湖北
【解题研究】用好轴对称——2026年北京中考数学第27题
轴对称这个概念小学的时候学生就知道，直观上可以辨认出两个图形是否是轴对称关系，到了初中阶段，学完全等之后，更进一步在几何体系内重新认识轴对称，并作为特殊的全等。我们理解轴对称的关键，是找准对称轴，看清对称点。
对于学生来讲，用好轴对称的难点是如何想到，在阅读题目条件的过程中，通过哪条线索，将思路引到轴对称。
题目
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0° <α<60°)。过ac的中点d作ac的垂线l，交ab于点e，点m在de的延长线上，∠abm=30°.< pan>
(1)如图1，α=30°，求证：AB=2DM；
(2)如图2，点N在ED的延长线上，∠ABN=30°，连接AM，AN，直接写出∠MAN的大小，并证明.
解析：
01
(1)当α=30°时，我们可得∠A=∠ABM=30°，所以BM∥AC，可知∠BME=∠ADE=90°，这样就得到了两个含30°角的直角三角形，Rt△BME和Rt△ADE，则BE=2ME，AE=2DE，相加之后即可得到AB=2DM；
02
(2)注意本小题中的两个30°角，所以BA是∠MBN的角平分线，并且∠MBN=60°；
方法一：考虑过点A向BM，BN的延长线作垂线，如下图：
由角平分线定理可知AF=AG，并且Rt△ABF和Rt△ABG均为含30°角的特殊直角三角形，所以AF=AG=1/2AB，而AD=1/2AC，再加上AB=AC，我们得到了AD=AF=AG；
∠ADN=∠G=90°，可用HL证明△ADN≌△AGN，得∠DAN=∠GAN=1/2∠DAG，同理可证△AMF≌△AMD，再得∠MAD=∠MAF=1/2∠FAD；
∠MAN=∠MAD+∠DAN=1/2(∠FAD+∠DAG)=1/2∠FAG；
观察∠FAG，它由∠FAB和∠GAB组成，这两个角恰好是60°，所以∠MAN=60°.
方法二：作点M关于AB的对称点F，连接AF，过点A作AG⊥BN，交BN延长线于点G，如下图：
由角平分线定义可知，点F一定在BN上，Rt△ABG是含30°角的特殊直角三角形，所以AG=1/2AB，而AD=1/2AC，由AB=AC可知AD=AG，由轴对称可知AM=AF，所以可用HL证明Rt△AMD≌Rt△AFG，得∠MAD=∠FAG，把中间公共部分减掉，得∠MAF=∠DAG；
我们同样可证明∠DAN=∠GAN，∠BAM=∠BAF，所以这四个角均相等，利用这个等量关系，我们来看∠MAN=∠BAM+∠EAN=∠GAN+∠EAN=∠EAG=60°.
解题思考
很多学生解完这道题之后觉得并不算太难，甚至也有少数学生猜测最后的结果也是对的，当然知其然不知其所以然，我们并不推荐，至少要能说清楚思路。
从已经解完题的角度来看，有点类似于半角模型，但仍然会有学生拿到题目之后，想不到角平分线的作用，要知道角平分线的概念也是小学就学过，初中在学习角的时候接触过，轴对称的时候进一步证明过它的相关定理，这两种方法无论哪一种，都用到了角平分线的轴对称性，事实上这道题八年级学生也能做，条件中的α，在最后一问中几乎没起到作用，颇有点意外。
在引导学生思索的过程中，30°角的条件是关键，它除了帮我们找到角平分线之外，还构造出了60°角，并且顶点和∠MAN相同，即“搬”了一个已知角到未知角位置，符合一般的证题思路，然后在寻找∠MAN和这个60°角之间的关系时，很比较容易想到轴对称或全等了。
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