深度学习电子结构计算简介

|作者：陈语诺 段文晖 徐勇

(清华大学物理系)

本文选自《物理》2026年第8期

摘要第一性原理电子结构计算可精准预测材料的物理和化学性质，已成为物理学、材料科学和化学的重要研究手段。然而，传统第一性原理方法计算成本较高，难以满足大尺度、高通量的材料计算需求。深度学习技术的发展为电子结构计算开辟了新路径。文章将介绍深度学习电子结构计算的发展背景和基本思想，以深度学习哈密顿量方法为例，重点讨论如何基于重要物理先验设计出可解释性的神经网络模型，实现电子结构的精准预测。此外，还将介绍电子结构的通用材料模型、无监督学习等领域前沿的最新进展。相关研究表明，人工智能正在推动第一性原理计算从传统计算范式向数据与物理共同驱动的新范式演进，为未来的科学计算和材料发现开辟了新途径。

关键词深度学习，电子结构计算，第一性原理方法，材料发现

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引 言

量子力学的建立从根本上改变了人类对物质世界的理解。随着量子理论的不断发展，人们开始尝试从量子力学的基本原理出发，原则上无需引入经验参数，直接计算和预测材料的性质，这就是第一性原理计算。由于原子核的质量通常比电子大数千倍，其运动速度远慢于电子，因此通常可以采用玻恩—奥本海默近似，将原子核与电子的运动分开处理。在求解电子的问题时，可暂时忽略原子核的动能，并将原子核的空间位置作为参数引入电子的量子力学方程。通过求解该方程，不仅可以获得电子结构以预测电子体系的性质，还可以得到玻恩—奥本海默势能面，进而确定原子核所受的作用力，模拟原子体系的性质。因此，电子结构计算构成了第一性原理计算的核心。

电子结构计算的关键困难，在于如何有效处理大量电子之间的相互作用。原则上，多电子体系可由量子力学方程精确描述，但其波函数依赖于所有电子的空间坐标，计算复杂度随电子数目的增加而急剧上升，因此真实材料中的多电子问题通常难以直接求解。密度泛函理论(density functional theory，DFT)的提出，为解决这一困难提供了新途径。其基本思想是绕过复杂的多电子波函数，以仅依赖于空间位置的电子密度作为基本变量。当前应用最为广泛的是Kohn—Sham DFT方法，它将相互作用的多电子体系映射为具有相同基态电子密度的辅助无相互作用电子体系，从而将复杂的多体问题转化为等效的单体问题。电子之间复杂的多体效应被包含在交换关联泛函中，常用的交换关联泛函近似包括局域密度近似、广义梯度近似、杂化泛函等。通过自洽迭代求解Kohn—Sham方程，可以获得体系的电子结构，实现材料性质的第一性原理预测。

尽管DFT在理论和方法上取得了巨大进展，但其高昂的计算成本仍限制着大规模体系的研究。随着体系规模增大，自洽迭代的收敛可能更加困难，需要处理的电子态数量和矩阵维度也迅速增加；每一步迭代通常涉及矩阵对角化等复杂而耗时的运算，并需存储和处理大规模矩阵。由此带来的计算量和内存需求，对大体系材料计算构成较大挑战。这些瓶颈限制了电子结构计算的广泛应用。一方面为了寻找具有特定性质的材料，需要进行高通量计算筛选，而较低的计算效率限制了筛选速度；另一方面对于真实复杂体系，如缺陷晶体、转角二维材料、复杂界面等体系，可能拥有万级别甚至更多的原子数，传统方法难以进行准确高效的计算。而紧束缚模型等半经验方法虽然更高效，但是准确性与标准DFT相距甚远，难以满足实际需求。正是这样的挑战，驱动人们发展具有第一性原理计算精度，同时具有更高计算效率的新方法。

深度学习技术在近年来迅速发展，在科学计算等领域取得重要进展，为电子结构计算带来了新的契机[1]。电子结构计算问题本质上是从原子结构信息，即元素种类和原子位置，到电子结构信息的映射。通过设计合适的神经网络架构，将量子力学基本原理作为物理先验约束神经网络，利用第一性原理计算结果进行训练，可以学习和描述原子—电子系统中蕴含的物理规律，实现从原子结构到电子结构的神经网络模型预测。模型完成训练以后，便可以利用模型快速、准确地预测电子结构，绕过传统算法中复杂耗时的自洽迭代计算[2]。

