菲尔兹奖得主王虹专访 l Quanta Magazine

独立数字刊物《量子杂志》（Quanta Magazine）刊发了对今年菲尔兹奖和IMU算盘奖（Fields and Abacus Medals 2026）得主的专访。《量子杂志》以“照亮科学”为宗旨，聚焦数学、理论物理、理论计算机科学、基础生命科学等前沿科学。它由美国西蒙斯基金会（Simons Foundation）于2012年创办，最初名为《西蒙斯科学新闻》（Simons Science News），2013年更为现名。

以下是对王虹的专访：Living Fully in the Math World Means Threading the Needle，沉浸在数学世界里，需要巧妙寻求平衡。题中的needle，隐喻了挂谷猜想（Kakeya conjecture，也称卡克亚问题）的起源“旋转一根针（needle）”。

人们或许会以为，对一名数学家而言，证明一项里程碑式的定理会是一段充满喜悦的经历。但王虹并非如此。2025 年 2 月，王虹与合作者约书亚・扎尔（Joshua Zahl）完成一份长达 127 页的证明，攻克一道横跨多个数学分支、悬置已久的猜想。二人花费数月反复核验推演，先将文稿发给部分同行审阅，最终才鼓起勇气公开发布。相比担心论证存在漏洞，王虹更忧虑论证表述不够完善、令人难以读懂。

最终文稿没有发现错误，证明的逻辑得到梳理、简化，学术界普遍认可其严谨性。王虹与扎尔成功证明了三维挂谷猜想（three-dimensional Kakeya conjecture）。

这项成果为王虹接连斩获多项大奖。这名来自中国桂林的数学家，2025 年拿下塞勒姆奖、奥斯特洛夫斯基奖、国际华人数学家大会数学金奖；2026 上半年斩获安东尼奥・安布罗塞蒂奖章、萨多斯基奖、克雷研究奖、数学新视野奖；最终摘得 2026 年菲尔兹奖。菲尔兹奖被公认为数学界最高荣誉，授予 40 岁以下成就卓著的数学家。现年 35 岁的王虹任职于纽约大学和法国高等科学研究所（IHES），是菲尔兹奖 90 年历史上第三位女性获奖者。

声名鹊起意味着源源不断的演讲邀约、奔波行程与采访请求，她常常难以推拒，挤占了研究时间 —— 她想要弄清楚：朝向不同方向、细长的管状集合究竟能以怎样方式重叠。

清晨散步，帮助王虹应对数学研究伴随的压力和自我怀疑。摄影：朱利安・佩布雷尔 / M.Y.O.P.

这正是 “挂谷型问题” 的核心议题，也是王虹的研究专长。这类数学问题与猜想处在调和分析（研究信号如何分解为不同频率分量）、几何测度论（研究非光滑形体的形态与尺度）、偏微分方程（描述多重同步变化系统）三大领域的交汇地带，同时与数论、组合数学等方向深度关联。不列颠哥伦比亚大学数学家巴勃罗・施默金（Pablo Shmerkin）评价道：“正是这种广泛的交叉联系，让该领域拥有核心地位，也是王虹获得极高赞誉的原因。”

不出差的时候，王虹投入研究的专注与自律，堪比隐修修士或是顶尖运动员。她的合作者、印第安纳大学的吴树坤说：“她对数学极其痴迷，绝对是我见过最投入的人之一。” 她主动舍弃读书、养狗这类耗费时间的爱好，但仍留出时间陪伴朋友、练习瑜伽，清晨去华盛顿广场公园散步看别人遛狗。这些方式缓解数学研究时常带给她的压力和自我怀疑。

渴望确信自己拥有扎实学识与研究能力，似乎贯穿了王虹的人生选择。这也是她投身数学的缘由：对她而言，数学是最不容置疑的学科。即便完成这项划时代证明后，她没有专门庆祝，内心也并未滋生自负情绪，但至少，她如今可以百分百确定：三维空间里朝向各个方向的细管，无法大规模重叠。

诸多美好往事

王虹初见生人略显内敛，熟悉后会放松下来。她戴着玳瑁色圆框眼镜，两只食指均佩戴戒指，视频通话时手指常会不经意划入画面 —— 左手银戒、右手金戒。当时她正在美国西海岸短期访问合作者与友人，她说，自己年少时的生活自在许多。

上世纪 90 年代的桂林，放学回家后，她会读希腊神话、《哈利・波特》《指环王》，看电视，或是打乒乓球、羽毛球。父母都是教师，却从未在学业上施压。一家三口常在傍晚漫步桂林。这个城市常被称作中国最美城市，青峰林立，江水穿城而过。

数学最初只是众多爱好中的一项。每当拿到新课本，她会在学期开始前做完所有习题；还会去书店购置更多数学书籍，逐一解完全部题目。

她记得书中一道趣味思考题：如何栽种 7 棵树，使排成 3 棵一行的直线数量最多？这道谜题和她日后研究的挂谷型问题同属关联几何，研究物体相交、重叠规律 —— 对应题目里，直线就是树行，点就是树木。年仅 6 岁的王虹很快想出答案：把树木摆成等边三角形，三个顶点各一棵，三边中点各一棵，第七棵放在中心。这样一共形成六行树：三条边线，三条穿过中心的中线。她比身为数学老师的父亲更快算出答案。

王虹渐渐体会到数学的恒久不变。历史叙事不断被改写；学习英语令她苦恼，规则之外充斥大量例外。唯有定理牢靠。“没有人可以轻易推翻说‘这其实不成立’。” 她说。

王虹回忆，父母希望她尽量拥有普通人的生活，而她只想尽可能汲取知识，于是跳了几级学。

临近初中毕业，升学成绩决定能否进入桂林优质高中。王虹立志前往北京大学数学系深造，北大是中国最负盛名的学府之一。据她介绍，2007 年北大数学系在她所在省份仅有一个统考录取名额，最终她没能拿到最高分。

但分数足够进入北大，录取专业为地球科学（专业为地球物理——编者注）。她计划入学后转入数学系。地球物理教授十分鼓励她，向她说明数学对科学研究的关键作用，例如依靠地震波测绘地球内部结构用到的数学工具（这套理论恰好和挂谷问题相关，只是当时她尚不了解）。她刻苦学习，最终顺利转专业。父亲曾随口提过，分析学研究变化量、极限、测度与逼近，相比依靠符号方程、精确求解的代数学简单得多。这番话反倒激起她的好胜心，她一度主攻代数。

本科阶段她成绩并非顶尖，一度怀疑自己无法考上研究生。彼时巴黎综合理工学院 —— 法国顶尖精英高等学府之一，在北京举办学士后项目招生考试。2011 年，她远赴法国。

所有课程均用法语授课，而她当时并不会法语。幸运的是，第一学期课程涉及的数学知识她大多已经掌握。她和法语同学一同用餐，安静倾听，礼貌请求对方解释，法语水平逐步提升。选修分析课程后，她发现自己相比代数，更擅长分析方向。

课业进展顺利，但她依旧不认为自己具备开展数学研究的能力。有一个学期，她转修建筑学，并在巴黎一家建筑事务所实习。

“那段时间压力不大，但我找不到前进目标。” 于是她重新全心投入数学。“我决定不再纠结自己能不能做好，只专注加深理解。”

奇特集合

2013 年，王虹在麻省理工学院参与研究实习，旁听分析学家拉里・古斯（Larry Guth）的学术讲座。古斯介绍了他与莱斯大学数学家内茨・卡茨（Nets Katz）共同完成的证明：厄尔多斯距离不同问题。问题是：平面上任意有限点集，点对之间能产生多少种不同距离？古斯讲解问题与证明思路清晰易懂，王虹感到自己能够吃透部分推导，深受触动。她了解到该问题和一大批同类课题紧密相关，内核都是关联几何。次年，她被录取进入麻省理工博士项目，师从古斯。

王虹主攻的挂谷型问题连接调和分析、几何测度论、偏微分方程，同时延伸至数论、组合数学等领域。摄影：朱利安・佩布雷尔 / M.Y.O.P.

