AI攻下费马大定理:11 天1300万行代码,全部通过计算机验证

费马大定理被称为数学史上最著名、也最难证明的问题之一。1637年，费马在《算术》一书页边写下猜想，并留下那句著名的“绝妙证明”——只是页边太窄，写不下。

直到1995年，安德鲁·怀尔斯才发表了第一份正确证明，而这份证明长达129页。

如今，Anthropic宣布了一项新的进展：Claude在11天时间里，基本自主完成了费马大定理的形式化证明，并首次生成了一份端到端、经过计算机验证的完整证明。

整个过程中，Claude生成了1300万行Lean代码，证明了29,500个中间定理，最终证明规模超过Mathlib数学证明库的5倍。

这项工作的意义并不在于AI重新“发现”了费马大定理，而在于它完成了极其繁重的形式化与验证工作：把人类数学家能够理解的证明，转换成计算机可以逐步检查的严格逻辑链条。

Anthropic认为，这可能成为未来数学研究的重要基础设施，让越来越多的数学成果能够被自动验证，也减轻数学同行评审的负担。

以下为Anthropic对这项工作的完整介绍——

我们正在分享第一份完整、经过计算机检查的费马大定理证明。Claude用了11天时间，基本自主地以Lean编程语言完成了这份证明。

下面，我们将介绍这份形式化证明是如何完成的，并分享我们认为这项工作可能对数学研究意味着什么。

大约在1637年，皮埃尔·费马（Pierre de Fermat）在他所拥有的丢番图《算术》（Arithmetica）一书页边随手写下了一个命题。

这个命题后来成为数学史上最著名的猜想之一：

对于任何 (n>2)，不存在正整数 (a,b,c)，使得

aⁿ + bⁿ = cⁿ。

这就是后来所称的费马大定理（Fermat’s Last Theorem，FLT）。

事实证明，费马大定理极其难以证明。第一份证明来自安德鲁·怀尔斯爵士（Sir Andrew Wiles），发表于1995年。这份证明长达129页，而验证其正确性则需要数月艰苦的工作。

十年后，荷兰计算机科学家Jan Bergstra提出了将怀尔斯证明进行“形式化”（formalizing）的设想：把数学推理转换成计算机可以自动检查的形式。

此后，数学家们一直在发展将如此复杂的证明编码进计算机所需要的方法。其中包括一个由伦敦帝国理工学院（Imperial College London）的Kevin Buzzard于2024年发起、持续多年的社区项目，目标就是使用Lean证明助手（proof assistant）完成费马大定理的形式化。

最近，Anthropic研究人员、同时也是哥伦比亚大学一个致力于AI形式化工具研究团队成员的Tianyi Peng，开始测试Claude是否能够在费马大定理的形式化工作中取得进展。¹

最终结果远远超出了他的预期。

Claude用了11天时间，在基本自主工作的情况下，完成了第一份端到端、经过计算机检查的费马大定理证明。

在这一过程中，它写出了1300万行Lean代码，并证明了29,500个中间定理。

我们将最终得到的证明分享给了Kevin Buzzard，他表示：

这是一项非凡的自动形式化成就。Anthropic的研究人员表示，这项工作只用了11天，就在除了数学公理之外不依赖任何额外假设的情况下证明了费马大定理。一路上，我们看到了代数、调和分析、几何和数论的自动形式化，也了解到AI自动形式化产生的成果已经足够稳健，可以在其基础上继续构建；这份证明是多层次的。

