非洲工艺美术中的数学思想

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

非洲丰富多彩的文化多样性在房屋装饰、建筑风格、聚落和围墙形状的多样性中清晰可见（Oliver 1971; Denyer 1978; Bourdier and Trinh 1985; Guidoni 1987; Eglash 1998）。多样性中的统一性体现在对于对称形式和图案的艺术和几何探索的重要性上。形状和装饰并不是一成不变的；它们可能会随着季节的变化而变化，标志着家庭组成的变化，或为特殊仪式而选择（Wenzel 1972; Courtney-Clarke 1986, 1990; Changuion, Matthews and Changuion 1989; Gerdes 1998d, 1996）。一些传统的非洲建筑理念可能来自于其他文化领域的经验和知识，如编织篮子（Gerdes 1990: 107–111, 1998c）。

本文举例说明非洲传统建筑中的几何构思，并就非洲艺术和手工艺启发下的建筑造型提出进一步的建议。

矩形建筑

撒哈拉以南的大多数非洲民族传统上都用圆形或矩形底座建造房屋。在莫桑比克农民中，有两种建造长方形基座的方法很常见。在这两种情况下，矩形形状都不是照搬矩形或从一个个直角开始建造的结果（Gerdes 1998a: Chap. 12）。

图24.1说明了第一种方法。建房者首先在地板上放下两根等长的竹棍。然后这两根棒与另外两个同样长度但通常稍短的棒组合。（b）现在移动木棒以形成四边形（c）的闭合。进一步调整数字，直到对角线（用绳子测量）相等（d）。然后，从棍子现在躺在地板上的地方画线，房屋建造者就可以开始了。这种构造方法反映了这样的知识：当平行四边形的对角线全等时，平行四边形就变成了矩形。矩形形状是四边形连续变换的结果：四边形收敛为矩形，矩形是其极限。

图24.1 莫桑比克建造房屋矩形基座的第一种传统方法示意图。

图24.2展示了第二种方法。建房者先将两根等长的绳子在中点绑在一起（a）。在地上铺上一根竹棍，竹棍的长度等于房屋所需的宽度，然后在竹棍的两端点插入大头针。每根绳子的端点都绑在其中一个大头针上 (b)。然后拉伸绳索，并在绳索的其余两个端点上将新的大头针插入地面。这四个大头针决定了要建的房子的四个顶点（c）。这个矩形结构说明了这样一个知识：只要两条相等长的曲线在中点相交，经过连续变换成为直线段，它们就会构成矩形的对角线。矩形的定义元素是它的宽度和对角线的长度。在这两种构造方法中，矩形的四个直角都会同时出现。

图24.2 莫桑比克建造房屋矩形基座的第二种传统方法示意图。

不断变化的墙壁装饰

恩贡戈人是刚果/扎伊尔中部库巴王国的民族文化群体之一，在恩贡戈人中，用垫子装饰房屋和宫殿的墙壁非常普遍。1910年出版了匈牙利民族学家托尔戴（Torday）观察到的此类建筑席垫作品集。图 24.3 展示了一些例子。这些平面图案具有各种对称性。在水平方向上，我们可以看到由垂直藤蔓编织在一起的木棍。图 24.4 展示了另一个例子，这次是喀麦隆巴米莱克族首领家门上方部分墙壁上装饰的辫状垫子的细节，这也是根据季节、仪式或生命周期更换装饰的一种可能方式。另一种可能的方式是 "litema "传统。

图24.3来自刚果/扎伊尔的恩贡戈人的建筑垫示例

图24.4来自喀麦隆巴米莱克的建筑垫示例

在莱索托和南非邻近地区，索托妇女形成了用图案装饰房屋墙壁的传统。首先用泥浆和粪便的混合物将墙壁整齐地抹上灰浆，并经常用天然染料上色。当最后一层泥浆还未干透时，妇女们就用食指在墙上刻画图案。她们的艺术是季节性的：太阳晒干后会裂开，雨水会冲刷掉。在订婚宴会、婚礼和重要的宗教庆典等特殊场合前，整个村庄都要重新装饰。索托族妇女称他们的几何图案为 litema（单数：tema）。对称是 litema 图案的基本特征。这些图案通常由基本的正方形组成。索托族妇女会先铺设一个方格网，然后在每个方格中再现基本图案（见图 24.5 中的例子）。对称通常是双色对称：方格边上的水平和垂直反射将颜色反转（见图 24.6 中的例子）。