后来，挂谷型问题成为她的核心研究方向。这类问题里最知名、众多相关猜想赖以建立的基础，便是挂谷集猜想。该问题源自 1917 年日本东北大学数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）提出的原始问题：一根针在平面上朝各个方向旋转扫动，能覆盖的最小面积是多少？单纯围绕中点旋转，针扫出一个圆盘。挂谷宗一发现，如果旋转同时平移针，类似汽车三点掉头操作，就能把扫动范围控制在圆盘一半面积以内，形成一条外摆线（三角曲线）。

数年之后，长期在剑桥工作的俄罗斯数学家阿布拉姆・别西科维奇（ Abram Besicovitch）证明，答案远比想象极端。在抽象版本的问题框架下，可以让线段指向所有方向，覆盖面积却无限趋近于零。模型中不再有持续扫动的针，而是平面上无穷条线段，每条线段对应针的一个朝向，这套集合被称作挂谷集（卡克亚集）。无需转动任何线段，仅平移排布，就能把它们压缩到越来越小的区域。别西科维奇证明，这些线段理论上可以被收纳进面积为零的区域。原理是什么？等边三角形同样可以容纳挂谷集，面积大于三角曲线。设想把三角形沿中线切开，平移其中一半，尽可能和另一半重叠。

接着把两块半三角形再次对半分割，再次平移重叠，线段集合就能被挤压到更小范围。

无限重复这套操作，依靠名为帕尔铰接（Pál joint）的几何手段来回调整线段，再旋转三角形，从各个角度重复重叠流程。整合所有结果，就能得到一套朝向各个方向的线段集合，容纳在零面积区域。

别西科维奇证明这套结论同样适用于高维空间：三维空间中由全方向线段构成的挂谷集，可以拥有零体积。

可尽管面积、体积为零，这些形态尖锐奇特的集合依旧占据空间。挂谷集内的线段不会被挤压合并成单一一维直线，依旧朝向四面八方。核心疑问由此产生：挂谷集究竟占据多大空间？转换成数学语言：它拥有多少维数？

判定几何体维数有一种实操思路：用统一尺寸微小方块覆盖物体，统计所需方块数量。数量随方块缩小发生变化，而物体维数就对应数量随方块尺寸变化的指数关系。覆盖一维线段，方块数量正比于 1/r（r 为方块宽度）；二维图形正比于 1/r²；三维几何体正比于 1/r³，这个指数就是物体的维数。

但该指数未必等同于物体所处空间直观维度。分形就是典型例子：不断放大图形，结构持续涌现，例如科赫曲线、科赫雪花。方块越小，能贴合的精细结构越多，尺度变化规律不同，r 的指数变成小数，代表放大后不断显现出新结构。科赫曲线、雪花这类边缘无限精细的分形，维数介于整数维度之间。

挂谷集猜想的关键：这类容纳所有方向线段的集合，维数是否等于所在空间维数。也就是说：平面上朝向各个方向的线段构成的挂谷集，本身是否二维；三维空间内全方向线段挂谷集，本身是否三维，以此类推。即便别西科维奇证明这类集合体积、面积可以为零，它们在这一特性上依旧和实心几何体相似。猜想最早由何人、何时提出已难以考证，但 1971 年就已有相关记录，英国数学家罗伊・戴维斯（Roy Davies）证明二维情况成立。三维版本则被称作三维挂谷集猜想。倘若猜想被证伪，意味着即便线段朝向所有方向，依旧能以精巧方式排布，整体表现更接近分形，维数低于所处三维空间。