由此，深度学习与电子结构计算相结合，逐渐发展成一个新兴的研究方向[3]。它并非试图取代量子力学本身，而是推动第一性原理计算范式从迭代求解方程，转向学习并复用原子结构与电子结构之间的内在规律。在这一新范式下，电子结构计算有望突破长期以来的效率瓶颈，将研究范围从小尺寸体系扩展至更大尺度、更复杂的真实材料体系，进一步推动人工智能驱动的新材料发现。

2

基于深度学习技术的计算方法

在上述背景下，问题转变为如何设计合适的神经网络架构，以保证预测的准确性和高效性。首先需要回到电子结构计算的核心问题：无论是DFT还是其他第一性原理方法，其关键任务之一是获得电子的哈密顿量或与之等价的电子结构信息[4]。对于采用原子基组的DFT方法，哈密顿量可表示为一个二阶张量，即矩阵。一旦DFT哈密顿量矩阵确定，便可在此基础上进一步计算能带结构、外场响应等单体近似下的物理性质。传统DFT通过自洽迭代不断更新哈密顿量，直至达到收敛；深度学习则尝试绕开复杂耗时的自洽迭代，直接从原子结构出发预测收敛的DFT哈密顿量。这种方法称为深度学习哈密顿量(deep-learningHamiltonian，DeepH)[2]。

这一设想之所以可行，不仅因为深度学习具备强大的函数拟合能力，更重要的是电子结构本身具有一系列有利于深度学习的物理先验。其中最关键的一点是电子结构的局域性：通常，在固体材料中，由于屏蔽效应和量子干涉等作用，一个原子附近的电子行为主要由其局部的化学环境决定，而远处环境的影响会随着距离迅速衰减。这一性质意味着，在近乎无限大的材料体系中，存在局域的电子性质，它们在很大程度上可由近邻环境决定。因此，可以通过学习小尺寸材料体系中的局部特征，并将模型推广到更大尺度的体系中，从而实现跨尺度泛化[5]。

电子结构的局域性是学习物理量对局域化学环境依赖的物理基础。深度学习模型往往只考虑近邻环境的影响，据此预测DFT哈密顿量的矩阵元。这种表示方式类似紧束缚模型，与电子局域性原理相适配，也使得模型推理的计算量随体系规模呈线性增长，相较传统DFT方法具有显著的效率优势[2，6]。

除了局域性之外，另一个重要的先验来自对称性。例如，当材料结构发生整体旋转或平移时，其物理规律应保持不变，哈密顿量等物理量则应按照确定的方式做相应的变换，这种变换性质称为协变性。在DeepH的设计中，这种对称性并非事后加入，而是直接融入模型的架构设计中[2，7]。通过这样的设计，可以使模型自动满足平移不变性、旋转等变性等要求。这不仅保证了预测结果的物理一致性，也显著提高了学习效率。

值得强调的是，在这一过程中，深度学习并没有取代物理规律本身，而是与之形成了互补关系。一方面，神经网络提供了强大的表达能力，可以逼近复杂的非线性映射；另一方面，局域性与对称性等物理先验显著缩小了模型需要探索的参数空间，待学习的非线性映射关系虽然复杂，却通常具有较好的连续性和平滑性，有利于深度学习。可以说，DeepH的核心思想正是数据驱动与物理约束的结合：既避免了纯经验模型泛化能力不足的问题，又绕开了传统方法计算成本过高的瓶颈。

从更宏观的角度来看，DeepH实际上代表了一种新的计算思路。在传统第一性原理方法中，每一个新的材料体系都需要从头开始，通过数值求解得到其电子结构；而在DeepH框架下，大量已有计算结果被用作训练数据，以构建具有泛化能力的神经网络模型(图1)。已有研究表明，模型能够学习原子结构与电子结构之间的内在规律，并表现出良好的可迁移性。一旦模型训练完成，它便可以在新的体系上进行快速推理，从而将原本需要大量计算资源的问题转化为高效的神经网络推理。这种“先学习、再推理”的模式，使电子结构计算不再局限于单个体系的独立求解，而具备了面向大规模材料空间开展探索的潜力。

图1 深度学习哈密顿量(DeepH)方法的工作原理示意图。传统第一性原理计算通过耗时的自洽迭代获得给定原子结构的哈密顿量，并进一步计算预测的物理性质。DeepH方法则绕过这一自洽迭代过程，直接由原子结构快速预测哈密顿量，可高效预测材料的物理性质

