标读者为小学四年级辍学（本人也是），只谈谈大概是干吗的。本人为纯业余瓜众，没有任何学术背景，其中谬漏之处难免，请方家指正。

先简单介绍一下菲尔兹奖的背景。菲奖作为数学界最有影响力的大奖，号称“数学界的诺贝尔奖”，其实比诺奖难拿。主要差异如下：

1.菲奖只给40岁以下数学家，比如今年是颁奖年，那么今年1月1日之前必须不满40岁（没过生日）。相比之下，诺奖不限年龄，活着就行。如果某数学家主要成就是40岁之后做出的，那么只能去竞逐三大奖的另外两项——沃尔夫奖、阿贝尔奖，这俩都是终身成就奖，不限年龄。

定这条年龄线，是因为很多业内人士认为数学是个青春饭，过了40脑力、创造力会下降（只是大概率，不代表全部），但也间接导致了一些数学家过了40得不到菲尔兹奖就改行去企业赚钱。

2.菲奖四年发一次，频率相当于世界杯、奥运会。每次只发2-4人，宁缺毋滥不凑满人数。今年发了4人，也才相当于一年一人。相比之下，诺贝尔奖年年发，每项还可以发2-3人。

3.学科硬度：数学>物理>化学>生物医学。这里的硬度解释为理论的公理化程度、因果确定性、可量化性、可验证性、推理严格程度等。或者翻译成大白话，学科硬度越高，造假难度越低。

4.还有一个小区别，菲奖和诺奖的颁奖对象虽然都是科学家个人，而不是具体某项成就，但诺奖的颁奖词会提及该选手的成就，表示“某人因某成就获奖”，菲奖不会提。

尽管不提，但是获奖选手都有代表性成就，群众默认他们虽然成果多多，但就是因为某项突破性成果获了奖。我在此简单介绍一下内容。

1.王虹获奖的三维挂谷猜想

挂谷猜想的原始版本为日本数学家挂谷宗一提出，但经历代数学家拓展、改造、加入一堆高深概念后，现代版的挂谷猜想早已面目全非。为了便于理解挂谷猜想，我们还是回到原始版的挂谷猜想：“一根针（长度固定，不妨设为1）在一个平面内旋转一周，扫过的最小面积是多少？”

如果真的拿一根针来，以中点为圆心扫一个圆，那么会发现它的面积是圆的面积（π/4），这当然不是数学家想要的。按他们的习惯，必须简单问题搞复杂，才能得出有意义的结果。

在针转圈的过程中，针冲着每个方向都出现了一瞬间对吧？那么“针扫过”的命题也可以转化为“每个方向上的线段都出现过一次”。这个命题看着跟原来差不多，实际上麻烦大了。

接触过分形几何的观众可能听说过谢尔宾斯基三角形。给一个正三角形，用每边中点分割成四个小三角形，挖去中间的一个。在剩下的三个小三角形中重复操作，一直下去。每挖一次，面积变成上一轮的3/4，周长（包括内部新增线段）是上一轮的3/2。无穷轮下去，我们得到了一个“面积”为零、“周长”为无穷大的“怪胎”。

这里的“面积”和“周长”都需要额外引入复杂的数学概念严格定义，我就不抄书了。在几何测度论中，空间的“维数”也不是我们普通理解的空间维度，跟量子力学中的空间维数更是一毛钱关系没有。这里的空间维数甚至不需要是整数，一般代表集合（比如上述三角形的各级分割线段）填充空间的复杂程度、疏密程度。挂谷猜想说的就是一个多维空间能被低维空间“塞满到什么程度”。

数学家构造了二维挂谷集，如上图，每个方向都有一根针（长度为1的线段），但它们填充的“面积”是0（图上貌似中间有一块被深蓝色填成实心的近似三角形部分，但这是图比较小的缘故，实际没有任何“实心”，拿放大镜看，处处都是窟窿）。

挂谷猜想二维情形比较简单，很早就解决了。但是三维以上难度大幅提升，这在数学中（可能也包括理论物理）是常见现象，维度升高后，不是简单的类比证明，而是需要使用截然不同的数学工具、切入方法，属于突破性的创新。

王虹去年解决的是三维情形，四维以上（包括四维）现在仍然没有解决。但三维情形的证明，会带来工具框架的变革，连带推进很多数学问题的解决。

2.邓煜获奖的希尔伯特第六问题

1900年，伟大的德国数学家希尔伯特在国际数学家大会（也就是发菲奖的这个会）上提出了著名的23个世纪之问。经过一代又一代数学家的不懈努力，消灭了一大半，还剩几个啃不动、或者半成品，还有个把出题含混，不算问题的。第6问题就属于部分解决的半成品。

希尔伯特第6问题是个宏大命题，比较宽泛。它要求对物理学进行公理化，也就是从基本物理假设出发，完全用数学公式把物理现象计算出来。它更像一个方向性纲领，而不是一个具体问题。邓煜的研究成果即是这一指导思想下的一个子问题。

先考虑气体分子。用气体做模型是因为气体足够稀薄，气体的分子间距约等于分子直径的十倍（大一个数量级），而液体的分子间距跟分子直径差不多，固体更小一点，考虑气体模型就可以忽略分子之间其他乱七八糟的作用力。

因为气体分子相互之间足够远，我们就可以把它近似看成台球，互相碰撞会满足牛顿力学原理。但牛顿力学原理是可逆的，小球沿逆行轨迹回放仍然满足牛顿力学。然而问题来了，为什么由海量气体分子组成的一股气流，它的运动模式就不可逆呢？比如，点燃蚊香，香气会逐步扩散到空气中，而不会退回到蚊香处。某人吃多了萝卜需要排气，这些气体也不会自然退回到人体中。对此类宏观不可逆现象另有物理定律描述，如玻尔茨曼方程。

邓煜等人的工作，就是在微观规律和宏观世界中架设了一座桥梁，从微观世界的牛顿式台球出发，逐步推导出宏观意义上的流体（气体、液体）规律。

这项工作的意义，不仅在于创造一批新的数学工具，或者连接微观和宏观物理。它还会启发人们再次思考爱丁顿式的“时间箭头”之哲学问题：时间在微观上可逆，为什么到了宏观就不可逆呢？这个有悖常识的现象，真能用数学严格推出吗？更进一步地，时间是什么？生命是什么？

最后说说我对两位中国籍数学家获奖的看法。尽管很多观众对本土培养的数学家未能折冠有些失望，但我仍然认为这次算重大突破，毕竟以前连中国籍的都没有吗。我国的基础研究水平，比先进国家（美国、法国等）还有很大差距，科研环境还不尽如人意，但比起2，30年前，甚至10年前，都有不少改进。只要持之以恒，择善而从，凭中国人的聪明才智，总有一天能站在世界科学之巅，不可能像国足那样，再过一千年也翻不了身。