从可逆粒子到不可逆世界：邓煜如何为“时间之箭”搭起数学桥梁？

演出开始前，舞台上的烟雾机喷出一团白雾。最初，烟雾聚集在喷口附近，在灯光中保持着清晰的轮廓；片刻之后，它逐渐散开，弥漫到更大的空间，原有的形状也随之消失。

如果把这段录像倒放，画面会立刻显得反常：散布在舞台各处的烟雾仿佛接到同一个指令，从四面八方向一点聚拢，最终整齐地退回狭小的喷口。我们不需要查看时间标记，也能判断影片的播放方向。

奇怪的是，构成烟雾和空气的每个粒子都只是在运动和碰撞。单独观察某一次碰撞，很难从中分辨过去与未来；但当难以计数的粒子共同演化时，时间的方向却变得清晰可见。烟雾可以散开，却几乎不会自行聚拢；气体能够趋于均匀，却不会主动恢复到最初集中的状态。

这种从微观可逆运动中产生宏观不可逆过程的现象，构成了统计物理学最深刻的问题之一。邓煜、Zaher Hani与马骁的工作，正是在一个严格的硬球气体模型中追问：大量粒子的碰撞如何形成稳定的统计规律，又如何进一步支撑我们在宏观世界中观察到的气体与流体行为？

1. 一个可以“倒放”的微观世界

要理解邓煜等人的工作，首先需要区分物理定律的时间对称性与宏观过程的时间方向。在物理学中，如果一个系统经过某种变换后，其基本规律保持不变，我们就说它具有相应的对称性。时间反演对称性便是其中一种。

设想两个理想小球发生弹性碰撞，如果把这一过程拍下来再倒放，小球反向靠近、碰撞并沿原路返回，整个过程仍然满足牛顿力学，能量和动量也依旧守恒。对于运动方程来说，正放与倒放都是合理的。

这种性质同样适用于邓煜等人研究的硬球气体模型。硬球可以理解为只在相互接触时发生弹性碰撞的理想粒子。如果在某一时刻保持所有粒子的位置不变，同时反转它们的速度，系统原则上就会沿此前的轨迹返回。相应的时间反演变换可以写成：

这并不意味着现实中的时间能够倒流，而是说明牛顿方程本身没有规定一个特殊的时间方向。然而，我们日常经验中的时间却具有鲜明的方向性：过去与未来并不对等，许多已经发生的过程无法原样逆转。物理学家通常把这种从过去指向未来的单向性称为“时间之箭”。它不是钟表指针的移动，也不是时间流逝速度的变化，而是通过一系列不可逆过程表现出来的演化方向。

图1：时间之箭。

在宏观世界中，时间之箭随处可见。聚集在房间一角的气体会迅速扩散，均匀分布的气体却不会自发回到角落；牛奶可以在咖啡中散开，却不会自行分离。按照热力学第二定律，孤立系统通常会从较低熵状态走向较高熵状态，因此，熵增加的方向也被称为“热力学时间之箭”。反向过程虽然没有被微观定律禁止，却需要海量粒子形成极其精确的运动配合，其发生概率低到在宏观尺度上几乎不可能被观察到。

图2：时间之箭由于观察而涌现。

于是，一个关键问题浮现出来：当无数次可逆碰撞共同构成一个宏观系统时，为什么整体演化会呈现稳定的不可逆方向？邓煜等人的工作正是从这里切入。他们以硬球气体为对象，研究时间对称的牛顿粒子系统如何在统计极限下产生具有宏观方向性的动力学规律，为连接微观运动、气体扩散与流体演化建立严格的数学基础。

要理解这座桥梁是如何搭建起来的，接下来需要区分描述同一团气体的三种尺度：微观的粒子运动、介观的概率分布，以及宏观的流体行为。

2. 三种尺度，三套物理语言

上一部分的问题可以换一种方式表述：同一团气体，在不同观察尺度上为什么会呈现出不同的时间性质？要回答这个问题，首先需要认识到，物理学并不只用一套语言描述气体。从单个粒子的碰撞到温度、压强和流速的变化，中间存在微观、介观和宏观三个层次。邓煜等人的工作，正是要在这些层次之间建立严格联系。

