优思学院：Minitab过程能力分析-Cpk Ppk的计算（下）

上一篇文章介绍了Ppk的计算方法。这一次，我们将使用Minitab中的同一组示例数据，逐步计算Cpk。

一、计算子组内标准差

Ppk使用整体标准差，而Cpk使用子组内标准差。

只要取得子组内标准差的估计值，计算Cpk便很简单。Minitab默认使用合并标准差（Pooled Standard Deviation）估计子组内标准差。

根据Minitab「方法和公式」中的说明，合并标准差Sp的计算公式为：

Sp＝√［ΣΣ（每个测量值－对应子组平均值）²÷Σ（子组大小－1）］

也可以把它拆分为：

分子＝ΣΣ（每个测量值－对应子组平均值）²

分母＝Σ（子组大小－1）

Sp＝√（分子÷分母）

这个公式看起来有点复杂，但只要逐步计算，实际上并不困难。

二、建立子组编号

我们先计算Sp。

在这个例子中，每个子组固定包含5个数据。首先建立一个只保留直径数据的工作表，并把直径数据放在C1列。

接下来，需要计算每个子组的平均值，并将这些平均值存储在工作表中。

在计算子组平均值之前，先建立一列用来定义子组编号。可以在Minitab中选择：

计算 > 生成模式化数据 > 简单数集

按照示例设置对话框，让每个子组编号重复出现5次。

本例一共有100个数据点，每个子组包含5个数据，因此共有：

子组数量＝100÷5＝20

也就是说，工作表中共有20个子组。

三、计算每个子组的平均值

建立子组编号列后，便可以使用这一列计算每个子组的平均值。

在Minitab中选择：

统计 > 基本统计量 > 存储描述性统计量

在「变量」中输入直径数据列，在「分组变量」中输入子组编号列。

接着单击「选项」，选择：

为输入数据的每一行存储一行输出结果

同时取消选择：

存储分组变量的不同值

在各个对话框中单击「确定」。

完成后，C3列会显示每个子组的平均值。

例如，C1列前5行的数据用于计算第一个子组的平均值，而这个平均值会重复显示在C3列的前5行。接下来的5行则显示第二个子组的平均值，如此类推。

四、计算Sp的分子

现在，可以利用每个测量值和对应的子组平均值计算Sp的分子。

在Minitab中选择：

计算 > 计算器

输入以下计算逻辑：

分子＝Σ（直径测量值－对应子组平均值）²

换句话说，我们需要完成以下计算：

1. 用每一个测量值减去其所属子组的平均值；
2. 将差值平方；
3. 把所有平方差加起来。

根据上述公式计算后，Minitab工作表中的分子结果为：

分子＝0.02735

五、计算Sp的分母

接着计算Sp的分母。

分母的计算方法是：将每个子组的「子组大小减1」加起来。

公式为：

分母＝Σ（子组大小－1）

本例的子组大小固定为5，一共有20个子组，因此：

分母＝20×（5－1）

分母＝20×4

分母＝80

六、计算合并标准差Sp

将分子和分母存储在工作表后，便可以计算Sp：

Sp＝√（分子÷分母）

代入本例数据：

Sp＝√（0.02735÷80）

Sp＝0.0184899

如果在「正态过程能力分析」对话框中单击「估计」，并取消选择「使用无偏常数」，Minitab得到的子组内标准差估计值就是：

Sp＝0.0184899

七、使用无偏常数C4进行修正

Minitab默认会使用无偏常数C4修正合并标准差。

要完成默认设置下的子组内标准差计算，可以查阅Minitab「方法和公式」中「方法」部分链接的C4无偏常数表。

需要查找的是对应于（d＋1）的C4值。

根据Minitab对d的定义：

d＝Σ（子组大小－1）

本例每个子组固定包含5个数据，共有20个子组，因此：

d＝20×（5－1）

d＝80

接着计算：

d＋1＝80＋1＝81

因此，需要在C4无偏常数表中查找N＝81对应的数值。

查表得到：

C4＝0.996880

把0.996880输入工作表的C7列，再使用Minitab计算器计算经过C4修正的合并子组内标准差。

计算公式为：

子组内标准差＝Sp÷C4

代入数值：

子组内标准差＝0.0184899÷0.996880

子组内标准差≈0.0185477

可以看到，这个结果与最初的Minitab过程能力分析图所显示的子组内标准差一致。

八、计算CPU和CPL

取得子组内标准差后，便可以计算CPU和CPL。

CPU用来衡量过程平均值与规格上限之间的过程能力，计算公式为：

CPU＝（USL－平均值）÷（3×子组内标准差）

CPL用来衡量过程平均值与规格下限之间的过程能力，计算公式为：

CPL＝（平均值－LSL）÷（3×子组内标准差）

Cpk取CPU与CPL中的较小值：

Cpk＝CPU与CPL中的较小值

也可以写成：

Cpk＝min（CPU，CPL）

其中，min表示取两个数值中较小的一个。

使用前面计算得到的数据平均值和子组内标准差，在Minitab计算器中分别计算CPU与CPL。

由于Cpk取两个结果中较小的一个，因此：

Cpk＝0.83

这个结果与Minitab过程能力分析输出中显示的Cpk一致。

九、Cpk与Ppk的计算差异

只要使用Minitab，我们便不需要手动计算Ppk和Cpk。不过，了解Minitab使用的计算方法，有助于我们认识这两个过程能力指数的差异。

Ppk使用整体标准差：

PPU＝（USL－平均值）÷（3×整体标准差）

PPL＝（平均值－LSL）÷（3×整体标准差）

Ppk＝min（PPU，PPL）

Cpk使用子组内标准差：

CPU＝（USL－平均值）÷（3×子组内标准差）

CPL＝（平均值－LSL）÷（3×子组内标准差）

Cpk＝min（CPU，CPL）

两者的主要区别，在于计算时使用的标准差不同。

Ppk使用整体标准差，反映数据在整个收集期间表现出来的总体波动；Cpk使用子组内标准差，主要反映各子组内部的短期波动。

希望通过查看Minitab计算这些过程能力指数的具体过程，能够帮助大家进一步理解Cpk与Ppk之间的区别。