图24.5 索托族的墙饰实例

图24.6 索托族双色对称的墙饰实例。

方圆：篮筐对建筑的建议

底部为方形、开口为圆形的运输和储藏篮子可以这样编织：篮壁上的线要么与方形边垂直，要么与方形边成 45 度角。莫桑比克北部的马孔德篮子编织者使用第二种方法编织likalala篮子。他们首先用 6 + 2（4×4）股或 38 股双向线编织（斜纹编织）一个正方形垫子（图 24.7a）。在正方形边的中点 A、B、C 和 D 处，将突出的三角形 1、2、3 和 4 折叠并交织后，篮子的四角就会翘起（图 24.7b）。

图 24.7 (a) 第一个正方形垫子。(b) 待折叠的三角形。(c) likalala篮子的形状。

对角编织的篮子（如 likalala）具有这样的特性：每个水平交叉点，包括底部的方形和顶部的圆形，都具有相同的周长。倒置的、颠倒的 likalala可能是一种有吸引力的建筑结构形状。底圆汇聚到方形屋顶：虽然所有水平交点都很平滑（所有点都允许切线），但极限曲线--方形--却不平滑。

生活在塞内加尔-几内亚边境地区的巴萨里人编织着一种非常特别的 likalala 篮子。这是一种极端的情况：使用最少的股数，每个方向 2 或 4 股。图 24.8a 展示了这种 2×2 的迷你篮子。他们称这种一上一下的辫子迷你篮子为 epog edepog；它被用作避孕套 。

图24.8（a）epog ede pog迷你篮子的形状。（b）epog ede pog迷你篮子底部。

有时，巴萨里的编织者并不制作边缘，而是以开始时的方式完成小篮子。他们用一个方形顶盖将其封口。闭合的 "篮子 "是扭曲的：顶部的正方形围绕篮子的轴线旋转，与底部的正方形成 90° 角（图 24.9）。篮子的高度是正方形边长的 1.5 倍。封闭的小篮子用来制作叮当项圈，称为 "班博约"。一个项圈由大约 20 个这样的封闭式小 "篮子 "组成。正方形的边长约 2-3 厘米。线穿过底部和顶部方形的中心，小铃铛筐里装着小石头，当舞者在奥曼加雷宴会上戴上项圈时，这些小石头就会响起来。铃篮还可以构成有趣的建筑造型。底层方形平滑地汇聚到中圈，然后回到方形屋顶。所有水平交叉点的周长相同。

图 24.9 小型扭曲封闭式篮子。

我们可以编织一个比 "铃铛 "还小的闭合捻线篮。为了避免绞线受到过大的压力，我们可以用硬纸板做成条状，然后对折几次，使展开后的条状呈现出图 24.10a 所示的折线。只需一条这样的纸条，就能编织出图 24.10b 中的扭曲十面体花篮，它可能会给人带来美丽的建筑外形灵感。图 24.10c 从上方显示了十面体。其所有水平交叉点的周长相同，八个壁面中的每一个都是底面和顶面正方形的四分之一（Gerdes 1998a: Chap. 16）。

图 24.10 (a) 带褶皱的长条。(b) 扭转的十面体篮子。(c) 从上方看十面体。

分形结构：篮筐对建筑的启示

在莫桑比克北部、坦桑尼亚南部、刚果/扎伊尔地区和塞内加尔，人们编织一种金字塔形的篮子--在莫桑比克北部的马库瓦语中称为 eheleo（图 24.11）。在坦桑尼亚和莫桑比克，它被用作制盐的漏斗（Gerdes 1998a: Chap. 10）。eheleo 呈三角金字塔形：它的底部（或漏斗的顶部）是一个等边三角形，其他三个面是等腰直角三角形。图 24.12 展示了一个旋转的 eheleo 金字塔，它是立方体的一部分。eheleo 的形状对于建筑探索来说非常有趣。图 24.13 展示了一个探索 eheleo 直角和非洲艺术中相似性思想的结构组成。每一个新加入的金字塔的高度都与上一个金字塔的高度成固定比例（图 24.13 中的比例为 2/3）。我们可以通过这种层层递进的方式，将金字塔引入其他金字塔内部（例如，使用玻璃或其他透明材料），从而将分形建筑结构形象化。另一种利用 eheleo 金字塔制作分形建筑结构的方法是将大小不同的 eheleo 金字塔连接在等边三角形底座上。图 24.14 展示了构建这种分形结构的前四个阶段（从上往下看）。

图24.11 Eheleo漏斗。

图24.12立方体中的Eheleo-pyamid

图24.13 ehe Leo灵感造型的构成。

图24.14受eheleo启发的另一种分形建筑结构的构成。第一阶段如图所示。

六边形编织：来自建筑编织的建议

在非洲的许多地方以及世界上的其他一些地方，工匠们用规则的六边形孔来编织篮子。这些绳股在三个方向上下编织，形成非常稳定的织物(图24.15)。在肯亚、马达加斯加和莫桑比克，工匠们使用六边形编织技术来制作运输篮和鱼笼。这项技术还被用于其他各种用途:在肯尼亚，用于制作烹饪盘子；在俾格米人(刚果/扎伊尔)和喀麦隆用于编织提篮；在刚果/扎伊尔东北部的梅杰河流域，用来覆盖罐子；在编织帽子的芒贝图中。使用六边形编织技术的篮子制造者也知道，当他们想要编织表面比圆柱表面更弯曲时(换句话说，当他们想要一个有角的篮子时)，如果他们引入一个或多个更小的孔，通常是五边形的，这是可能的(图24.16)。这种想法可以在Buckminister Fuller风格的建筑中进行探索。图24.17显示了一个编织的半球形圆顶结构，顶部有一个中心五角形孔，周围有一层五角形孔。许多其他相关的圆顶结构也可以设想:顶部的五边形孔被一层六边形孔包围；顶部的六边形孔被一层交替的五边形和六边形孔包围；顶部的五边形孔被一层六边形孔和一层五边形孔包围。(Gerdes 1998a: Chap. 13, 1998b: 40–45)。

图24.15 六边形编织技术。

图24.16六边形中的五边形孔

图24.17只有五边形孔的半球形穹顶结构腹板。

参考文献

BOURDIER, Jean-Paul and Trinh MINH-HA. 1985. African Spaces: Designs for Living in Upper Volta. New York: Africana Publishing Company.

CHANGUION, P., T. MATTHEWS and A. CHANGUION. 1989. The African Mural. Cape Town: Struik.

COURTNEY-CLARKE, Margaret. 1986. Ndebele: The Art of an African Tribe. New York: Rizzoli.

———. 1990. African Canvas. New York: Rizzoli.

DENYER, Susan. 1978. African Traditional Architecture. London: Heinemann.

EGLASH, Ron. 1998. African Fractals (in preparation).

GERDES, Paulus. 1990. Ethnogeometrie. Kulturanthropologische Beitrage zur Genese und Didaktik der Geometrie. Bad Salzdetfurth, Germany: Verlag Franzbecker.

———. 1996. Femmes et Ge´ome´trie en Afrique Australe. Paris and Montreal: L’Harmattan.

———. 1998a. Geometrical And Educational Explorations Inspired By African Cultural Activities. Washington DC: MAA.

———. 1998b. Molecular Modeling Of Fullerenes With Hexastrips. Chemical Intelligencer(January 1998): 40–45.

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GUIDONI, Enrico. 1987. Primitive Architecture. New York: Electa/Rizzoli.

OLIVER, Paul (ed.). 1971. Shelter in Africa. London: Barrie and Jenkins.

WENZEL, Marian. 1972. House Decoration in Nubia. Toronto: University of Toronto Press.

Paulus Gerdes, On Some Geometrical and Architectural Ideas from African Art and Craft

青山不改，绿水长流，在下告退。

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