【数学史话】复数的发现——兼谈学习新课标

【数学史话】复数的发现——兼谈学习新课标

在初中我们学习过一元一次方程、一元二次方程，尤其是一元二次方程有个求根公式，简直不要太爽，只要把系数代入公式中，实数根就出来了。

那么一元三次方程有没有这样的求根公式呢？

对于数学家们来讲，研究它是件乐事，在16世纪左右，意大利的几位数学家正在进行这样一项“赛事”，看谁能解出任意一元三次方程。数学家卡尔达诺(1501-1576年)鼓捣出了一个特殊一元三次方程的求根公式：

对于没有二次项的一元三次方程

卡尔达诺得到了一个求根公式

只要系数代进去就行，这公式非常好用。

然而不出意外的，意外来了，有一天，大家遇到了这个方程

我们可以把x=4代入进去，发现左右两边相等，很显然x=4就是这个方程的一个实根，然而怪事出现在公式上，当我们把p=15，q=4代入卡尔达诺的求根公式后

卡bug了，原因是根号里出现了-121，根据负数没有平方根，此方程没有实数根，然而明明刚才还有一个x=4满足这个一元三次方程啊！

卡尔达诺头疼不已，这时，另一位数学家邦贝利(1526-1572年)跳出来了，问题既然出在-121不能开方，那我假装这个东西能开方，会发生什么呢？果然数学家的思维就是与常人不一般。

他首先猜想

然后他发现

若 ， 那 么 接 着 算 下 去

同理，另一个立方根也算出来了

现在，卡尔达诺公式里的两个立方根都算出来了，它们相加之后，答案居然真的等于4！

邦贝利解决了卡尔达诺公式的这个bug，只需要引入一个新的数，但当时的数学家们长时间心里没底，这真的是一个数吗？

几十年后，笛卡尔(1596-165年)给它起名叫“虚数”，莱布尼茨(1646-1716年)表示同意，直到欧拉(1707-1783年)给这个数弄了一个符号

实数大家族终于迎来了大扩充，变成了复数。

当然，这事儿没完，用它计算没问题，但谁也不知道这玩意儿有什么物理意义或几何意义。

下面有请数学王子——高斯(1777-1855年)登场！

高斯为首的另一帮数学家们，做了一件直观的事，将一维的数轴，变成了二维的平面，因为数轴上的所有点和实数是一一对应的，新的数在实数轴上找不到它的位置，但说不定在二维平面上，有它存在的空间？

先回到我们初中熟悉的数轴上，以0为原点，左边是负数，右边是正数，一个数乘以-1是什么意思？相当于将这个数代表的点绕原点旋转180°，例如2乘-1，相当于把实数轴上代表2的点绕原点旋转180°，结果不正是-2吗？

而我们知道i×i=-1，即乘以一个-1相当于乘两个i，什么样的两次旋转相当于旋转180°呢？聪明的你一定得到了，不就是两个90°嘛！恭喜你，跟上了高斯的思维，未来的数学家们，请在纸上画图：

规定乘一次i就是逆时针旋转90°，问题迎刃而解了，因此这个二维平面，我们称之为复平面，完美解决了虚数单位i的几何意义，它是一个“旋转”符号。

所谓数学家的思维，正如我们经历的数系扩充，最初在小学低年段，我们学习的是自然数，就是用手指头可以数的那种数，但当遇到减法5-8时，发现数不够减，所以数学家们“造”出了负数；

当遇到2÷3时，整数不够用了，数学家们“拿”出了分数，“造”出了有理数；

当求边长为1的正方形的对角线时，发现有理数也不够用了，所以“造”出了无理数√2，并将一维数轴填满了；

当遇到x²+1=0时，实数根也没了，数学家思维告诉我们，他们继续“造”新的数，让它有解；

高斯证明了，任何一个n次复系数多项式方程，在复数域恰好有n个根：

一定可以写成n个一次因式的乘积：

这个叫代数基本定理，这意味着高斯终结了数系的扩充游戏，以后别再去造新的数了，不需要了。

今天的故事先讲到这里，因为这个故事到高斯这里，对于初中生而言，已经基本到头了，但并不意味着故事的结束，事实上后面的更精彩，欧拉公式的诞生、柯西留数定理、傅立叶变换甚至薛定谔的波动方程，都有i的影子，粒子的相位旋转、干涉叠加、量子纠缠，本质上都是在复平面上进行的。

近年来的高考数学压轴题，考的就是这种数学家思维，但这种思维绝不是靠高中三年培养的，也不是靠初中三年培养的，而是从小学、初中、高中甚至更多时间内培养起来的。所谓贯通培养，是指承担小学、初中、高中教学任务的老师们，始终保持一致的教育理念，显然这个理念是有的，那就是新课标。

现在我们不可能让一位老师从小学一年级一直教到高中毕业，这个跨度太大，只能让各学段分别按新课标要求去理解教材、理解教学，只有这三个学段的老师们保持一致，那学生才有可能形成数学家思维，若按平均每三年换一位数学老师，那么这12年总共学生会接触到4位数学老师，这4位老师理念相同的概率并不算高，但我们现在学习新课标，正是想让这个概率变大一些，期待未来会出现更多有数学家思维的孩子。