在微观尺度上，气体被看作由N个硬球粒子组成的力学系统。每个粒子都具有确定的位置和速度，整个系统的状态可以表示为：

只要给定初始状态，牛顿方程原则上就能确定所有粒子之后的运动。但一摩尔物质通常包含约10²³个粒子，完整记录和计算它们的轨迹几乎不可能。更重要的是，温度、压强和扩散等宏观现象也并不属于某个单独粒子，而是大量粒子相互作用后形成的集体性质。因此，要理解气体的整体演化，就必须舍弃部分微观细节，寻找更高层次的描述。

介观尺度由此出现。在这一层次上，我们不再追踪每个粒子的身份和完整轨迹，而是考察某一时刻、某一位置附近，具有不同速度的粒子如何分布。系统可以用分布函数 f(t,x,v) 表示，其演化遵循玻尔兹曼方程：

方程左侧描述粒子在空间中的运动，右侧的碰撞算子 Q(f,f) 则概括不同速度粒子的碰撞如何改变整体分布。与牛顿方程相比，玻尔兹曼方程不再保存每次碰撞的全部细节，却能捕捉气体从非平衡态逐渐接近平衡态的统计趋势。微观层面不明显的时间方向，也开始在这一层次显现。

当观察尺度继续扩大，我们进入宏观的流体世界。此时，粒子的速度分布也被进一步压缩，只保留密度、温度、压强和平均流速等连续变量。非平衡态热力学关心的，正是这些宏观量如何随时间和空间变化：温度差会引起热传导，密度差会推动扩散，速度梯度则会产生黏性耗散。在满足适当条件时，可以把气体划分为许多足够小的局部区域，并认为每个区域近似处于热力学平衡，由此定义局部的温度、压强等变量。欧拉方程和 Navier–Stokes–Fourier 方程，便是在这一尺度上描述气体和流体演化的基本工具。

同一团气体因此对应着三种不同的物理语言：牛顿力学描述粒子的确定性轨迹，玻尔兹曼方程描述大量粒子的统计分布，流体方程则描述可直接观测的宏观场。三者共同构成一条跨尺度的理论链：

这条链也展示了复杂系统中宏观规律的形成方式。尺度越向上，描述中保留的微观信息越少，温度、压强、黏性和热传导等新的集体变量与演化规律却随之出现。这里的“忽略细节”并非随意简化，而必须证明被舍弃的碰撞关联不会在长时间演化中重新积累，并使宏观方程失效。

图3：非平衡态热力学词条。

物理学家早已在理论和工程中使用这三套描述，但它们分别有效，并不等于彼此之间已经建立了严格的数学推导。1900年，希尔伯特在第六问题中提出，希望从原子层面的力学规律出发，为连续介质的运动定律建立数学基础。此后一个多世纪，牛顿粒子系统如何通向玻尔兹曼方程，始终是整条链中最困难的环节。邓煜等人的突破，正是从这一缺口开始。

3. 最棘手的问题：粒子会再次相遇

在连接三种尺度的理论链中，从玻尔兹曼方程推导流体方程已经形成了较为成熟的数学框架。真正长期悬而未决的，是第一步：如何从遵循牛顿定律的硬球粒子系统，严格得到描述统计分布的玻尔兹曼方程。

1975年，数学家奥斯卡·兰福德取得了关键突破。他证明，在稀薄气体对应的玻尔兹曼–格拉德极限下，当粒子数量不断增加、粒径不断减小并保持适当的碰撞频率时，硬球系统的统计行为确实会趋近玻尔兹曼方程。这首次为微观粒子动力学与介观统计描述之间的联系提供了严格依据，但证明只能覆盖极短的演化时间。

造成这一限制的核心困难，是碰撞会在粒子之间不断建立关联。两个原本相互独立的粒子发生碰撞后，它们的状态便不再毫无关系；此后，它们可能分别与其他粒子碰撞，把这种关联沿碰撞链继续传播，甚至在一系列相互作用后再次相遇。随着时间延长，可能的碰撞历史迅速增殖，形成越来越庞大、彼此交织的关联网络。

