AI时代，什么才是真正属于人类的数学？

目前AI正在深刻影响数学领域，也迫使数学家重新思考“数学是什么，做数学意味着什么”。本文作者是一位拓扑学家，也是一位量子计算研究者——AI让他看到了机遇。他相信，真正革命性的数学思想恰恰诞生于未知与不确定之中，而数学的生命力也不会因AI而消失。相反，在AI与量子计算共同拓展的数学宇宙里，那些尚未成熟、不断生长的“生长型数学”，或许将迎来新的繁荣。

撰文 | 王正汉（加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授）

翻译 | 下雪

1900年8月8日，希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会（ICM）上发表了那篇著名的开幕演讲，他提出了这样一个问题：“我们之中，有谁会不愿意揭开那层遮蔽未来的面纱呢？”如今，随着人工智能（AI）正在改变并塑造数学的未来，我比以往任何时候都更渴望知道：对我以及未来的数学家来说，前方究竟隐藏着什么。

中文里的“危机”二字，由“危”和“机”组成：前者意为危险，后者意为机遇。围绕 AI 对数学所带来的“危”的讨论激烈且不休，因此我将重点放在“机”上，也就是数学得以蓬勃发展、迈向新高峰的潜在机遇。我乐观地认为，在经历一段痛苦而不确定的时期之后，数学将会像它一向所展现的那样，适应并演化，走向一个光明的未来——因为数学始终是人类最坚韧、最恒久的智识经验。

什么是数学？

作为一名数学教授，我其实从未真正花时间去思考“数学是什么”，因为我一直在躬行实践。大多数数学家并不需要为数学下一个定义：数学就是他们所做的事情。作为一名拓扑学家，我常常不得不在飞机上或餐桌旁向别人解释自己是做什么的。当人们听到拓扑学（topology）这个词时，最常见的反应是认为它与地形学（topography）有关。甚至在我的婚宴上，有人兴致勃勃且正确地解释说，拓扑学里有一种技巧，就是不解开纽扣就能把衬衫脱下来。不过，最精彩的轶事来自我高中英语老师：他立刻断定，我研究的是世界上最好的学科，因为就像动物学（zoology），我的学科是研究“TOP”事物的。对我而言，数学主要是通过数进行量化、借助形状进行几何化，从而对世界进行抽象与探究，由此衍生出数论、分析、几何等数学分支。

在本文的讨论中，我想把数学分为三种相互关联、彼此交叠的类型：艺术型（artistic）、生长型（organic），以及实用或应用型（utility or applied）。它们并非彼此排斥，而是动态演进的，因此同一个主题在不同阶段可以属于不同类型：早期更偏向（自然）生长，而发展成熟的学科则更偏艺术型。艺术型数学和生长型数学都纯粹由好奇心驱动，目标是追问内部结构，而非为了其他学科或现实世界的功用。艺术型数学与生长型数学的区别主要在于成熟度：艺术型数学已被充分研究，拥有许多教材，而且这些教材对所研究的基本对象给出的定义是一致的，因此在基础层面不会存在歧义；而生长型数学仍处在发展阶段，其定义往往还带有试探性，结构性成果也明显具有尚未成熟的特征。艺术型数学的例子包括平面几何和初等数论；生长型数学则包括量子拓扑和数学量子场论。

数学如何在新时代蓬勃发

作为一名量子计算研究者，我一直非常关心 AI 在数学和自然科学中究竟能够做到什么程度。我最近指导了一篇关于拓扑学中一个著名开放问题的论文，即稳定安德鲁斯–柯蒂斯猜想（stable Andrews–Curtis conjecture）。它至今仍是一项重要的研究问题，尚未产生革命性的结果。总体而言，当前这一代大语言模型在拓扑学中的表现并不理想，原因尚不清楚——这也许仅仅是时间和训练程度的问题。不过，我更感兴趣的是，这背后是否存在某些根本性的原因。