由于挂谷集由线段组成，数学家将测量维数的方块模型改良为细长管状集合。研究问题转化为：覆盖整套集合所需管子数量，如何随管子粗细变化。挂谷集猜想认为，尺度变化规律和普通三维实体一致。反之，如果挂谷集维数低于空间满维，那么更小尺度下，更多线段聚集的精细结构就会显现。

学界对三维挂谷猜想的研究热情兴起于上世纪 70 年代。普林斯顿数学家查尔斯・费弗曼（Charles Fefferman）发现，该猜想与傅里叶变换存在深刻关联。傅里叶变换可以把任意信号、函数拆解为不同频率、不同传播方向的正弦波。傅里叶分析（调和分析）一大核心公开难题：波长一致、传播方向各不相同的波叠加时，相互作用区域会产生什么现象？傅里叶限制猜想给出推断：这类叠加信号会在空间充分扩散、分布稀疏。各个分量波传播方向略有差异，难以充分重叠产生相长干涉，无法形成高度集中的信号波，该结论对信号处理、成像领域具备重要意义。

“你可以想象每一束波对应一根细长管子。” 王虹说，“管子之间会大量重叠汇聚信号，还是彼此分散？”

王虹与数学家弗兰克・梅尔

棘手难题

进入麻省理工数年之后，王虹和古斯等人一同攻坚挂谷问题的衍生猜想。一年内，他们解决福尔克纳距离问题（Falconer distance problem）一类特殊情形，该问题难度高于古斯与卡茨解决的距离不同问题。同时，王虹借助关联几何模型，在傅里叶限制问题上取得进展。爱丁堡大学数学家乔纳森・希克曼（Jonathan Hickman）评价：“这个问题难度极高，很难产出新结论，一名博士生做出突破十分出人意料。我当即写信给她，惊叹不已。”

同样研究福尔克纳距离问题的不列颠哥伦比亚大学学者施默金到访麻省理工和古斯交流时，留意到王虹的天赋。他认为王虹富有创造力，吸收新方法的能力极强；尽管接触关联几何时间不长，理解却十分深刻。

该领域当时已经积累大量研究工具，王虹又从几何测度论引入新手段，这些工具来自她和施默金合作研究福尔克纳距离集时学到的思路。施默金的多尺度分析方法给予她巨大启发：对比不同尺度下的几何形态，推导出矛盾以完成证明。“她待人谦和，时常提及部分想法源自我的工作，但她能以我无法设想的绝妙方式运用这些思路。” 施默金说。

2019 年，王虹学术声誉进一步提升。她与古斯、加州大学伯克利分校张瑞祥合作，证明二维局部光滑猜想（2D case of the local smoothing conjecture）。这是调和分析领域的一大核心难题，猜想内容为：波动方程的解无法长期在狭小区域持续聚集能量。同年博士毕业，她前往新泽西普林斯顿高等研究院从事博士后研究。起初她担心脱离古斯指导难以做出成果，但她陆续开启新合作，在一系列挂谷型问题上持续推进。各大高校招聘委员会注意到她：2021 年她入职加州大学洛杉矶分校；2023 年成为纽约大学副教授。入职一个月，她再度产出重磅成果：与任凯文（Kevin Ren）一同证明二维弗斯滕伯格集猜想（2D Furstenberg set conjecture），估算平面一类点集的维数，该集合包含朝向各个方向的线段子集。

接连取得成果，王虹依旧觉得自己处于追赶者位置。谈及各项证明，她坦言：“每一次都感觉带有运气成分。”

疫情期间身在普林斯顿高等研究院，王虹决定挑战三维挂谷集猜想。数十年来无数研究者尝试攻克，甚至有人宣称完成证明，后续却被发现论证存在漏洞。古斯坦言：“我始终没能解开挂谷猜想，曾经有四五次，我以为自己找到了路径，好在公开前自行发现错误。”