因此，从物理角度来看，DeepH并不仅是对第一性原理计算的简单加速，更是对其计算范式的重构。它抓住了电子结构问题中的两个关键特征——局域性与对称性，并借助深度学习将这些物理特征融入神经网络模型。在这一框架下，电子结构研究不再只是通过求解方程得到结果，从原子结构到电子结构的映射也可以被视为一种可以学习的规律。这一转变为后续的大尺度模拟、通用材料模型以及人工智能驱动的材料发现提供了重要基础。

3

从专用模型到通用模型

在DeepH发展的早期阶段，研究者主要关注特定材料体系的电子结构。例如针对石墨烯及其衍生结构，训练专门的深度学习模型来预测相应的第一性原理哈密顿量[7]。这些工作表明，深度学习可以在保持较高精度的同时显著提高电子结构计算效率。然而，这类模型往往局限于由少数元素组成的特定材料体系，其适用范围仍然有限。对于新的材料体系，通常仍需要重新构建数据集并训练模型。

这种局限与近年来人工智能领域的发展形成了鲜明对比。在自然语言处理领域，人们已经逐渐从面向特定任务的小模型转向能够处理广泛任务的大语言模型；在计算机视觉领域，也出现了能够理解大量视觉场景的通用视觉模型。这些通用模型的重要特征在于它们不再针对某一个具体问题进行优化，而是尝试学习更加普适的规律。对于凝聚态物理、材料科学、量子化学而言，一个自然的设想是发展类似的通用材料模型，即构建一个统一的模型，可以统一描述大量不同元素、不同结构和不同化学环境下的电子结构规律，并在新的材料体系中直接进行哈密顿量预测[6]。虽然通用模型的效率或精度可能低于专用模型，但其普适性和可扩展性使其在材料发现、高通量计算等领域具有独特优势。

元素周期表中包含上百种元素，它们可以以极其多样的方式组合形成种类繁多的稳定晶体结构。即使只考虑少量元素，可能形成的结构数量也已经远远超过现有数据库的覆盖范围。更重要的是，不同材料之间的电子结构差异十分显著。从离子晶体、共价晶体到低维量子材料，它们呈现出显著不同的物理性质。因此，一个真正通用的电子结构模型应具备普适的预测能力，能用于研究差异巨大的材料体系。

DeepH通用模型的提出，正是朝着这一目标迈出的重要一步[6]。为构建DeepH通用模型，需要构建大规模电子结构数据库。相比传统材料数据库，DeepH训练所需的数据类型有所不同，许多已有数据库主要保存总能量、能带结构等结果，而DeepH需要更底层的电子结构信息，即DFT哈密顿量矩阵。研究团队利用自动化高通量计算流程，对大量固体材料进行了统一的密度泛函理论计算，构建了覆盖大部分元素种类、丰富化学组成和多种晶体类型的数据集。在获得大规模训练数据后，可训练面向多种材料体系的DeepH通用模型。与此前仅覆盖少数元素的专用模型不同，该模型能够同时处理数十种元素构成的不同材料体系，并且能够适用于多种不同类型的晶体结构。研究结果显示，通用模型在测试集上的平均误差已接近部分专用模型的水平，展现出良好的实用潜力和泛化能力。

从结果上看，一个值得注意的规律逐渐显现出来：模型性能与训练数据规模之间存在明显关联。对于训练样本覆盖较充分的元素组合，预测误差通常更小；而训练数据较少的区域，则误差相对较大。统计分析表明，两者之间存在显著的负相关关系。这一现象具有重要意义。近年来，人工智能模型的发展呈现出所谓的规模定律(scaling law)：随着模型规模和训练数据量持续增长，模型预测能力往往也会同步提升。类似的规模效应很可能同样存在于电子结构学习问题之中。换言之，目前的通用模型可能还远未达到能力上限，随着训练数据和模型规模进一步扩展，其性能有望继续提升。

针对特定研究方向，通用模型还需要进一步适配特定问题。为此，研究团队开展了类似于大语言模型微调(fine-tuning)的实验，选取了特定材料体系的数据集进行测试。即使不经过额外训练，通用模型也能够在这些结构上取得较低的预测误差；在利用少量针对性数据进行微调后，模型精度还可进一步提升。这种现象与当前人工智能领域广泛采用的“预训练—微调”的范式类似，即首先利用大量通用数据学习普遍规律，再利用少量领域数据快速适应具体任务。对于材料科学而言，这意味着未来研究者或许不再需要为每一个新体系从零开始构建模型，而可以在统一的基础模型之上进行快速定制。

从更长远的角度来看，通用模型的意义并不仅仅在于提高计算效率。更重要的是，它展示了一种新的可能性，即将电子结构计算从独立的方程求解转变为可复用的知识积累。在传统第一性原理计算中，每一次计算相对独立，对新体系的研究仍需重新进行数值求解。而在深度学习框架下，已有数据可持续用于模型训练，使模型不断积累知识，并逐渐获得更强的泛化能力[6]。

4

从数据驱动到物理驱动

目前，大多数深度学习电子结构方法，包括DeepH在内，主要采用监督学习(supervised learning)范式。研究者首先利用第一性原理方法生成大量高质量训练数据，然后让神经网络学习原子结构与电子哈密顿量之间的映射关系。训练完成后，模型便能够对新的材料结构进行快速预测。这种方法已经取得了显著成功，但也存在一个固有限制：模型性能高度依赖于训练数据的质量与规模。对于具有较广覆盖范围的通用模型而言，往往需要构建大规模的训练数据库，而生成这些数据本身就需要消耗大量计算资源。

因此，一个基本的问题逐渐受到关注，即利用量子力学原理直接训练神经网络，不再依赖已有标注数据的监督训练。这一思路在理念上与近年来人工智能领域广泛发展的无监督学习具有相似之处。对于电子结构问题而言，研究者希望寻找合适的物理原理作为约束，使神经网络能够通过满足量子力学基本原理来完成训练。研究者提出了神经网络DFT框架[8]。其核心思想是将深度学习模型与密度泛函理论的变分原理直接结合。在传统DFT中，在给定原子结构和电子数等条件下，体系的基态对应于总能量最低的电子态。实际计算时，程序通过自洽迭代不断更新电子密度和哈密顿量，进而获得满足Kohn—Sham方程的能量最低的基态解。在这一过程中，DFT本身已经提供了一个天然的优化目标——即在相应物理约束下最小化总能量。这启发了一个新的思路：如果根据神经网络预测的哈密顿量计算体系总能量，训练过程便不再需要以收敛的哈密顿量作为标签，而可以通过最小化体系总能量来不断优化模型参数。这样，神经网络不再只是拟合已有数据，而是在量子力学规律的约束下，通过变分优化寻找更优解(图2)。

图2 神经网络DFT的计算流程，通过将体系总能量作为损失函数，优化神经网络参数(黑色箭头代表原子结构数据的单向传入，橙色箭头表示可微分计算的正向传播，绿色虚线箭头表示梯度的反向传播)

在监督学习中，模型的目标是尽可能拟合已有数据。数据库中记录了某个材料的哈密顿量，神经网络便尝试拟合这一结果。而在基于物理约束的无监督框架下，模型的训练目标转向满足物理规律。研究结果表明，这种方法具有一些令人鼓舞的特性。对于水分子、石墨烯等不同体系，神经网络DFT均能够稳定收敛，并得到与传统DFT一致的结果。值得注意的是，在预测哈密顿量误差相近时，无监督框架得到的总能量、电子密度和密度矩阵等物理量往往比常规监督学习更为准确。这一现象反映了一个重要事实：对于电子结构问题，不同误差对物理结果的影响并不等价。监督学习通常以哈密顿量矩阵元的数值偏差作为优化目标，而物理系统真正关心的是这些误差对体系能量和其他重要物理量的影响。

如果说早期深度学习电子结构研究主要解决的是如何利用已有数据学习规律，那么无监督电子结构学习所探索的，则是如何让模型理解物理规律本身。虽然这一方向仍处于发展初期，但它正在为人工智能与第一性原理计算的深度融合开辟新的途径。

5

前沿应用的探索

通用材料模型展示了深度学习的广泛适用性。与此同时，近年来另一条重要发展路线则体现了其在计算精度和研究范围上的持续拓展。研究者逐渐意识到，深度学习并不仅仅能够学习传统DFT产生的哈密顿量，还可以进一步学习更高精度电子结构计算，例如，描述材料对外界扰动的响应规律。从物理角度来看，这意味着深度学习电子结构方法正在从基态计算逐步发展为覆盖广泛物理问题的第一性原理计算框架[9]。

其中一个最直接的例子来自杂化泛函(hybrid functional)计算。尽管传统DFT已经能够较好描述大量材料体系，但对于特定问题，其精度仍然受到交换关联泛函近似的限制。为此，研究者发展了杂化泛函方法，通过引入部分精确交换效应，显著提高电子结构预测精度。然而这种改进伴随着较大的计算代价，其计算成本通常比普通DFT高出一个或多个数量级[10]。近期研究表明，深度学习模型不仅能够学习普通DFT产生的哈密顿量，也能够学习杂化泛函对应的高精度电子结构[11]。通过利用杂化泛函计算结果进行训练，神经网络能够直接预测具有杂化泛函精度的哈密顿量和能带结构，而无需显式求解昂贵的精确交换项。原本主要应用于较小体系的杂化泛函计算，因此有望扩展到更大尺度的材料体系。这一进展的重要意义在于，它表明深度学习并不局限于学习某一种特定理论层级，而能够随着目标数据的精度提升不断逼近更高精度的电子结构计算。

与此同时，另一个值得关注的发展方向来自材料响应性质的计算。在实验中，人们真正测量的往往并不是基态电子结构本身，而是材料对各种外部扰动的响应，如光学响应、输运性质等。这些响应性质构成了连接理论与实验的重要桥梁。这些问题主要依赖于密度泛函微扰理论(density functional perturbation theory,DFPT)进行计算。DFPT是建立在DFT基础上的微扰理论，其基本思想是在体系受到微小扰动时，计算电子结构发生的一阶或高阶变化。然而，与普通DFT相比，DFPT往往需要针对不同扰动模式分别求解响应方程。对于大尺度体系，计算成本往往成为实际应用中的主要瓶颈。为了缓解这一瓶颈，研究者提出了基于神经网络的DFPT框架[9]。其核心思想是利用深度学习模型学习原子结构与电子结构之间的映射关系，并借助自动微分技术直接计算模型的输出相对于外部扰动的导数。由于现代神经网络本身已经建立在可微分框架之上，因此部分原本需要显式微分求解的物理量可以通过自动微分高效获得。研究表明，该方法能够准确复现传统DFPT得到的电—声耦合强度以及其他响应性质，同时显著降低计算成本，说明深度学习方法可以有效描述物理量随外界扰动的变化规律。

从更广阔的视角来看，这些工作共同反映出深度学习电子结构方法正在经历一次重要转变。早期研究主要关注如何利用神经网络预测基态电子结构，而如今的研究对象已经逐渐扩展到高精度电子结构方法、激发态性质以及各种响应函数。深度学习模型的研究对象正从基态电子结构逐步扩展到更广泛的物理问题研究。

6

总结与展望

经过近年来的发展，深度学习电子结构计算已经从最初的概念验证阶段，逐渐发展为具有实际应用潜力的新型计算范式。从早期针对特定材料体系的专用模型到能够覆盖数十种元素和广泛化学空间的通用模型，从依赖大量标注数据的监督学习到利用量子力学变分原理训练的物理原理驱动框架，从通常的DFT哈密顿量预测到杂化泛函和密度泛函微扰理论的学习，这一领域正在快速拓展其能力边界。

更重要的是，深度学习技术带来的不仅是计算效率的提升，更是一种计算和研究范式的转变。传统第一性原理计算中，每一个新体系都需要独立求解方程，而深度学习方法则能够不断学习和积累已有计算结果中的知识，并将这些知识迁移到新的体系之中。随着训练数据和模型规模持续增长，电子结构模型有望呈现出类似人工智能基础模型的发展趋势，逐步形成覆盖更广化学空间、达到更高理论精度，并描述更多物理性质的统一框架。深度学习与第一性原理计算的结合有望进一步突破大尺度、高精度和复杂物理问题计算中的瓶颈，为物理、化学、材料科学等领域提供新的科学研究手段。

参考文献

[1] LeCun Y，Bengio Y，Hinton G. Nature，2015，521：436

[2] Li H，Wang Z，Zou N et al. Nat. Comput. Sci.，2022，2：367

[3] Tang Z，Chen H，Li Y et al. Nat. Comput. Sci.，2025，1：14.

[4] Martin R M. Electronic Structure：Basic Theory and Practical Methods. Cambridge University Press，2020

[5] Wang Y，Li Y，Tang Z et al. Sci. Bull.，2024，69：30

[6] Li H，Tang Z，Gong X et al. Nat. Comput. Sci.，2023，3：321

[7] Gong X，Li H，Zou N et al. Nat. Commun.，2023，14：2848

[8] Li Y，Tang Z，Chen Z et al. Phys. Rev. Lett.，2024，133：076401

[9] Li H，Tang Z，Fu J et al. Phys. Rev. Lett.，2024，132：096401

[10] Ihrig A C，Wieferink J，Zhang I Y et al. New Journal of Physics，2015，17：093020

[11] Tang Z，Li H，Lin P et al. Nat. Commun.，2024，15：8815

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