拓扑学在数学中是一个相对较新的领域，属于广义几何学的一部分。它研究空间的整体性质，例如一个图形里有多少个“洞”。数十年来这门学科的基础一直很不稳固，但这并没有阻碍它取得惊人的进展。正如牛顿并不需要以严格的 ε–δ 语言来定义极限，就能掀起科学革命一样，庞加莱在没有对拓扑空间给出明确定义的情况下，就为这一领域做出了划时代的贡献。他提出的一个猜想——三维庞加莱猜想（3DPC）——是第一个被解决的千禧年难题，而格森（M. Gessen）所著的《完美的证明》（Perfect Rigor）一书，则深入剖析了完成这一壮举的数学家佩雷尔曼（G. Perelman）。作者在书中有一段值得深思的评论：佩雷尔曼对于整个数学大厦而言究竟有多重要？我引用如下：

“在顶尖数学家的世界里，所谓智识精英，是那些通过提出旁人从未想到过的问题而开辟新视野的人。稍次一等的是那些构想出回答这些问题的方法的人。他们往往在职业生涯早期就已跻身精英之列——例如，刚拿到博士学位几年后，他们先证明别人的定理，之后才开始提出自己的定理。最后，还有一些极为罕见的人，他们完成证明最后的步骤。这些数学家持之以恒、一丝不苟、耐心细致，最终铺就了他人曾经梦想并勾画出的道路。在我们的故事中，庞加莱和瑟斯顿（William Thurston）属于第一类，哈密顿（Richard Hamilton）属于第二类，而佩雷尔曼则是完成整项工作的那个人。”

在数学的这一里程碑上：庞加莱提出了最初的问题，而瑟斯顿将这一问题纳入了所有三维流形几何化的宏大框架之中——拓扑结构完全由几何结构决定，正如庞加莱等人在二维情形中所完成的那样。随后，哈密顿发明了里奇流（Ricci flow），这一工具能够引导出几何结构，从而解决三维庞加莱猜想以及瑟斯顿提出的整个几何化猜想。但他陷入停滞多年，直到佩雷尔曼将这一纲领推向了宏伟的终章。

在深蓝（Deep Blue）和 AlphaGo 之后，我已经确信，人类智能并不像我曾经愿意相信的那样非凡。不过，我们仍然可以提出一个假设性问题：如果在瑟斯顿取得突破之前，就把拓扑学和几何学的全部知识都喂给 AI，那么它需要多久才能提出瑟斯顿的几何化纲领，并最终解决它？机器究竟会在何时以及通过何种方式达到那样的水平，对我来说仍然并不清楚。在那种最终的奇点到来之前——也许要比我们宇宙的寿命还要长，人类仍然还有大量数学可以探索。

我毫不怀疑，AI 对各种类型的数学都会非常有帮助，但在现阶段，AI 似乎最适用于艺术型数学和实用型数学，也就是那些文献充分、形式化程度较高的领域。而对于那些存在大量不确定性的领域，它的帮助则要小得多。这也许是因为投入和训练还不够，但我更愿意相信，这至少部分是当前几代大语言模型所面临的根本性问题：它们受限于既有知识，也缺乏把某一学科真正内化为“技艺”从而能够自由创造的能力。

AI 正在使知识几乎变得唾手可得，并且可以一座接一座地吞下图书馆。历史上我们也见过类似的时刻，例如印刷术使书籍变得容易获得。世界确实因此改变了，但教会和大学依然延续了下来。AI 对智力劳动的影响，与工业革命对体力劳动的影响，并没有太大差别。问题在于：什么才是真正属于人类的数学？人类与机器之间，究竟又有什么不同？

