【解题研究】这题好多解——2026年成都中考数学第22题

【解题研究】这题好多解——2026年成都中考数学第22题

一般而言，多解的题目，命题者相当地厚道，只要是认真思考了的学生，都愿意给条出路，当然题目设置成多入口，难度不是一般地高。

相似三角形是九年级的重要内容，构造相似三角形的方法非常多，例如作平行、作垂线、一线三等角……基本相似型不再重复，教材上都有，然而这些基本相似型是如何得到的，学生是怎样掌握这些基本图形的，这道22题一试便知。

题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的一条中线，E为AC上一点，∠ADE=∠B，若AE=5，CE=2，则AB=__________

解析

中线条件可得CD=BD，它可以用于等量转换，不妨设CD=BD=x；

∠ADE=∠B可用于构造全等或相似三角形；

给出的AE和CE的长是用于计算或列方程，最终目的是得到线段AB的长。

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方法一：

由∠ADE=∠B想到的相似三角形构造方法，可作垂线，过点E作EF⊥AD于点F，如下图：

这条垂线作出来之后，可得两对相似三角形，分别是△AEF∽△ADC，△DEF∽△BAC，它们的对应边涵盖了已知条件和AB边，但……有点乱；

我们整理一下，所有未知对应边中，只有EF即出现在第一对相似中，也出现在第二对相似中，像这种两对相似均存在同一条线段的情况，它一般就是桥梁；

请注意这两个比例式中，除了含BA的比例暂时用不上之外，其余比例中的AD、AF、DF三者间存在如下关系：AD=AF+DF，这就为我们列方程提供了条件；

由前一个比例式得AF=35/AD，EF=5x/AD，由后一个比例式得DF=2xEF/7=10x²/7AD；

所以得到AD=35/AD+10x²/7AD，两边同乘AD得：

35+10x²/7=AD²，其中AD²=49+x²

得到方程35+10x²/7=49+x²，求出x²=98/3；

最后由勾股定理求出AB=7√33/3；

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方法二：

除了过点E作垂线之外，过点A也可作垂线，如下图：

我们同样可得两对相似三角形：△AEF∽△DEC，△ADF∽△ABC，按前面的思路整理比例线段；

由前一个比例式得AF=5x/DE，EF=10/DE，由后一个比例式得DF=2x·AF/7，将AF=5x/DE代入得DF=10x²/7DE；

由DF=DE+EF列方程为DE+10/DE=10x²/7DE，两边同乘DE得：

DE²+10=10x²/7，其中DE²=4+x²，得到方程

4+x²+10=10x²/7，求出x²=98/3；

最后由勾股定理求出AB=7√33/3；

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方法三：

构造相似三角形还有一类方法就是利用平行线，这里的中点可用于构造中位线，如下图：

过点B作BF∥DE，交AD于点G，此时可证DE是△BCF中位线，即CE=EF=2，则AF=3，由平行线分线段成比例可得AG:GD=3:2，不妨设AG=3a，GD=2a，观察△DBG和△DAB，典型的共边共角相似(子母型)，由△DBG∽△DAB得BD²=DG·AD，即BD²=10a²，同时得到CD²=10a²=98/3；

最后在Rt△ABC中，求出AB=7√33/3；

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方法四：

我们也可以过点E作AD的平行线，如下图：

由EF∥AD，可证CF:DF=2:5，EF:AD=2:7，不妨设CF=2a，DF=5a，则CD=BD=7a，图中∠EFD=∠ADB，∠FED=∠ADE=∠B，于是△DEF∽△ABD，得比例式DF:AD=EF:BD，5a:AD=EF:7a，其中AD=7/2EF，代入这个比例式，得7EF²/2=35a²，所以EF²=10a²；

最后回到Rt△CEF中，由勾股定理列方程4+4a²=10a²，解得a²=2/3，所以CD²=49a²=98/3，再在Rt△ABC中求出AB=7√33/3；

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方法五：

也可以过点A作DE的平行线，如下图：

过点A作AF∥DE，交CB延长线于点F，由平行可知CE:AE=CD:DF=2:5，其中CD=BD，不妨设CD=2a，DF=5a，则BD=2a；

观察△ABD和△FAD，∠ADE=∠DAF=∠ABD，再加上公共角，这又是一对共边共角型相似，△ABD∽△FAD，得AD²=BD·DF=10a²，在Rt△ACD中，由勾股定理列方程49+4a²=10a²，解得a²=49/6，而CD²=4a²=98/3，在Rt△ABC中求得AB=7√33/3；

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方法六：

过点E作BC的平行线，如下图：

由平行线可得AE:EC=AF:DF=5:2，不妨设AF=5a，DF=2a，可证EF=5/7CD，FG=5/7BD，而CD=BD，所以EF=FG，图中∠ADE=∠B=∠AGF，再加上对顶角，可证△DEF∽△GAF，得DF:GF=EF:AF，所以EF·FG=10a²，即EF²=10a²，在Rt△AEF中，由勾股定理得25+10a²=25a²，解得a²=5/3，而CD=7EF/5，所以CD²=49EF²/25=98/3，最后在Rt△ABC中求出AB=7√33/3；

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方法七：

当我们看到一条直线上有两个相等角的顶点时，可以联想到一线三等角，在这条直线上再构造一个角，使其等于∠B，如下图：

设CD=BD=x，我们可以找到两对相似三角形，分别是△CEF∽△CAB，△DEF∽△ADB，由第一对相似可得CE:CA=CF:CB=EF:AB，即2:7=CF:2x=EF:AB，于是EF=2/7AB，CF=4x/7，可得DF=11x/7；

由第二对相似可得DF:AB=EF:DB，即EF·AB=DF·DB=11x²/7，将EF=2/7AB代入得AB²=11x²/2，回到Rt△ABC中，由勾股定理得49+4x²=11x²/2，解得x²=98/3，最后求出AB=7√33/3；

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方法八：

类似方法六，只不过过点E作AB的平行线，如下图：

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方法九：

类似方法四，过点C向外作AD的平行线，如下图：

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方法十：

其实就是方法八，多了一个外接圆，如下图：

还有更多解法，但在我看来，基本属于前面这些方法的变种，想到了前面的方法，后面自然也能想到，不再重复。

解题思考

本题解法网上已经有多达26种，不过细看之下，很多是思路相同，有凑数之嫌，甚至还有用三角函数公式以及一些初中教材上没有的二级结论的，不再列举，以免误导。

寻找相似三角形或者构造相似三角形，是本题的关键，至于如何构造，方法全在教材中，也就是我们经常在复习课中看到的那一大堆基本相似型，但这道题对学生来讲仍然有一定难度，比例线段较多，需要在两次相似中寻找中间桥梁，从而列出方程。

在解题过程中，本题照顾了多数学生的基础水平，无论是作垂线、平行线、一线三直角、作圆等，学生可能想到的路，最终都可以走下去，作为一道填空题，确实煞费苦心。

所以，回到课堂教学中来，构造相似也好，全等也罢，这种结构不良图形如何让学生准确找到辅助线，需要把条件读透，当我们在课堂上教学生解题的时候，分析条件极为重要，放手让学生去想，想到哪里都可以，再慢慢引导学生将自已的思路完善，总会找到正确的路，万一学生在这个过程中失败了也不要紧，哪里想差了，课堂上就帮助他们总结经验，这在今后的学习中，都是宝贵的财富。