王虹读到加州大学洛杉矶分校数学家陶哲轩 2014 年的博客文章，文中介绍一套他与卡茨构思、却没有继续推进的证明框架。这套思路前景可观，于是她联系当时任职不列颠哥伦比亚大学的约书亚・扎尔。扎尔博士论文也曾研究挂谷问题多个侧面，二人决定沿着陶哲轩、卡茨提出的路线探索。

这套证明最终需要整合海量数学工具，核心逻辑是：假设存在推翻猜想的反例 —— 也就是能把三维空间内所有方向线段压缩到维数小于 3 的集合，那么该集合必须具备极其严苛、高度规整的结构，最终会和刻画加减、乘法相互作用的数学定理构成矛盾。这类反证思路十分普遍：先假设猜想不成立，推导出一系列结论，最终证明反例不可能存在，原猜想只能成立。

研究中，二人重点分析所谓 “粘性挂谷集”：朝向相近的线段会在空间内聚拢。线段紧密抱团，较粗的管子就能容纳大量线段，整体集合有可能呈现分形尺度特征，不再符合三维实体规律。二人首先证明：粘性集合无法构成反例，粘性挂谷集维数仍然是三维。

但研究远未结束。扎尔外形干练，气质如同战斗机飞行员，他说：“学界当时无法确定，粘性情形是不是最难攻克的核心障碍。” 于是二人继续假设更一般的反例：存在一套维数小于 3（记作 3−x）的挂谷集。通过统计集合内部中型球形区域相交管子数量，他们推导出集合只有两种可能性：要么属于粘性集合（已证明为三维），要么非粘性，而非粘性情形能够证明实际维数高于预设数值。“无论哪种情况，猜想成立。” 王虹解释。这套论证可以不断缩小 x 的取值，反复推导，最终证明所有三维挂谷集维数必然等于 3。

启动研究四年后，也就是 2024 年初，这套复杂的归纳逻辑逐步成型，但王虹与扎尔不敢轻易下定论。“这难题如此艰深，凭什么是我解出来？心中一直充满怀疑。但推演链条又浑然天成。” 她可以在脑海直观想象几何图景：小尺度的管状结构，在更大尺度上延展成板状，继续扩张填满整个空间。形态层层演化的逻辑，让她确信挂谷集必然是三维。

又经过整整一年打磨，二人正式对外公布证明。

寻找平衡

这份证明经过学术界研读、核验、确认，彻底改变王虹所在领域的研究格局。施默金说道：“圈内氛围有些微妙，某种意义上，这一终极目标终于实现。挂谷问题并非所有维度都得到解决，但最重要的核心难题被攻克。所有人都在思考下一步往何处走；与此同时，证明用到的全套技术，为大量新研究打开大门。”

更高维度下还有大量难度更大的公开难题悬而未决，例如三维限制猜想、三维局部光滑猜想。王虹与同行接下来一个清晰目标是四维挂谷猜想，远期目标则是寻找适用于全部维度的通用证明，不过目前没有人清楚该如何实现。

王虹表示当下不想急于锁定某一个难题全力攻坚。

在中国，她的知名度持续上升，出行时常被认出。菲尔兹奖将让她在中国乃至全球数学界拥有更高关注度。她时常担心自己进度落后，始终认为，想要达到同行同等水平，自己必须投入更多时间。当别人指出这一点 —— 所有人都公认她天赋超群，她流露出真切的意外与欣喜。

大量挂谷型难题摆在面前，王虹对未来研究满怀期待。另一项漫长课题摆在眼前：如何在数学家身份之外，拥有不以数学为全部重心的生活，同时保持内心笃定。导师古斯能抽出时间阅读休闲书籍，这一点鼓舞了她。“我时常怀念从前，拥有大把时间随心所欲阅读的日子，那段时光真的很美好。”*

— THE END —

紫京讲谈

财经领域创作者

3804篇原创