新定义“特征值”——存在性的理解

新定义“特征值”

存在性的理解

初中数学概念里的“存在”一词，几乎遍布整个学段，例如负数可解读成存在一类数，它们都是在正数前面添上负号；一元二次方程，当△>0时，存在两个不同实根；三角形某边(或其延长线)上存在一根垂线段，它的一个端点恰好是该三角形的第三个顶点……

当然，教材上介绍此类概念时，很多并没有用“存在”一词去描述，这并不妨碍我们对这些概念的解读，何况多角度理解概念原本就是概念教学的一部分。

在数学压轴题里，存在性的探究是常见的命题方式，多数情况下出现在动态图形中，包括函数图象或几何图形。

题目

给定圆C和直线l，过圆C上一点P作PH⊥直线l于点H，直线PH与圆C的另一个交点记为Q，将PH·QH称为点P关于直线l的特征值。特别地，当点H与点P或Q重合时，点P关于直线l的特征值为0；当点P和Q重合时，点P关于直线l的特征值为PH².

在平面直角坐标系xOy中，

(1)圆M是以点M(1,3)为圆心，2为半径的圆，

①若点P的坐标是(3,3)，则它关于y轴的特征值是__________；

②点T是圆M上一动点，将点T关于x轴的特征值记为t，则t的取值范围是________________；

(2)已知圆O的半径为2，直线l：y=kx+3(k>0)，若圆O上存在关于直线l的特征值是3的点，直接写出k的取值范围.

解析：

01

(1)新定义中的各几何元素包括圆C、圆C上点P、直线l、垂直PH及圆C上另一个点Q，它们之间的关系可通过作草图来寻找，当我们先画出圆C并在圆C上找一任意点P之后，面临的第一个问题就是直线l在哪，这需要我们联想到直线和圆的位置关系：相离、相切、相交，然后再作直线l的垂线，这样可得到三种不同的图例，如下图：

我们需要明确决定直线l和圆位置关系的两个要素：圆心到直线l的距离和圆的半径，在这三个图例中，随着点P位置不同，弦PQ的长度有一个范围，它最短时P、Q重合，它最长时等于直径，特征值是两条线段的乘积，分别是PH和QH，即弦PQ两个端点到直线l的距离，以上是定义中各元素间的关联。

①本小题中圆M已给定，包括位置和大小，点P给定，y轴给定，作图如下：

则点P关于y轴的特征值PH·QH=3×1=3；

②以前一小题的基础上，圆M上的点T是动点，先作图如下：

点T关于x轴的特征值为t=TB·AB，随点T的运动，这两条线段长度均在变化，本着“动中觅静”的原则，图中圆半径为定长2，圆M到x轴的距离为定长3，对应图中的线段，则AM=TM=2，BC=3，然后我们寻找TB，AB与这些定长线段间的关系，可得TB=TC+BC，AB=BC-AC，其中由垂径定理可得TC=AC，于是TB·AB=(TC+BC)(BC-AC)=(BC+AC)(BC-AC)=BC²-AC²=9-AC²，然后在Rt△ACM中利用勾股定理得AC²=AM²-CM²=4-CM²，再代入特征值TB·AB中，得t=TB·AB=9-(4-CM²)=5+CM²；

现在我们只需要观察在T运动过程中CM的长度变化即可，在圆M中，CM是弦心距，显然它的长度介于0和2之间，弦TA过圆心时，CM=0，当T，A重合时，CM=2，所以0≤CM²≤4，最后我们得到点T关于x轴的特征值TB·AB的范围是5≤t≤9；

借本小题的结论，我们可以从函数角度去理解特征值t，将CM作为变量，则t是CM的二次函数，并且自变量CM≥0，它的增减性是显而易见的，即t随CM的增大而增大；

02

(2)前面解题经验告诉我们，特征值中两条线段分别是点P，Q到直线l的距离，因此这两个点和直线的位置关系才是我们分类的依据，按这个分类依据，分两种情况，P、Q在直线l同侧或异侧，我们分别研究；

第一种情况：P、Q在直线l同侧，如下图：

由于圆心O到直线l的距离OD未知，我们先求OD的长，由直线y=kx+3得交点B坐标为(-3/k,0)，利用勾股定理求得AB，再用面积法求OD的长，推导如下：

此时我们把存在的特征值3代入，用含k的代数式表示OC²=(7k²-2)/(k²+1)，显然这个结果然是个非负数，即7k²-2≥0，在k>0的前提下，解得k≥√14/7；

特别地，当P、Q重合时，特征值为PH²=OD²=9/(k²+1)，可得方程9/(k²+1)=3，即k²+1=3，此时k=√2，因此这种情况下k的取值范围是√14/7≤k≤√2；

第二种情况：PQ在直线l异侧，如下图：

求OD的方法与第一种情况相同，结果也相同，不同之处在于PH和QH的表示结果，PH=PC+CH，QH=QC-CH，于是PH·QH=PC²-CH²，再把PC²=OP²-OC²代入，得PH·QH=OP²-OC²-CH²=OP²-OC²-OD²=4-OC²-9/(k²+1)，我们仍然把存在的特征值3代入，用含k的代数式表示OC²=(k²-8)/(k²+1)，显然这个结果也必须是非负数，k²-8≥0，在k>0的前提下解得k≥2√2；

由于P、Q分别位于直线l异侧，因此P、Q重合时这两点都在直线l上，此时OD=0，不符合；

综上所述，k的取值范围是√14/7≤k≤√2，k≥2√2.

解题思考

本题实质上仍然是对距离概念的深入理解，借存在性探究，理解特征值中两条线段的关联，学生面对此类问题首先觉得困难的地方是这两条线段都看作变量或元，则变化的量较多，不容易看出乘积如何取值，这里用到的其实是消元思想，将这两个变化的量间的关系找到，它们都与弦心距有关，所以最后我们用含k的代数式表示OC，而此时的存在性则是指让OC这条线段存在，利用线段长是非负数这个基本事实来判断。

我们在分析定义中各元素间的关系时，原本直线和圆的位置关系有三种，但为什么我们在讨论k值范围时，却只分两类？这取决于我们研究的对象并不是直线和圆，而是点P、Q到直线l的距离。正由于两点在直线同侧或异侧时，求得距离的结果不同，所以才会分两种情况讨论。

在给学生讲这道题的时候，重点在于分析新定义究竟说了些什么，帮助学生理解这些定义中的元素是如何关联起来的，动中取静原则我们并不陌生，在学生理解新定义的过程中，需要联想到这个原则，一般而言，多动点、多变量终归需要化为单动点、单变量，这体现的正是我们在解二元一次方程组时的消元思想，化繁为简，化动为静。