遵从定义挖掘隐圆——几何思路怎么来？

遵从定义挖掘隐圆——几何思路怎么来？

俗话说几何几何，想破脑壳，辅助线不到位，思路完全没着落，于是老师帮学生归纳出大量解题模型，甚至于到了“看到某某就作某线”的口诀地步，当然对于常规题目，这些东西比较有效，瞎猫总会碰到几只死老鼠，但这种学习方式魔怔化之后，却是危害无穷。

所以作为数学老师，课堂上的重要任务不是告知学生辅助线要这样画，而是帮助学生想到辅助线怎么画，学生脑子里应该有大量的数学概念，课堂上老师引导学生用这些概念去匹配数学题目中的条件，解读几何图形，下面以2025年海淀区一模第27题为例说明几何思路究竟如何想到.

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α(0° <α<45°)，ad⊥bc于d，将射线ba绕点b顺时针旋转45°得到射线bm，过点c作bm的垂线交bm于点e，交射线ba于点f，连接ed.< pan>

(1)依题意补全图形，并求∠EDC的大小；(用含α的式子表示)

(2)在DC上取点G，使DG=AD，连接EG，用等式表示线段EG，AF与CF的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)补全图形，如下图：

由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD⊥BC说明AD同时也是BC边上中线，即点D为BC中点，EF⊥BE可知△BCE是直角三角形，其中BC是其斜边，则DE是其斜边上的中线，因此DE=DB，∠DBE=∠DEB=45°-α，最后利用三角形外角定理，得∠EDC=2(45°-α)=90°-2α；

02

(2)按要求作图如下：

首先观察这三条线段的位置，AF与CF夹角为45°，EG相对“孤立”，从长度上观察它们，AF最长，CF其次，EG最短，因此大胆猜想最长线段应该是两条较短线段之和，基于这个猜想(不一定正确)去寻找突破口；

通常情况下，我们将最短线段“放”到最长线段上，使其一个端点重合，再比较剩下线段之间的关系，所以采用何种方式将线段EG“放”到线段AF上是关键，再结合图中已有条件∠ABE=45°，EF⊥BE，可知△BEF是等腰直角三角形，∠F=45°，利用这个特殊角，我们不妨作CH⊥AF，垂足为H，如下图：

为方便叙述，我们将所有直角都标注出来，观察图中Rt△BCH，点D同样是斜边上中点，所以连接DH，得Dh是斜边上中线，可知DH=BD=CD，再加上前面推导出了BD=ED，于是我们很惊喜地发现B、E、C、H到点D的距离相同，这令人想起圆的概念，其实可以作出这个圆，如下图：

此时我们再来观察∠ABC，在圆D中，它是圆周角，所对弧是劣弧CH，同样它还对着一个圆心角∠CDH，因此∠CDH=2α，求得∠ADH=90°-2α，和前一小题的结论∠EDC=90°-2α一样，所以∠ADH=∠EDC，条件中还有AD=GD，这极易联想到全等三角形，如下图：

在△ADH和△GDE中，AD=GD，∠ADH=∠GDE，DH=DE，于是△ADH≌△GDE，得HA=EG，我们成功将线段EG“放”到了AF上，接下来就是观察剩余的线段HF和线段CF间的关系了，显然△FCH是等腰直角三角形，因此CF=√2HF，最后我们得到AF=HA+HF=EG+√2CF.

解题思考

在学生解题过程中，我留意观察到几种尝试，其中也包括上面的辅助线作法，但始终得不到全等三角形的三个条件，在推导无果之后，又开始用别的套路来碰死老鼠……
其实这道题并不算难，典型的手拉手模型，但正如我们教学生手拉手模型一样，这个模型是学生归纳出来的，还是老师一上课就告诉学生“今天我们学习手拉手模型”，并给出若干图例让学生在题目中找，实质上这个过程就和碰死老鼠无异.

解题模型的归纳，是要学生自已归纳出来，每个学生记忆模型的方式是不一样的，正如它的名称一样，你叫它脚拉脚模型未尝不可，随便你怎么叫，只要基本图形在脑子里成型就好.(其实规范点，应该叫旋转全等三角形)

从前面的分析过程中可以发现，隐圆是关键条件，它有效关联了两个共斜边的直角三角形，并且利用了第一小题的结论，凑齐了全等的三个条件，如果仅仅是套路，那可能会截取AH=EG，然后就陷入无法凑齐全等条件的困境中，也有学生过点C作了垂线，依然没能找齐全等条件，是没有发现隐圆，虽然通过导角也能得到结论，但耗时太多，这样的解题过程，在我看来尽管做对了，但未达到题目的考查目的，属于“虽胜犹败”，这和我们刷题战术下，只要解对就行，是完全不一样的教学思路.

只有最优解，才是需要积累的宝贵经验.