OpenAI宣布攻克NS千禧年难题！花费数百万美元完成，已公开165页证明

这次是真的震惊瘫坐宛如看到核弹爆炸了。

9 月 8 日，OpenAI 公布了一份 165 页的数学论文，宣布找到纳维－斯托克斯方程（Navier–Stokes，简称 NS）存在性与光滑性问题的解答。

论文给出的结论是：对于任意正黏性，都可以构造一团从静止开始运动的三维不可压缩流体，在光滑外力作用下，让局部速度在有限时间内变得无界，同时保持总动能有界。这意味着，即使初始状态和外力都足够平滑，黏性也未必能够阻止经典光滑解发生“爆破”。论文署名为 OpenAI。

图丨相关推文（来源：X）

与论文一起公开的，还有用数学证明语言 Lean 编写的形式化工程。其公开仓库分别列出三维全空间和周期空间中的 NS 结果，以及另一项无外力欧拉方程的有限时间爆破结果，并提供独立检查的入口。

不过目前，数学界还尚未完成审查。截至发稿，克雷数学研究所的问题页面仍将这一难题列为未解决。

NS 方程是现代流体力学的基础。水流、空气和其他黏性流体如何运动，都可以借助它来描述。它也是与黎曼猜想、P vs NP 等并列的七大千禧年难题之一。

这里悬而未决的，是一个比算出某次流动更基础的问题：从平滑、有限能量的初始状态出发，三维流体的运动能否一直保持平滑，还是可能在有限时间内形成奇点，让经典解无法继续？ 它的核心方程可以写成：

其中，u 是速度，p 是压力，v>0 表示黏性，f 是外力。最后一个条件表示流体不可压缩。方程中，两种作用始终在竞争。流动会搬运和拉伸自身的速度结构，把运动集中到越来越小的尺度；黏性则倾向于抹平速度差。三维情况下，前一种作用能否强到突破后一种作用的控制，长期没有定论。

1934 年，数学家 Jean Leray 已经证明，在适当条件下，三维 NS 方程存在可以延续到任意时间的“弱解”。弱解允许在积分意义上满足方程，不要求每一点都足够光滑。因此，“某种广义解始终存在”和“流体速度始终平滑”之间，仍然隔着一道没有跨过的鸿沟。 OpenAI 的论文则给出了一个具体的爆破构造。

图丨在相继时刻 t< t< t< 1 时内核心的中心部分（来源：OpenAI）

对任意正黏性，论文从完全静止的流体出发，施加一个在时间和空间上都无限次可微、且只在有限时空范围内起作用的外力。流体在爆破时刻之前始终光滑，但随着时间逼近这个时刻，某些位置的速度可以超过任意给定上限，总动能却始终有界。论文把这个时刻归一化为 t=1：

第一项说的是整体能量有限，第二项说的是局部速度无界。这里发生爆破的，已经是速度本身。 两者能够同时成立，是因为高速运动集中在一个不断缩小的涡旋核心中。核心的半径和高度都趋向零，半径缩得更快，形状因此越来越细长。虽然旋转和轴向速度持续上升，参与高速运动的流体体积却缩得足够快，核心动能甚至可以趋向零。

证明最困难的部分，是让外力始终保持光滑。 如果先拼出一个会爆破的速度场，再把方程中所有不平衡的部分都算作外力，外力往往也会出现奇性。这样的构造，无法说明平滑输入之下，流体自身的运动如何形成奇点。

论文因此在涡旋外围加入振荡脉冲。微小扰动从背景流的剪切中获得能量，增长后输送动量，抵消原本需要奇异外力才能维持的那部分运动。更多修正项继续消除误差，最终让速度无界增长，而外力及其所有阶导数都能平滑地越过爆破时刻。这也是“有外力”这一条件的重要性。

克雷研究所的正式题目接受四种解答，其中 C、D 两项允许构造带光滑外力的爆破反例，分别对应三维全空间和周期空间。OpenAI 针对的是这两项；这份结果并未回答无外力 NS 方程是否也会发生同样的爆破。

如果证明成立，它将回答一个悬而未决近百年的问题：即使初始状态和外力都光滑、总能量始终有限，三维流体的局部速度仍可能在有限时间内变得无界。黏性能够抹平速度差，却未必能阻止奇点形成。这份证明将为流体力学最基础的方程划定一条边界，也为数学家理解非线性运动如何突破黏性的控制，提供一个具体构造。

据 OpenAI 披露，找到 NS 解答的小组包含约 1 万个并发智能体，使用的是能力显著超过 GPT-6 Astra、仍在训练中的内部模型。智能体在首次启动约 88 小时后得到解答，随后由 GPT-6 Astra 用另外 17 小时完成 Lean 形式化与验证。NS 项目产生约 270 万条消息，消耗约 1300 亿个输出 token。

OpenAI 研究员 Noam Brown 随后在社交平台承认，这项成果花费了数百万美元（Brown 也预测，一年后普通用户也可能用上足以解决同等级问题的 AI）。相比之下，克雷数学研究所为每道千禧年难题设置的奖金，也不过 100 万美元。单是此次投入，就已经超过了这道题的悬赏。不过 OpenAI 也明确表示，不打算申领这项大奖。

另外，这次发布也补上了我们此前报道中缺失的一环：Buckmaster 所说的那份 OpenAI 内部证明，如今已经公开。

纽约大学数学家 Tristan Buckmaster 此前与 Levent Alpöge 公布了包括受迫欧拉方程爆破在内的研究。他在声明中质疑 OpenAI 的研究启动过程、模型是否接触过两人的 Codex 草稿，以及双方讨论中的发布与署名安排。

OpenAI 此次回应称，研究人员和智能体在两人公开成果前，没有通过任何方式看到其研究，也没有为解决这一问题专门访问特定用户数据；但公司同时表示，无法排除两人使用产品所产生的去标识化数据曾帮助改进模型。OpenAI 还强调，双方证明存在显著差异，Euler 结果分别涉及有外力和无外力情形。

现在，外界终于可以检查那份此前只存在于通话描述中的证明。165 页论文和形式化代码已经摆上桌面，接下来，数学家需要检查证明，也需要理解它揭示的流体运动机制。

如果这份证明经得住检验，那么人类与人工智能的协作模式似乎将跨过一个无法被忽视的历史时刻：一个困扰数学界近百年的问题，终于有了一份可以逐步检查的答案。过去，我们用人类已经解出的题目衡量机器；如今，机器参与写下的证明，开始成为人类需要认真读懂的新知识。

参考资料：

1.https://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf