寻找线段转换的桥梁——2024年安徽省中考数学第22题

寻找线段转换的桥梁

2024年安徽省中考数学第22题

在解决几何线段转换的过程中，通常情况下可以通过全等、相似、勾股定理等建立线段之间的数量关系，再利用这些数量关系间的关联寻找它们进一步的关联，从而解决问题。

一般而言，寻找线段等量关系的方法有两个出发点，一是从条件出发顺推，二是从结论出发倒推，也可两个出发点同时推导，直到“中间”遇上，在这个过程中，桥梁作用非常重要，甚至可以说是解题成功的关键，有时它也叫枢纽。某些特殊图形，很多时候承担了这个重要任务，例如等边三角形、等腰三角形、含特殊角的直角三角形等，在解题过程中，遇到此类条件，不妨多从桥梁角度去思考它们的作用，从而使思路更快形成。

题目

如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M、N分别在AD，BC上，且AM=CN，点E、F分别是BD与AN，CM的交点.

(1)求证：OE=OF；

(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF.

(i)如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；

(ii)如图3，若平行四边形ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求AC:BD的值.

解析：

01

(1)在平行四边形ABCD中AD∥BC且AD=BC，利用AM=CN可得AM∥CN且AM=CN，则四边形ANCM也是平行四边形，于是AE∥CF，现在可证明△AOE≌△COF，从而OE=OF，如下图：

当然本小题方法较多，不再一一列举；

02

(2)(i)当HE∥AB时，很容易证明△OEH∽△OAB，所以OH:OA=OE:OB，前面我们已经证明了OE=OF，OB=OD，于是这个比例式可变成OH:OA=OF:OD，再加上公共角，可证明△OHF∽△OAD，如下图：

再证明HF∥AD就极容易了；

(ii)作为本题难点，首先需要捋清条件：菱形ABCD，MD=2AM，∠EHF=60°；其次寻找这些条件间的关联、拓展，如下图：

由第一对相似，△AMH∽△CBH，如下图：

可得AM:CB=AH:CH=1:3，不妨设AH=x，则CH=3x，AC=4x，由菱形对角线互相平分可得OC=2x，于是OH=x，即点H是OA中点；

再由第二对相似，△ADE∽△NBE，如下图：

可得AD:NB=DE:BE=3:2，不妨设BE=2y，则DE=3y，BD=5y根据OE=OF可证BE=DF，于是EF=DE-DF=3y-2y=y；

最后看中间的等边△EFH，得OH:EF=√3:2，于是得到了x与y之间的数量关系，x=√3/2y，而AC=2√3y，BD=5y，最后得到AC:BD=2√3:5.

当然，另一对相似三角形也能达到同样的目的，如下图：

解题反思

本题第一小题入口很宽，只要想到了用全等三角形，基本上都能够写出来；第二小题找准了两对A型相似，问题也不大；第三小题的关键是找到两对X型相似，并充分理解∠EHF=60°带来的等边三角形的作用；

解题突破口如何想到？

菱形本身就带来了两组对边平行，因此在这些平行线间，可以构造全等或相似，题目条件中的MD=2AM，又在暗示本题更多应考虑相似三角形，所以围绕寻找哪一对相似去思考，本题不算难，两对相似三角形最终都汇集到中的等边三角形中，它是事实上的桥梁，建立了菱形两条对角线间的数量关系。

我们在学习相似三角形时，通常会接触一两类基本模型，A型和X型(也有称8字型)，模型名称是为了方便记忆，我们希望留存学生脑子里的不是字母A或X，而是一类图形，各种位置的同一类图形。

人脑如何记忆图形？

人的大脑对图形的记忆并不是与相机一样，将所有细节全部记录下来，而是先进行了“数据压缩”，只记忆关键图形要素，需要回忆图形时，再利用大脑原有储存信息还原图形。

在神经科学顶级期刊Neruon中，有一篇论文(第一作者Yuna Kwak，目前正在纽约大学攻读心理学博士学位)进行了如下研究：

在实验中，他们设置了两种不同的礼堂刺激图像，定向光栅和移动的点。

在每次测试中，参与者们首先会看到一个图像，接着用12秒来回忆所见信息，然后根据记忆判断刚才的光栅倾斜方向或一团点的移动方向。

同时，研究人员用磁共振功能成像（functional magnetic resonance imaging, fMRI），将参与者的大脑活动可视化。

不同视觉信息的记忆格式可能相同

研究者发现，无论是光栅的倾斜角度还是点的移动方向，都会在视觉皮层和顶叶皮层中产生相同的神经活动模式。

视觉皮层是处理视觉信息的大脑皮层，顶叶皮层是大脑中用于处理和储存记忆的部分。

结果显示，大脑视觉皮层能够区分出光栅倾斜和点的移动这两种不同的图像刺激。

与此同时，用一种类型的刺激（如光栅倾斜角度）训练大脑，还可以让其成功解码另一种类型的刺激（如点的移动方向）。

但值得注意的是，这种“共享”仅出现在记忆阶段，在直接观看刺激物的时间段内并未被观察到。

这也就印证了研究人员的一种推测：光栅倾斜和点集移动的图像属性既有不同点也有相同点，但在工作记忆过程中，大脑只会提取与具体任务最为相关的特征，并将两种不同的刺激编码为同一种“存储格式”。

人脑记忆方式类似“写提纲”。

基于以上描述，我们在初中数学教学中，如何利用这一脑科学成果？

A型相似三角形和X型相似三角形，在学生脑海中存储的格式是相同的，数学上这两种相似三角形都是从平行线推导出来的，记忆同样也会回归本源——平行线，因此我们在相似预备定理的教学中，需要引导学生通过不同方式去寻找、构造相似三角形，学生需要理解的是从平行线中抽象出模型的过程，即模型是如何得到的，而不是单纯记忆模型本身，这也是生长数学的基本理念。

所以，由题思教，回归课堂，才是教研的基本方向。