北京
刚刚，OpenAI公布了一批由其下一代模型 Astra 完成的数学研究成果。
针对 10 个长期未解决的数学与理论计算机科学问题，该模型提出了新结果，其中包括高维球堆积、群论、量子复杂性、密码学等领域的问题。
这些问题大多已经停滞至少十年，部分甚至几十年没有突破。
OpenAI表示，这些成果并非简单的数学推演，而是由模型自主生成数学论证，再由人类研究人员整理成论文，并通过 Lean 形式化验证系统进行证明验证。
OpenAI称，解决这些问题所需的总推理 Token 数量，如果按照 Sol API 的价格计算，成本约为 2000 美元。
“我们认为，结果的署名应该真实反映成果产生的方式。”OpenAI表示，如果一个证明完全由 AI 系统生成，却将其归为人类作者，会误导公众对 AI 贡献以及人类智力工作的理解。
这也意味着，AI 正逐渐进入数学研究最核心的环节：提出猜想、寻找证明、探索未知领域。
而 AI 在科研中的角色、成果归属以及科学家的未来定位，也正在成为数学界和整个科研体系必须面对的新问题。
以下为 OpenAI 公布的具体细节——
《数学与理论计算机科学领域的十项突破》
对数学界的责任
我们希望赋能科学家和数学家，为他们提供能够加速发现过程的工具。
这也是我们近期推出“面向学术研究人员的 ChatGPT（ChatGPT for Academic Researchers）”计划的原因之一。该计划将向 10 万名科学家和数学家免费提供使用我们最先进 ChatGPT 模型的机会。
与此同时，我们也持续在模型研发过程中，利用开放研究问题对模型能力进行评估。
今年 5 月，我们曾分享了一项由 AI 生成的关于“埃尔德什单位距离猜想（Erdős unit-distance conjecture）”的反证结果。
该发现是在评估一个尚未发布的模型时产生的。这项工作已经推动了数学和理论计算机科学领域的进一步发展。
今天，我们分享 10 项针对长期未解决问题的新结果。这些问题都已经开放多年，并且至少十年没有取得主要突破，很多问题停滞的时间甚至更长。
这些问题涉及多个重要领域，包括：
- 高维几何；
- 编码理论；
- 算术电路复杂性；
- 群论；
- 算子代数；
- 量子复杂性；
- 格密码学；
- 极值组合数学。
这些问题都受到各自数学领域研究者的高度关注，其中一些甚至具有整个数学领域范围内的重要意义。
研究成果
我们针对以下问题提供了新的研究结果。
这些成果由我们的下一代主要模型 Astra 的内部版本完成。
解决这些问题所需的总推理 Token 数量，如果按照 Sol API 的价格计算，成本约为 2000 美元。
随后，人类研究人员利用同一个模型协助，将这些论证整理成为论文手稿。
之后，该模型又将每个论证转化为 Lean 证明证书（Lean certificate），完成形式化验证。
此外，我们还为每项成果公开了一份由模型生成的思维过程说明。
以下是十项成果：
1. 高维球堆积问题（High-dimensional sphere packing）
提出了新的球堆积密度上界，将结果推进到了 Cohn–Elkies 阈值附近。
球堆积问题研究的是：在高维空间中，如何以最高效率排列大小相同的球，使空间利用率最大。
2. 二元编码与球面编码（Binary and spherical codes）
在给定最小距离条件下，对二元编码最大规模提出了指数级改进的界限。
同时，也针对高维球面编码获得了类似的新结果。
编码理论是现代通信、数据存储以及密码学的重要基础。
3. 非 sofic 群问题（Non-sofic groups）
构造了一类非 sofic 群，解决了群论中的一个核心开放问题。
Sofic 群是一类重要的抽象代数结构，而长期以来数学家一直无法确定非 sofic 群是否存在。
4. 康尼斯刚性猜想（Connes’s rigidity conjecture）
推翻了一个长期存在的猜想。
该猜想认为，某些群可以通过其冯诺依曼代数（von Neumann algebras）被唯一确定。
这一结果改变了群论和算子代数领域中的一个重要认识。
5. 算术电路复杂性（Arithmetic circuit complexity）
提出了关于利用算术电路和公式计算永久函数（permanent）的新的下界结果。
其中包括一个关于算术公式复杂度的下界：
n⁴/log n 量级。
这一问题与计算复杂性理论中的核心难题相关。
6. 量子重复并行定理（Quantum parallel repetition）
证明了一个适用于一般双玩家量子博弈的指数级重复并行定理。
这一成果扩展了经典计算复杂性理论中的一个基础原则。
7. 最近向量问题（Closest vector problem）
证明了最近向量问题（CVP）近似计算的多项式因子难度。
该问题是格密码学中的基础问题之一，与后量子密码体系密切相关。
8. 埃尔哈特体积猜想（Ehrhart’s volume conjecture）
确定了所有维度下满足特定条件的凸体最大可能体积。
具体来说，研究的是：
一个凸体如果其质心是唯一内部格点，那么它能够达到的最大体积是多少。
9. 多色拉姆齐数（Multicolor Ramsey numbers）
提出了多色三角形拉姆齐数的超指数级下界。
该成果解决了埃尔德什问题第 183 号。
拉姆齐理论研究的是复杂系统中必然出现的结构规律，是组合数学的重要领域。
10. 极值数猜想（Extremal number conjectures）
在极值图论领域取得关于紧致性猜想和退化性猜想的新结果。
解决了埃尔德什问题第 146 和第 180 号。
对数学界的责任
能够参与数学研究的人工智能系统出现后，也带来了许多无法仅由一家科技公司回答的问题。
关于 AI 在数学领域中的角色，目前存在不同观点。
我们尊重那些关注 AI 对数学影响的人，包括《莱顿人工智能与数学宣言》（Leiden declaration on AI and Mathematics）的签署者。
我们认为，成果署名应该真实反映结果产生的过程。
如果一个证明完全由 AI 系统生成，却声称其作者全部是人类，这既无法准确体现 AI 系统的贡献，也会误解真正的人类智力劳动。
在这些成果中，我们帮助整理了论文手稿，并利用 Lean 系统完成证明形式化验证，同时我们也承担这些结果正确性的责任。
但其中数学论证本身，是由我们的系统生成的。
我们希望数学界能够深入研究这些成果，将它们放入更广泛的数学背景中，并通过进一步研究，让其中蕴含的新思想真正推动数学发展。
随着 AI 系统逐渐成为更加复杂的科研合作伙伴，确保广泛开放获取将成为关键。
这将帮助科学家和数学家在这个正在发生巨大变化的时代，探索并定义各自学科的未来。
论文地址：
https://cdn.openai.com/pdf/ten-proofs-oai.pdf
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