新定义“双等四边形”——2025年深圳中考数学第20题

新定义“双等四边形”

2025年深圳中考数学第20题

数学中的概念来源于生活，我们从小学开始就学习了诸如长方形、三角形、圆形等几何概念，描述一个几何图形，需要准确的语言，形象的字词，这也是我们数学概念简洁清晰的基础。

在小学我们学习长方形时，对于这个学段的孩子们，采取的方式是操作活动，如下图：

北师大版小学数学三年级上册第55页，通过折一折，量一量直观感知，并没有给出严格定义。到了人教版八年级下册第52页，才给出较为正式的定义，如下图：

即我们的数学概念学习过程，是经历了小学阶段的直观，到初中阶段的规范，用几何语言描述几何图形，因此，读懂新定义对于几何元素间的图形逻辑是解题关键。

题目

综合与探索

【探索发现】

如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角形拼接成一个四边形。

【抽象定义】

以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”。如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC，此时四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”。

【问题解决】

如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC,求①AD与BC的位置关系为_____________；②AC²_______AD·BC（填">"，"<"或"="）。

【方法应用】

①如图4，在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形。

②如图5，在等腰△ABC中，AC=BC，cosB=3/5，AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长；若不存在，请说明理由.

解析：

01

(1)我们先来理解“双等四边形”概念，在向外作新的等腰三角形时，原三角形的腰，有两种情况，“腰是腰”或“腰是底”，而原三角形的顶角，也有两种情况，“顶(角)是顶(角)”或“顶(角)是底(角)”，如下图：

因此，根据图形中等腰三角形不同形状，得到的双等四边形也不相同，再来看两个小题：

①图3中这两个等腰三角形顶角相等，则由三角形内角和可知，它们的底角也相等，故∠DAC=∠ACB，它们是一对内错角，所以AD∥BC；

②图3中的△ABC∽△DAC，于是AC:DC=BC:AC，即AC²=DC·BC，而AD=DC，所以AC²=AD·BC；

02

(2)①由旋转可知AB=AD，即△ABD为等腰三角形，而△ADE也是等腰三角形，且它是由等腰△ABC旋转而来，它的底角为∠B，与△ABD底角相同，则它们的顶角也相同，符合双等四边形定义；

②我们既然知道了∠B的余弦值，且AB=5，可解这个三角形，求出所有边，如下图：

作CG⊥AB，由三线合一，得BG=5/2，由cosB=3/5，可求BC=25/6=AC；

第一种情况，以腰AC为底，向外作等腰△ACD，且顶角∠ADC=∠ACB，如下图：

它属于“腰是底”且"顶是顶"类型，取AC中点E，连接DE，由于这两个等腰三角形顶角相同，则它们的底角也相同，由三线合一可知DE⊥AC，于是在Rt△CDE中，cos∠DCE=cosB=3/5，而CE=1/2AC=25/12，所以求出CD=125/36；

第二种情况：以腰AC为腰，向外作等腰△ACD，AC=AD且底角∠ADC=∠ACB，如下图：

它属于“腰是腰”且“顶是底”类型，取CD中点E，连接AE，于是 AE⊥CD，再过点A作AF⊥BC，先在Rt△ABF中，求出AF=4，BF=3，由于AC=BC=25/6，则CF=7/6，而又由题意得∠ADC=∠ACD=∠ACB，说明AC是∠BCD的角平分线，根据角平分线上的点到这个角两边距离相等，可得AF=AE，因此可证明CF=CE=7/6，最后求得CD=2CE=7/3；

第三种情况：以AC为腰，向外作等腰△ACD，AC=CD且底角∠ADC=∠ACB，如下图：

它属于“腰是腰”且“顶是底”类型，其实它和第二种情况很像，可以看作是将第二种情况中的△ACD关于AC的垂直平分线进行一次轴对称变换得到，我们借助前面探究出的结果，可得CD=AC=25/6.

综上，CD的长可能是125/36，7/3，25/6.

解题思考

本题对于学生而言，难点是构图，双等四边形是由两个等腰三角形构成，以原等腰三角形一腰为边向外作新等腰三角形，这条边既可作为新等腰三角形的腰，也可作为它的底，而且该边所对的角要等于原等腰三角形的顶角，这个既可以是新等腰三角形的底角，也可以是它的顶角，因此总共有四种可能，但这条边一旦成为新等腰三角形的底，则它所对的角只能是新等腰三角形的顶角，不可能是底角，因此只剩下三种，如下图：

只有明确图形的结构，作出图形，才有可能正确解答。

分类思想是数学中的重要思想方法，其原则是不重复、不遗漏，分类依据来源于对分类对象的理解，例如三角形分类，按边分和按角分均可，对于等腰三角形来讲，它最大的不确定性来自于腰和底不等，因此哪条边为腰哪条边为底，需要分类，即使确定了腰和底，顶角和底角也并未随之确定，还需要细分，在这个过程中，学生可通过尝试作图，验证分类结果是否符合题目条件，这也是数学学习中的探究、猜想、验证过程，这都需要我们在平时的课堂教学中带领学生经历，落实了课堂上的活动环节，让学生真正通过数学活动积累数学经验，核心素养才能得到进一步提升。