arXiv：连续生命游戏-生长边缘的细胞涌现与自组织

导语

经典生命游戏表明，简单规则也能产生复杂结构，但它依赖离散的方格与时间步。近日，德国马普复杂系统物理研究所的研究者构建了一种空间与时间均连续的极简生命游戏。模型不仅能自发形成具有分裂、运动和消亡能力的类细胞结构，还能借助有限资源形成负反馈，自动靠近稀疏相与密集相之间的“生长边缘”。这项研究为理解简单动力学规则如何产生形态、运动与类生命自组织提供了一个简洁模型。

关键词：生命游戏、自组织、类细胞结构、涌现、临界点

郭瑞东丨作者

赵思怡丨审校

论文题目：Continuous Game of Life: cell emergence and self-organization at the edge of growth 论文链接：https://arxiv.org/abs/2607.27402 发表时间：2026年7月29日 论文来源：arXiv

连续生命游戏如何涌现类细胞结构

连续生命游戏将经典生命游戏从离散方格推广到连续的空间与时间，并用非线性偏积分—微分方程描述其演化。模型在二维空间中定义了一个生命场 LL，每个位置的场值表示该处的活性或密度，如图1左上所示。

在经典生命游戏中，每个细胞通过统计周围8个方格的状态决定自身的生存或消亡。进入连续空间后，离散的邻居计数被高斯卷积取代，从而消除方格方向带来的偏差，使模型具有空间各向同性。系统由此获得两个不同尺度的邻域场：MM 描述小尺度上的局部状态，NN 描述较大尺度上的周围环境。

从反应—扩散系统的角度看，生命场 LL 可以理解为不发生扩散、变化较慢的主场；辅助场 MM 和 NN 则相当于由生命场产生、能够快速扩散并衰减的“形态发生素”。不同位置的生命场根据这两个尺度上的邻域信息，持续调整自身的活性状态。

图1：主辅场与目标函数

如图1所示，连续生命游戏能够自发形成具有“核—壳”结构的局域斑图。根据参数和动力学状态的不同，这些结构可以保持近似圆形，也可以逐渐拉长并发生形变。由于它们能够分裂、运动和消亡，作者将其称为“类细胞”。

生命场的演化由目标函数Γ(M,N)决定。该函数以两个不同尺度的邻域场 M 和 N 为输入，划定有利于生命场维持或增长的状态区间；局部生命场则持续向这一目标值松弛。图1左下展示了目标函数的形状，并用红色标出了几种特殊的均匀状态：实心和空心三角形分别表示分岔后稳定与不稳定的不动点，空心圆则表示分岔发生前尚未形成稳态的局部极值。这些特殊状态分别与类细胞的壳层和核样区域相关。

在此基础上，作者进一步引入有限资源约束：生命场增长会消耗资源，衰减则将资源释放回环境。可用资源的丰度随系统总密度动态变化，由此形成抑制过度增长的全局负反馈机制。

在一组经过调节的参考参数附近，连续生命游戏呈现出多种类细胞行为。图2通过颜色编码，将目标函数中的不同状态区域映射到物理空间中的类细胞结构，从而显示其“核—壳”形态如何随动力学过程发生变化。

细胞分裂（Dividing cell，图2B）：类细胞逐渐拉长，核样区域率先分裂，随后外部壳层断开，最终形成两个相互分离的结构。

振荡滑动者（Oscillating glider，图2C）：短轴方向的对称性发生破缺，使类细胞产生定向运动，并在移动过程中伴随周期性的形态振荡。

蛋状结构（Egg，图2D）：一种各向同性的局域稳态，整体近似圆形，可以长期保持静止，不继续生长，也不会自行消失。在部分参数下，系统还允许两种不同尺度的蛋状结构稳定存在。

转向滑动者（Turning glider，图2E）：在进一步的对称性破缺下，类细胞不再沿直线移动，而是沿圆形轨迹持续转向，其旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针。

图2：连续生命游戏的类细胞动力学与形态转变

为了考察不同参数对形态生成的影响，作者保持其余参数不变，使部分目标参数沿空间方向从左至右线性变化。如图3所示，随着参数改变，系统会出现迷宫状图灵斑图、细丝（filaments）、链条（chains）、休眠的蛋状结构和转向滑动者等多种形态，并在参数区间的两端分别进入近乎均匀的低活性状态或过度生长的密集状态。

这一结果表明，模型的形态对参数变化十分敏感。参考参数下的类细胞并非一种孤立、稳定不变的结构，而是处在多个长寿命局域形态和动力学状态的交界区域。较小的参数变化就可能引发对称性破缺、形态失稳或有限幅度的状态转换。不过，此时的参数扫描主要提供定性证据，尚不足以直接证明这些形态都位于严格意义上的临界点。

连续生命游戏还可以被映射为一种粗粒化的反应—扩散系统。在这一解释中，卷积得到的辅助场 MM 和 NN 相当于由生命场产生、能够快速扩散和衰减的形态发生素；生命场 LL 则是响应较慢且不发生扩散的主场。连续生命游戏的生存规则由目标函数编码，它规定了有利于生命场维持或增长的形态发生素浓度范围。类细胞的壳层对应较窄的低浓度稳态区间，核样区域则对应更宽的高浓度区间。由此，原本抽象的邻域规则获得了一种与形态发生过程相联系的反应—扩散解释。