玻尔兹曼方程却建立在“分子混沌”假设之上，即将发生碰撞的粒子，在统计意义上可以近似视为相互独立。这个假设使我们能够用单粒子分布描述气体，而不必同时追踪二粒子、三粒子乃至更高阶的联合分布。但在真实的牛顿系统中，碰撞本身恰恰会制造关联。因此，推导玻尔兹曼方程的关键不是假定关联从未出现，而是证明：在相应的稀薄气体极限下，这些关联即使经过长时间积累，也不足以改变玻尔兹曼方程给出的整体演化。

这一困难也与洛斯密特在19世纪提出的可逆性悖论相呼应。玻尔兹曼方程表现出从非平衡态走向平衡态的时间方向，而底层牛顿动力学允许所有粒子同时反转速度，沿原有轨迹返回。若要实现这种反向演化，粒子之间必须保留极其特殊而精确的关联。也就是说，宏观过程能否“倒放”，在数学上很大程度取决于这些微观关联如何形成、传播，以及它们在统计描述中是否仍然重要。

图4：洛斯密特悖论词条。

邓煜、Zaher Hani 与马骁的突破，正是对漫长碰撞历史进行系统控制。他们使用组合分析和图展开方法，把粒子之间不断延伸的碰撞关系表示为“碰撞历史图”，再通过精细的切割算法将复杂结构分解为可以估计的部分。借助这种方法，研究者能够区分哪些关联会对整体分布产生重要影响，哪些复杂碰撞结构的贡献则会在极限过程中趋于消失。

在2024年的工作中，三人突破了兰福德定理的短时间限制。更准确地说，对于玻尔兹曼方程强解存在的任意给定时间区间，他们都能建立硬球粒子系统向该方程的收敛。这突破了兰福德定理只能处理短时间演化的限制。

随后，他们在2025年的研究中进一步接通宏观层次，从玻尔兹曼动力学导出可压缩欧拉方程和不可压缩 Navier–Stokes–Fourier 方程。由此，在特定的稀薄硬球气体模型和相应极限下，从牛顿粒子系统到玻尔兹曼方程、再到流体方程的跨尺度链条得到了严格建立。

图5：arXiv论文发表页面。

这项成果解决的是希尔伯特第六问题中一条明确而重要的研究纲领，即通过玻尔兹曼动力学连接微观粒子运动与宏观流体方程，并不意味着希尔伯特设想的整个物理学公理化计划已经完成。其关键意义在于，长时间积累的碰撞关联第一次得到严格控制，从而补上了微观粒子动力学通向统计规律的核心缺口。

4. 时间之箭究竟在哪里出现？

邓煜等人接通了从牛顿粒子系统到玻尔兹曼方程的关键环节。由此很容易产生一种印象：既然玻尔兹曼方程能够从牛顿力学中严格导出，那么热力学时间之箭似乎也已经从微观定律中得到证明。然而，这一结论还需要一个重要限定。数学推导说明了两种尺度之间的联系，却不意味着不可逆性仅凭牛顿方程便能自然产生。

原因在于，牛顿动力学始终允许时间反演。对于任何一组从初态演化到终态的粒子轨迹，只要在终点同时反转所有粒子的速度，就能得到一条同样符合运动方程的逆向轨迹。因此，决定宏观时间方向的不能只是运动定律，还包括系统从什么状态出发、如何选择典型的微观状态，以及从微观轨迹过渡到统计分布时保留了哪些信息。

时间方向真正变得清晰，是在玻尔兹曼方程所描述的介观层次。与牛顿方程追踪每个粒子的精确位置和速度不同，玻尔兹曼方程只记录粒子在位置和速度空间中的统计分布 f(t,x,v)。对于这一分布，可以定义玻尔兹曼的 H 泛函：

在适当条件下，玻尔兹曼方程满足

由于热力学熵可以理解为与 -H 相对应的量，这意味着系统的熵不会随演化而减少。这一单调性刻画了气体趋近平衡的不可逆趋势；在进一步条件成立时，系统会逐渐接近平衡分布。熵增加所指示的方向，就是热力学时间之箭。

从完整的多粒子状态转向单粒子分布，是一种统计降阶：研究者不再逐一保存全部碰撞历史，而是提取能够描述集体演化的分布信息。从复杂科学的角度看，它与粗粒化具有相似作用，但在数学证明中，还必须通过极限过程严格控制被省略的高阶关联。

反向演化并未被牛顿定律禁止，但它要求粒子之间具有极其特殊的速度关联。这样的状态在相空间中异常罕见。玻尔兹曼方程描述的是适当初始条件下的典型统计演化，而不是排除所有数学上允许的反向轨迹。因此，时间之箭是一种概率上高度稳定的方向，而非基础定律对逆过程的绝对禁止。

低熵初态属于时间之箭的一般解释框架，并不是邓煜等人这项定理本身所解决的问题；他们处理的是在给定适当初始统计结构后，这种结构如何在长时间演化中得到控制：碰撞产生的微观关联能否在长时间内持续积累，并最终使玻尔兹曼描述失效。他们证明，在特定的稀薄硬球极限和适当初始条件下，这些关联可以得到严格估计，粒子系统的统计演化仍然由玻尔兹曼方程描述。

因此，这项工作并没有回答“时间本身为何流向未来”这一涵盖热力学、宇宙学乃至认知问题的终极追问。它建立的是一个更具体、也更坚实的结论：在特定模型和统计极限下，时间可逆的微观动力学能够产生具有不可逆方向的介观规律。

时间之箭并未藏在某一次碰撞中，而是在大量自由度、特殊初态、统计典型性和尺度转换的共同作用下逐渐显现。对复杂科学而言，这正是一种典型的涌现：宏观层次出现了微观方程没有直接写明、却受到微观动力学严格约束的新规律。

图6：跨尺度涌现示意图。

5. 跨尺度规律如何成为可以证明的涌现

从复杂科学的角度看，邓煜等人的工作提供了一个难得的例子：宏观规律的涌现不仅可以被观察和描述，还能够通过严格数学连接到微观动力学。

涌现并不是把微观图景简单放大。温度、压强和黏性不属于任何单个粒子，而是大量粒子在适当尺度上形成的集体变量。宏观理论因此拥有一套相对自主的描述语言，但这种自主性并不意味着它脱离了微观基础。真正的难点在于说明：哪些微观细节可以被忽略，被忽略的关联是否会重新积累，以及宏观方程在多长时间内仍然有效。

信息转换提供了一种辅助理解。尺度上升时，系统的微观信息并不会原样保留，而会被重新组织为与整体演化相关的统计变量。宏观描述包含的细节更少，却可能更清楚地呈现扩散、输运和趋近平衡等集体规律。不过，信息视角只能解释宏观描述为何有用，不能替代跨尺度关系的严格证明。

图8：时空因果涌现。

邓煜、Hani与马骁在稀薄硬球模型中严格控制了长时间积累的碰撞关联，并由此接通玻尔兹曼方程与流体方程。这项工作没有提出适用于所有复杂系统的统一涌现理论，却在一个基础模型中明确展示了：宏观规律如何从海量粒子的相互作用中形成，又如何在受到微观动力学约束的同时，呈现出新的变量、结构与时间方向。由此，“微观可逆、宏观不可逆”不再只是一种经验描述，而成为能够界定适用条件和时间范围的跨尺度数学命题。

结语：为时间之箭划定数学边界

时间之箭常被描述成一个关于宇宙和时间本质的宏大谜题，但邓煜、Hani与马骁的工作表明，这个问题也可以被拆解成一系列具体而严格的数学命题：哪些初始状态能够产生稳定的统计规律，粒子关联会在何时破坏这种规律，不同尺度的方程又能在什么条件下彼此衔接。

他们没有解释时间为何存在，也没有穷尽时间之箭的所有含义。其成果的价值，恰恰在于为讨论划定了清晰边界：在特定的稀薄硬球模型中，研究者如今能够严格说明，确定性的粒子运动如何形成可靠的统计描述，并进一步支撑我们熟悉的流体世界。

这也提供了一种理解复杂性的方式。真正重要的不只是宏观世界出现了新现象，而是这些现象何时能够摆脱微观细节的干扰，成为稳定、可预测并相对自主的规律。数学证明所做的，正是把“涌现”从一种直观印象，转化为能够检验条件、范围与误差的科学命题。

我们仍然无法让扩散的气体重新聚拢，也无法把时间拨回过去。但现在，我们能够更准确地追问：一个允许反向轨迹的微观世界，究竟通过怎样的跨尺度机制，形成了我们只能向前经历的宏观现实。

来源：集智俱乐部

编辑：77

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