《人类科学技术史-398》当代数学的重要进展

当代数学的重要进展

当代数学发展日新月异，成果难以胜数，其中最重要的是非标准分析、突变理论和模糊数学的出现。此外，在解析数论、泛函分析、拓扑学及应用数学等方面也取得了重大进展。

1.非标准分析

1960年，德国数理逻辑学家罗宾逊(1918-1974)发表了"非标准分析"的论文。他的基本思路是：既然无穷小不是一个"数"，在实数系R中没有它的位置，那么就将实数系扩大，使之成为新的数系＊R，当微积分在＊R中实施时，能够保持牛顿——欧拉时代的直观和简便易行。他用数理逻辑中模型论的方法做到了这一步。在＊R中每一通常实数是标准数，它的周围聚着许多"无限小"(非标准数）。1965年，罗宾逊又写了《非标准分析》一书。非标准分析的创立，表明数学理论由"标准"向"非标准"转化，是解决数学理论体系内部矛盾，推动数学发展的一个重要途径，是数学思想方法的一个重大转折。此后，非标准群论、非标准泛函分析、非标准拓扑等学科也相继产生。但也有人对非标准分析的作用持怀疑态度。

2.突变理论

突变理论在60-70年代掀起一股热潮。法国数学家托姆(1923-)从1968年开始陆续发表文章，论述突变理论。1972年，他出版了《结构稳定性和形态发生学》。此书一时风靡世界。他通过严格的推导，证明了一个重要定理：当那些导致突变的连续变化因素少于4个时，自然界各种突变过程，都可以用7种最基本的数学模型来描述。托姆用突变理论解释生物学、物理学、社会科学等复杂现象，令人耳目一新。英国齐曼教授看到托姆的理论甚感兴趣，立即组织一个团体，潜心钻研，几年内发表400多篇论文。70年代初，突变理论涉及到胚胎学、人性学、医学、生态学、光学、地质学以至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等各方面，几乎包罗万象，盛极一时。但在这些研究中难免会泥沙俱下，出现鱼目混珠、粗制滥造的"伪劣产品"。因此，70年代末这种现象遭到一些科学家的批评，突变理论热有所降温。近些年突变理论的数学基础研究仍在不断深入。它的发展潜力很大，但能否有更大作为还将拭目以待。

3.模糊数学

1965年，美国的查德(1921-)教授发表了"模糊集合"一文，创立了模糊数学。他指出：可以列入一个从0到1的隶属函数来表示该事物是否属于某个模糊集合的从属程度，以描述事物的模糊性。在经典集合中，可用0或1表示元素对集合的隶属关系；而在模糊集合中，则可用介于0和1之间的数表示元素与集合的关系。模糊数学对复杂的具体问题提出了一系列分析和处理方法。它与非标准分析、突变理论被人称为60年代以来数学上的三大突破，也有人认为它们掀起了一场"数学革命"。20多年来，模糊数学发展很快。模糊拓扑学、模糊群论、模糊控制论、模糊逻辑、模糊语言等许多新分支学科纷纷建立。对模糊语言的研究，将使人们实现用自然语言与计算机直接对话。

4.一些数学难题的突破

解析数论是高度抽象的数学分支。"哥德巴赫猜想"是1742年提出的一个数论难题，被称为"皇冠上的明珠"。这一猜想是：每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和。200多年来，许多数学家为证明这一难题付出了艰辛的努力，但仍未能完全解决。中国数学家陈景润(1933-1996)经过10多年的刻苦钻研，于1966年发表了"大偶数可表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和"的论文，把哥德巴赫猜想研究推进到(1，2)的高水平，离摘取这颗明珠只差一步，受到国际数学界的重视。他创立的"陈氏定理"，在数论中占有重要的地位。

著名的"四色问题"是一个拓扑学问题。它是1852年提出来的一个猜想：每幅地图都可以只用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。20世纪以来，对于"四色问题"的证明逐步接近成功。1976年，美国伊利诺大学的哈肯和阿佩尔在IBM360计算机上分1482种情况检查，一一检验了它们都是可约构型，于是证明了"四色问题"。整个证明用了1200多个机时。"四色问题"的解决，开创了计算机证明的范例。

60年代以来，庞加莱猜想、魏尔猜想、卡拉比猜想、比伯巴赫猜想、塞尔猜想、鲁金猜想等一大批数学难题被先后攻克，在当代数学史上写下了光辉的篇章。

当代数学虽然更加抽象、复杂、艰深，但它产生的思想和方法，对自然科学和社会科学都产生深刻影响，为其提供了有力的工具。同时，计算数学、计算机的发展，在科学、技术、社会各个领域都发挥了重大作用。