【解题研究】寻找失落的线——构全等、中位线

【解题研究】寻找失落的线——构全等、中位线

俗话说“几何几何，想破脑壳”，到八年级学生开始学习四边形这一章时，各种添加辅助线的方法如过江之鲫，每一种都有其特定的使用背景及方式，而在几何综合题中，成功找到那些有用的辅助线，是解题关键。

在几何综合压轴题中，补全图形是对学生作图能力、几何直观的一次考验，很多时候，补完图形之后，才能发现图形间的关联，进而由这些关联出发，寻找合理的解决方案。

题目

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=α，点D在射线CB上，将射线DC绕点D逆时针旋转180°-2α，所得射线交直线AC于点E，点F为EC的中点，连接BF.

(1)如图1，若BC=BD，求证：CD=2BF；

(2)如图2，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AG，连接DG.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段BF与DG的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)题目条件中“∠C=α，将射线DC绕点D逆时针旋转180°-2α”意味着△CDE是一个等腰三角形，读懂它之后，我们连接DF就顺理成章了，

方法一：如下图

对于等腰△CDE，由“三线合一”推导出DF是其底边上的高，可证Rt△CDF，而BC=BD则说明BF是Rt△CDF斜边上的中线，所以CD=2BF；

方法二：

仍然以上图为例，此时在△CDE中，BF是它的中位线，因此有DE=2BF，而CD=DE，于是CD=2BF；

02

(2)①按要求作图如下：

②很显然，图中存在两个等腰三角形，并且底角相等，分别是△CDE和△ADG，在探究BF与DG的数量关系的时候，通常的思路是利用等量转换，将这两线段放到一个合适的情景中，这个情景可能是全等三角形，也可能是直角三角形，也可能是等腰三角形，或者构造中位线，以上情景中，我们可以证明两条线段相等、两倍、一半等较为简单的数量关系。

基于这个探究思路，利用好图中相等的边、角，寻找合适的转换方式。

在前一小题中，由特殊位置关系的点B得到特殊结论，不妨还原这个特殊位置，如下图：

在CB延长线上截取BH=BC，连接AH、CG、EH，借助前面的探索过程，我们知道了等腰△ACH与等腰△ADG均为底角相同的特殊三角形（相似），因此图中的△ADH与△AGC能被证明全等，这属于手拉手模型；

接下来观察△EDH与△DCG，第一次全等已经得到了DH=CG，题目条件中给出了DE=DC，所以只要能证明∠EDH=∠DCG即可；

顺这条线索，我们发现∠EDH=180°-2α，再看∠DCG=∠ACG-∠ACB=∠AHD-∠ACB=180°-α-α=180°-2α，至此我们凑齐了全等的第三个条件∠EDH=∠DCG，得到△EDH≌△DCG，于是EH=DG；

由于点B是CH中点，点F是EC中点，由中位线性质可得EH=2BF，所以DG=2BF.

解题思考

在研读张鹤老师公众号《从一般到特殊》系列文章后，对于本题，我们也可以尝试用类似的眼光来教学生寻找思路。

这道题的“特殊”是它的第1小题，和第2小题相比，特殊之处在于多了条件BD=CD，如果我们尝试在第1小题的图上按要求作图，则会得到下图：

其中C、G两点重合，此时可根据前面的结论，DG(C)=2BF，当我们从这种特殊情况变成一般情况之后，则得到下图：

观察这两个图形，变化过程中，是否存在一些不变的条件？

学生能发现①△CDE、△ADG依然是底角为α的等腰三角形；②点F依然是CE中点；

继续观察线段BF和线段DG，相对而言，它们都似乎比原来“变长”了，这是几何直观结果，二者长度都增加，那原来的2倍关系是否变改变呢？这需要一个参照，这个参照最好就是原来的图形，所以我们尝试将第1小题的图在第2小题中“重现”，如下图：

重新构造了△ACH，地位相当于第1题图中的△ACD，当它被构造出来之后，连接EH，显然BF成为了△CEH的中位线；我们很容易发现其中的一对全等三角形△ADH与△AGC，借助这一对全等三角形，又可以发现第二对全等三角形，如下图：

而这一对全等三角形，就能完成等量转换，将DG转换到EH，至此思路基本畅通，回到了第1小题中的中位线场景.

一个有趣的结果，第1小题使用“斜边上中线”的学生，第2小题思考时间会比较长，甚至想不出来，他们尝试过取DG中点，试图重现直角三角形斜边上的中线，但无一例外失败了；这也说明我们在选择方法的时候，虽然存在多种途径，但并非每种途径都是最优，可能某种方法解决前面问题简单，但无法迁移到后面的问题中，而能够顺利解决本题的通法，才是学生最需要的。