比特征多项式更触及灵魂：矩阵的最小多项式

特征多项式大家并不陌生，但矩阵还有一个同样重要、却更“精简”的多项式——最小多项式。它不仅记录了矩阵的特征值，还能告诉我们最大的若尔当块有多大、矩阵能否对角化，并进一步引出广义特征子空间的分解。

本文将从定义出发，一步步揭开这些联系，并通过具体算例展示最小多项式在矩阵计算中的作用。

撰文 | 丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

从自然数的“良序性”说起

从 1，2，3，……开始数数，是我们接触数学的起点。自然数为何从人类文明之初就与人为伍，备受青睐，并一路走到今天？除了作为“数数”工具，另一个不应忽视的因素是它们全体具有所谓的“良序性”。什么是良序性？人人皆知，任何有限个数字中必有最大数，也必有最小数。但是对于无穷个正整数，就不一定有最大的那个了，比如说在所有的偶数中就找不到最大数。然而，自然数集的任何非空子集，无论包含有限个还是无限个元素，在自然数群体数字之间的大小关系下，总有一个最小数，小于该集合中的其他所有数。这就是自然数之集的“良序性”。

不要小看这个良序性，就是它才使得“数学归纳法”成为数学证明方法中的一件宝物。或许有人既不熟悉数学归纳法，也不清楚它何以成立，这里多写两句。对于一个与所有自然数相关的命题，如果它对最小的自然数1为真，并且在它对任意自然数k为真的假设下能证明对自然数也为真，那么这个命题就对所有的自然数k+1都成立。为什么呢？答案就来源于自然数的良序性：假如存在自然数使得命题对此数不真，则所有这样的自然数组成一个非空数集。根据良序性质，这个集合有最小数，记为m。它不为1，因为已经证实了命题对自然数1成立。由m的定义，命题对自然数m-1成立。然而数学归纳法已经证明，一旦命题在m-1时正确，则对m-1+1=m也正确。这就陷入矛盾：命题既对自然数m为假，又对m为真。这说明使得命题不真的自然数集合是个空集。

前面花这么多篇幅谈自然数，是因为本文主角“最小多项式”的存在性恰恰就是自然数良序性的直接推论。上面已知，满足任意给定性质的自然数非空子集一定存在最小数，不管集合是有限的还是无限的。因为所有非常数单变元多项式的次数也正是所有的自然数，同样地，满足某种规定性质的所有的非零多项式全体，必定包含一个最低次数的多项式。“最小多项式”的数学术语就是在这个意义下诞生的。

从零化多项式到最小多项式

顺便一提，数学概念“理想”是由德国数学家戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）于1871年正式引进的。他将理想定义为符合某种性质的数的集合（更具体地说，是代数整数的子集），以推广同为德国数学家的库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）早期提出的“理想数”概念，从而实现在代数数域中的唯一素数分解性质。如今，理想不仅在抽象代数中有用，而且出现在其他分支如泛函分析的正算子理论中。

最小多项式与特征值

之前的文章《如何理解矩阵的特征值问题？》给出了一个对理工科大学生而言广为人知的方阵可对角化充分必要条件，即n阶方阵可对角化当且仅当它的所有特征值具有相等的代数重数和几何重数，或言之它有n个线性无关的特征向量。结合由指标的定义所演绎出的基本性质，下列推论是不言而喻的，它提供了在大学工科线性代数教材中鲜被收入的又一个等价条件。

系2.方阵可对角化的充分必要条件是它的每一个特征值的指标都等于1。

系2中的充分条件可以推广，如下面的系3所示。

一把关键钥匙：贝佐恒等式

下面，我们利用最小多项式证明矩阵理论中的谱分解定理，该定理将已知方阵的定义域空间分解成它的不变子空间的直和。为此目的，先引入关于多项式的贝佐恒等式。首先介绍初等数论

组合的整数都必须是它们最大公约数的倍数，反之亦然，即最大公约数的所有倍数都可以用这种方式表示。因此，贝佐引理是证明其他数论命题（例如欧几里得引理和中国剩余定理）的基石。

法国数学家贝佐（Étienne Bézout，1730–1783）在代数几何中留下一条经典命题（现称贝佐定理），大意是：一般而言，n个n变元复系数多项式的共同零点的个数等于所有多项式的次数之积。这一结果发表于他1779年出版的《代数方程的一般理论》。有趣的是，同样以贝佐命名的整数情形的贝佐引理，其实在他出生以前就已出现，甚至可以追溯到欧几里得的《几何原本》。尽管如此，在同一部《代数方程的一般理论》中，贝佐确实证明了整数贝佐引理在多项式情形下的推广，即今天所称的多项式贝佐恒等式：

谱分解：按特征值拆开整个空间

现在可以叙述并证明任意方阵的谱分解定理了。

实战演练：计算最小多项式与若尔当标准型

现在，选取一个数值例子来促进消化本文内容。设

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