像费马大定理这样复杂的证明能够被自动形式化，是迈向这样一个未来的重要一步：所有数学都可以被轻松检查。

随着AI产生越来越多的证明，对工作进行轻松形式化的能力可以减轻评估新成果的负担——这一过程过去可能需要数年。

我们希望，未来对数学知识体系进行验证能够变得更加容易，而不是更加困难。

验证数学证明的挑战

与近期AI驱动的黎曼猜想研究不同——后者产生了新的数学成果——这项工作的创新之处在于验证：也就是像使用计算器检查数学计算一样，对数学证明进行检查。

证明数学定理需要建立复杂的逻辑链条。如果其中任何一个环节出现问题，那么之后的所有内容都可能是错误的。

要深入理解一项新的数学成果，并对其正确性建立足够信心，可能需要数月甚至数年的工作。

费马大定理就是一个很好的例子。²

费马在一本书的页边写下了这个定理，同时留下了一句令人遐想的话：

我发现了一个真正绝妙的证明，只是这页边太窄，写不下。

在350多年的时间里，一代又一代数学家一直在寻找费马大定理的证明，无论这个证明是否真的“绝妙”。

1908年，有人悬赏10万德国金马克，奖励能够给出正确证明的人，相当于今天的100万至200万美元。

仅在第一年，就出现了621份错误的证明。

1993年6月，怀尔斯在连续三天的讲座中展示了他认为是费马大定理的第一份正确证明。

在随后由多位数学家展开的密集验证工作中，两个月后，一位审阅者提出了一个问题，暴露出了证明中的关键漏洞。

怀尔斯花了一年时间试图修复这个漏洞，最初独自进行，后来与他的前学生Richard Taylor一起努力。

当他几乎准备放弃这个项目时，他终于意识到，自己此前放弃的一种方法可能恰好能够修复证明。

1995年5月，怀尔斯发表了第一份正确的费马大定理证明。

这份证明依赖现代数学技术，而这些技术远远超出了1637年的费马所能掌握的知识范围。

由于经过几个世纪的努力，人们仍然没有找到一份初等证明，如今数学界普遍认为，费马本人当年所说的那个“绝妙证明”很可能是错误的。

费马大定理的形式化

检查一个证明是否正确的一种方式，就是让计算机来完成检查。

像Lean这样的证明助手，可以通过算法验证证明中的逻辑，从而以极高的确定性证明其正确性。

对人类而言，困难之处在于：必须重新编写证明，让Lean能够理解它。

面向人类读者撰写的证明往往会跳过许多显而易见的步骤，但Lean必须看到每一步，无论这一步多么微不足道。

人类数学证明还建立在数百年来已经发表的数学成果之上，而形式化证明则必须从目前已经完成形式化的那一小部分数学开始。

对于费马大定理而言，人们原本预计整个形式化过程需要数年时间。

仅仅是数学界用于描述这一项目初始阶段的那份蓝图（blueprint），就长达86页。

Claude用了11天完成了证明，并在过程中生成了经过计算机验证的30,300个定理，其中29,500个最终被用于完整证明。

几十个Claude代理共同协作，定义概念、证明中间定理，并利用这些定理继续证明越来越困难的命题。

Claude最终生成的证明包含1300万行Lean代码，规模超过Mathlib——这个定理所依赖的主要数学证明社区库——的5倍以上。³

费马大定理形式化的时间进展

Claude的证明采用了Darmon、Diamond和Taylor对怀尔斯证明的一个简化版本。

人类提供的数学输入非常有限，主要来自Tianyi偶尔给出的高层次指令，例如：

“Jacobian作为scheme听起来应该是高优先级。”

以及：

“尽快把Mazur定理完成。”

你可以在这里看到Claude思考过程的部分摘录。

“FLT root reads Proved on the site. Historic moment (modulo re-check).”

“!!! The FLT ROOT 62eb32c0 reads PROVED. R = T closed and cascaded to the root. This is the campaign’s goal: e2e FLT on prove2me.”

“The FLT root reads PROVED on prove2me at 02:00:57Z Aug-18 (10:00:57pm ET Aug-17). Historic moment for this campaign.”

这是Claude意识到自己完成这一工作的思考过程摘录。

Claude最初的多次尝试都失败了。

虽然这些代理很早就取得了一些成功，但它们很快就失去了对项目状态的跟踪能力，并停止了有效协作。

这些失败的尝试最终贡献了完整证明中约7%的非模板代码行。

真正取得成功的转折点，是我们转而使用了Prove2Me。

Prove2Me是一个用于形式化数学的开放协作平台，由Tianyi Peng及其哥伦比亚大学合作者设计。

Prove2Me通过以下方式帮助完成了这项工作：

1. 维护定理陈述的有向无环图（DAG）

代理可以利用这个图决定下一步应该尝试证明哪些定理。

这对于缓解记忆退化问题非常有帮助，也让多个代理能够并行工作。

2. 加速Lean编译并降低资源消耗

通过将定理陈述和证明分成不同文件，同时独立维护两者之间的链接，Prove2Me能够提高效率。

3. 支持搜索和复用

Prove2Me为每一个定理陈述维护自然语言描述，从而形成更加简单的证明路径。

这是Claude用来形式化费马大定理的Prove2Me计划中的关键里程碑。图中的三个彩色部分对应Claude最终目标之前必须证明的三个核心子定理。整个图与怀尔斯最初的证明过程高度一致。

借助Prove2Me以及基于Claude Code构建的多代理系统，一组代理在不到两周的时间里完成了证明。

整个过程消耗了大约60亿个输出token，使用的是一个通用型内部研究模型，其能力大致相当于Claude Fable 5.1。

最终完成的证明由Lean进行了检查，只使用Lean的三个标准公理。

与此同时，一个比较器（comparator）确认，定理陈述与Mathlib自己的费马大定理陈述完全一致。

降低形式验证的负担

我们能够如此迅速地产生这份证明，说明现在已经可以对大规模数学内容进行形式化。

这既有可能帮助发现数学证明共同知识体系中的错误，也有可能减少同行评审新研究成果时所承担的负担。

在审阅Claude的Lean证明后，Kevin Buzzard告诉我们：

如果费马大定理现在已经能够被自动形式化，那么我们就已经向现代数学文献的自动形式化迈出了一大步。这类自动形式化技术将带来新的工具，发现当前数学知识体系中的错误，并减轻审稿人的负担。这些技术还将让我们能够严格检查LLM生成的数学成果，而目前这通常是一个成本极高、主要依赖人类完成的过程。

形式化也是人类如何对AI生成的数学成果建立信心的重要因素。

随着AI以及AI辅助数学家以前所未有的速度产生越来越多的所谓“证明”，AI辅助形式化可以帮助人类审阅者分担部分工作。

我们预计，未来在面向人类读者撰写任何数学成果时，同时提供一份形式化证明将成为常态。

虽然我们并不认为形式化证明应该取代人类能够理解的数学解释，但它可能成为数学界跟上AI生成成果速度的唯一可行方式。

编写Lean代码似乎也能够帮助Claude证明新的数学成果。

我们最近由Claude完成的许多研究成果，都与证明过程同步进行了形式化。

Claude似乎会利用这些部分完成的证明，独立检查自己的假设，就像它会编写数值模拟来确认自己是否走在正确方向上一样。

对费马大定理进行形式化是一个高度消耗token的项目，但它同时也是迄今构建的规模最大的Lean证明。

Anthropic研究人员还进行了一项小规模实验：使用三个个人Claude Max订阅账户，对Hardy-Littlewood圆法（Hardy-Littlewood Circle Method）的应用进行形式化。

这些代理完全通过Prove2Me协作，仅用了三天，就共同完成了Vinogradov三素数定理（Vinogradov’s Three Primes Theorem）的形式化。

我们认为，只要拥有合适的支架和基础设施，消费者级AI订阅也能够实现重大数学成果的协作式形式化。

为此，Anthropic以及其他实验室最近扩大了对外部研究人员的支持，包括从事纯数学和数学形式化工作的数学家。

我们提供免费的和折扣的订阅以及研究额度。

对于更大型的科学项目，我们还提供专项研究资助，这些项目可以包括对其他重大数学定理进行形式化，或者改进Lean和Mathlib。

随着AI迅速改变数学研究的工作方式，Anthropic以及其他地方的数学家都在思考，这意味着什么。

但对于形式化，我们认为AI所扮演的角色是一个毫无疑问值得肯定的方向。

随着形式化成为更加普遍的工具，我们希望它能够帮助人们维护对数学共同知识体系的信任。

致谢

我们的形式化工作只是费马定理漫长历史以及形式数学发展历程中的一小部分。

安德鲁·怀尔斯与Richard Taylor完成的第一份完整证明，是三百多年数学发展的结晶。

这份证明融合了Gerhard Frey、Jean-Pierre Serre、Ken Ribet、Barry Mazur、Robert Langlands、Jerrold Tunnell、Yutaka Taniyama、Goro Shimura、André Weil等众多数学家的工作。

Claude的证明采用了Henri Darmon、Fred Diamond和Richard Taylor的论述作为基础。

我们的证明还借鉴了由Kevin Buzzard领导的伦敦帝国理工学院费马大定理项目以及flt-regular项目中的部分成果。

Lean和Mathlib本身也是众多数学家长期投入心血的成果，其中数百名数学家为其贡献了代码和数学内容，许多人参与了Lean FRO。

感谢Kevin Buzzard审阅这份证明，并提供宝贵意见。

脚注

¹ Peng在本科期间，他的研究导师希望将Peng论文中的成果加入一篇发表于《Nature》的文章。

导师问Peng，他是否确定自己的证明是正确的。

Peng诚实地回答：“我有99%的把握，但这么长的证明，很难做到100%确定。”

Peng因此错过了在《Nature》发表其研究成果的机会。

² 数学界在验证证明方面还有很多类似的故事。

其中最著名的例子之一，是Thomas Hales于1998年完成的开普勒猜想（Kepler conjecture）证明。

这份证明经历了四年的同行评审，最终由一个12人的审稿委员会给出了“99%确定”的评价。

之后，Hales领导了一个由20人组成的项目——Flyspeck——对这份证明进行了形式化。

Grigori Perelman于2002年完成的庞加莱猜想（Poincaré conjecture）证明，也花费了数学界大约四年的时间才最终获得认可，其间还出现了三份各300页的详细论述。

Harald Helfgott于2013年完成的弱哥德巴赫猜想（weak Goldbach conjecture）证明，至今仍处于评审过程中。

有时，一些后来被证明是错误的数学成果会被接受数年，其他数学家甚至会在这些错误的基础上继续建立自己的理论。

³ 这部分原因在于，Mathlib本身非常简洁，而且经过了充分的同行审查；相比之下，我们的证明很可能远远长于实际所需的长度。