图3：连续生命游戏在目标参数的空间扫描图景

生长边缘附近的动力学相变

研究发现，连续生命游戏存在两种宏观动力学状态，其转换受到资源丰度参数 r 的控制。如图4所示，当 r 较低时，系统处于稀疏相：类细胞以局域结构存在，保持休眠或停止增殖；当 r 超过一定范围后，系统则进入密集相，类细胞持续分裂，蛇状结构不断伸展，最终形成填充空间的斑图。平均场密度在两种状态之间发生陡峭变化，表明这里存在一个从稀疏相到密集相的动力学转变。研究者将两相之间的边界称为“生长边缘”。

图4：资源密度序参数随资源丰度的临界变化

类细胞的形态不仅取决于资源丰度，还受到两个邻域尺度之比 λ 的影响。为了区分均匀状态与异质斑图，作者除平均密度外，又引入了空间对比度 κ 作为第二个序参数，并在由资源丰度 r 和邻域尺度比 λ 构成的参数平面上进行扫描。平均密度反映系统整体处于稀疏相还是密集相，空间对比度则用于衡量生命场是否形成明显的局域结构。

图5显示，参数空间中存在两组相似的状态序列，分别位于低背景密度和高背景密度两个区域。每个区域中都可以辨认出两类边界：一类是单个液滴状结构能够稳定存在的边界，另一类则是局域结构开始持续增长并形成密集相的“生长边缘”。这两条边界并不完全重合，意味着一个类细胞能够稳定存活，并不等于它能够不断增殖并扩张到整个空间。

生长边缘附近的形态会随着 λ 显著变化。当 λ<3 时，系统更容易产生链条、细丝以及类似菌丝网络的泡沫状结构；当 3"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">λ>3 时，则更常出现气泡、点状斑图和能够自主滑动的类细胞。由此可见，“生长边缘”并不是参数空间中的一个孤立临界点，而是一条随邻域尺度变化而延伸的相边界。分裂、运动、消亡和形态重组等多种类生命行为，都集中出现在这条边界附近。

图5：相图与稳定性边界

为了使系统能够自动接近生长边缘，研究者进一步引入了有限资源约束。基础模型允许类细胞不断分裂和扩张，而资源限制则构成一个全局负反馈：生命场增长会消耗资源，生命场衰减则将资源重新释放到环境中。随着系统总密度升高，可用资源逐渐减少，有效资源丰度随之下降，持续增殖因而受到抑制。

研究者首先将系统置于生长边缘上方，使其从能够持续增殖的密集相开始演化；随后设定有限的总资源 R，并监测平均场密度 μ 和有效资源丰度。随着类细胞增长，资源不断被消耗，有效资源丰度逐渐降低；当结构衰减或消失时，部分资源又被释放。通过这一循环，系统能够从密集相一侧自动靠近稀疏相与密集相之间的生长边缘，而不必将资源丰度参数手动调节到狭窄区间。

图6：生长边缘附近的自组织模式

图6展示了不同邻域尺度比 λ 下，资源反馈在生长边缘附近产生的多种形态，包括类似菌丝体的延伸细丝、有序排列的极化类细胞，以及增殖与消亡交替出现的动态结构。这些结果表明，资源限制不仅能够抑制无限增长，还可以作为一种参数自调节机制，使系统长期维持在多种动力学过程相互竞争的区域。

小结

在该模型中，生长边缘可以被理解为资源反馈所趋近的一条吸引性边界。只要初始系统足够密集并具有持续增殖能力，增长造成的资源消耗就会降低有效资源丰度，将系统推向相边界；反过来，结构的衰减和消亡又会释放资源，重新提高系统的生长能力。正是这种增长与抑制之间的负反馈，使分裂、消亡、运动和形态重组能够在相近的时空尺度上共存。

这一机制与自组织临界性的基本思想相似：系统依靠内部反馈自动接近动力学相变边界，而不需要外部精确调节控制参数。不过，论文尚未通过幂律分布、尺度不变性或临界指数等指标，证明该系统属于严格意义上的自组织临界系统。因此，更准确地说，这项研究展示了资源反馈驱动的“临界点附近自组织”，而不是已经确立了一种新的自组织临界模型。

总体而言，该研究构建了一个仅含少量参数的连续生命游戏，并在统一的动力学框架中呈现出类细胞的分裂、自发运动、消亡和群体相变。有限资源形成的负反馈进一步推动系统自动靠近生长边缘，为研究形态发生和类生命结构的自组织提供了一个简洁的计算模型。

需要强调的是，这些结构仍是数学系统中的类生命斑图，尚不具备真实细胞的代谢、遗传和进化机制。因此，该模型的意义并不在于重建生命本身，而在于提供一个可控的研究平台，用来探索简单局部规则、环境资源与集体动力学如何共同产生复杂的类生命行为，并为未来引入遗传、变异和选择机制奠定基础。

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