镜动光随——跨学科数学压轴题解密

镜动光随——跨学科数学压轴题解密

记得读书时，特别喜欢阳光明媚的日子，再加上一小块可反射阳光的镜子，控制那一小块光斑在教室内游走，直到被老师发现……并罚站。

以上是一段回忆材料，对于现在的学生，体验感可拉满，毕竟没玩过这个游戏的很少了，现在我们尝试用数学的眼光来看这项操作——操作镜面从而控制反射光线。

涉及到的物理知识，光的反射定律，需要研究的数学问题，随着镜面角度的转变，反射光线会如何偏转？然后在此基础上简化，镜面用直线表示，光线用射线表示，限定若干操作以符合数学情景，便有了这么一道七年级数学跨学科应用压轴题。

题目

解析：

01

(1)其实这个小题最根本的是考作图，而不是判断关系，认真对待本小题作图的学生，同时确实理解了光的反射原理的学生，后面的会异常轻松，作图如下：

图中两条法线是一组平行线，借助它们，很容易证明CD∥AB，不再赘述；

02

(2)镜面旋转过程中，光线AB始终不变，但是它的反射光线BC会随镜面旋转而变化，第二次反射光线CD便存在两种可能，在法线CF左侧或在法线CF右侧.

当CD在法线CF左侧时，在图2中作图如下：

由a∥b可得∠ABG=∠BAC=40°，于是∠ABM=n+40°，根据法线定义可求出∠ABE=90°-(n+40°)=50°-n，由光的反射定律得∠CBE=50°-n，所以∠CBD=n+40°，而∠DBF=∠GBM=n，可求得∠CBF=2n+40°，则它的内错角∠BCE=2n+40°，最后得到∠BCF=90°-(2n+40°)=50°-2n，因此∠BCD=2∠BCF=100°-4n；

当CD在法线CF右侧时，在备用图中作图如下：

按前一种情况的思路，先求出∠ABD=n+40°，所以∠CBM=n+40°，可得∠CBG=2n+40°，再表示出∠BCF=2n+40°-90°=2n-50°，最后求得∠BCD=4n-100°；

综上，∠BCD=100°-4n或4n-100°.

03

(3)需要说明的是，题目中并没有给出AB与直线a的夹角大小，然而反射光线CD又的确与它有关，可能会出现反射点C位于点A左侧或右侧，看结论是否依然成立.

当反射点C在点A左侧时，探究作图如下：

不妨令∠BCA=x，则∠ABF=x，∠ABM=n+x，得∠CBN=n+x，可求出∠CBG=2n+x，于是∠BCN=180°-2n-x，而∠BCN=∠ACH，所以在Rt△ACH中，∠ACH+∠BAC=90°，列等式为180°-2n-x+x=90°，求出n=45；

当反射点C在点A右侧时，继续探究作图如下：

和前面的探究类似，仍然令∠BCA=x，则∠CBF=x，∠CBM=

n+x，得∠CBE=90°-n-x，所以∠CBA=180°-2n-2x，又∠ACQ=x，于是∠BCQ=2x，在Rt△BCQ中，∠CBQ+∠BCQ=90°，列等式为180°-2n-2x+2x=90°，求出n=45；

即无论反射点C位于点A左侧或右侧，当CD⊥AB时，n=45°.

解题思考

跨学科是目前非常热门的教育现象，和新课标、新教材中的数学综合与实践关系紧密，伴随的还有项目式学习等，这意味着我们的教学需要走出按知识点、章节体系的模式，从而帮助学生利用数学知识在真实情境中去应用，毕竟我们的学生在未来面对的不会是一道道的习题，而是一个个的问题，他们需要用数学的眼光去看待这些实际问题，用数学思维去思考这些问题，再用数学语言去描述、表达.

真实情境中的问题并不会分学科，基本上都是跨学科，但我们无论跨什么学科，有一只脚必须站稳数学阵地，即在数学跨其它学科的状态下，本质上仍然是数学.

本题的跨学科背景是物理，但它并非是一道物理光学试题，本质上仍然是数学的几何综合题，光的反射定律中，入射光线与反射光线，用数学语言解读，它们是关于法线的轴对称图形，所以在每一次作图中，法线极其重要.

解题的另一个关键技能是作图，在七年级学习中，几何图形往往都比较简单，有学生甚至老师会觉得想像下就可以了，除开极个别天才型选手，多数学生仍然需要通过作图去建立基本的几何模型，脑中的几何图象，正是通过一次次规范作图才会形成，我们虽然赞赏“无图胜有图”，但无图的前提，是规范作图，毕竟一个班，多数学生并不是天才.

特别是最后一问，虽然n=45°与光线AB和直线a的夹角无关，但夹角不同，作图不同，需要探究的过程也不同，命题时是为了学生答题方便，所以只要求写出结论，但如果是在班上评讲，则仍然要详细说明为什么要分类讨论.