我可以设想许多种可能性：未来的数学家或许会像印第安纳波利斯 500 英里大赛（Indy 500）的赛车手一样，每个人都有自己的赛车，追逐最快的完赛成绩；但飞机显然比赛车更快，而飞机也并不等同于鸟。一个借助 AI 进行数学研究的数学家，未必是我想成为的那种数学家，但这完全可能成为未来许多人的选择。而看看我们究竟能够走多远，也一定会是一件令人兴奋的事情。那么，对于我来说，还剩下什么？首先，沿用刚才赛车的类比，我们依然还有人类自己的奥林匹克运动会。

数学并不是一场速度竞赛，也完全不像一种体育运动。数学的核心，是通过其内在的逻辑，使我们能够理解周围的世界——无论是自然世界还是人造世界——并发明或发现与这个世界相关的普遍模式和真理。数学的生命力在于真实的人类经验，也在于所得出的结果是有意义的——确实能够自洽地解释事物。不然还能是什么呢？毕竟它并非凭空捏造的产物，即便有时它看起来的确像是如此。

AI 的力量正在带来变革，但它不会改变一切。AI 依赖经典计算机，因此也受到经典复杂性理论和经典逻辑的约束。对于数值计算而言，经典计算本身就存在能力上的局限以及稳定性问题。AI 可以吸收整个互联网的知识，但这并不能保证它就能够产生革命性的思想。接受过太多教育也未必总是一件好事，拓扑学中的一个著名例子就很好地说明了这一点。

1981年，迈克尔·弗里德曼（M. Freedman）宣布证明四维庞加莱猜想时，遭到了一位世界权威专家的严肃反对。然而，这位专家并没有意识到弗里德曼的巧妙之处。弗里德曼并不了解用函数逼近同胚的标准数学做法；相反，他在脑海中看到的是，通过一系列“关系”来进行逼近。他曾盯着一张纸思考数小时，却连一个数学符号都没有写下来。真正革命性的思想，从定义上说，本来就是无法预先想象的。四维庞加莱猜想的解决如此，超导理论的发展也是如此——电子本来应该彼此排斥，而超导理论却要求电子能够成对并相互吸引。

作为一名从事量子计算研究数十年的研究者，我曾多次被问到：量子计算机有什么用？它当然拥有造福社会的巨大潜力，但对我而言，它最重要的用途在于它作为一种科学仪器，就像显微镜或望远镜那样。显微镜让我们得以观察微观世界，望远镜让我们得以看见遥远的世界，量子计算机则可以让我们真正“看见”并“感受”绚丽多彩的量子世界——这将成为一种全新的人类经验。这也引出了一个超越AI、颇为异想天开的数学发展方向：量子数学（quantum mathematics）。正如美国哲学家普特南（Hilary Putnam）曾提出的问题：逻辑是经验性的吗？基础物理学告诉我们，我们世界的底层本质上是量子的。如果未来我们拥有强大的量子计算机，对量子世界形成更加丰富、直接的经验，那么我们的逻辑和推理方式是否也会随之改变？我不知道，但我倾向于认为答案是肯定的：在量子物理中，我们将不再只是用实数和概率进行计算，而是用波函数来计数，用振幅来进行论证。由此，一轮全新的数学迭代或许就会展开。

作为一名数学家，我由衷欢迎并拥抱这样一种工具的帮助：它拥有近乎无限的知识，并且能够用英语进行编程。我同时也看到了不负责任地使用AI可能污染数学的危险——未经认真、严谨的核查，就宣称取得了重大突破。验证佩雷尔曼的工作花费了很长时间，而且整个过程并非没有戏剧性。那些不负责任的数学论断，让我想起了上世纪80年代在中国发生的一个真实故事：在陈景润证明哥德巴赫猜想“1+2”形式并因此成为民族英雄之后，一些业余数学爱好者声称自己证明了哥德巴赫猜想中的“1+1”，他们带着自己的“证明”来到中国科学院的数学研究所，找专家进行评判。许多真正的数学家甚至不得不从后门离开下班，因为他们实在无力应付没完没了的纠缠。后来，有人甚至贴出告示说：如果你能在我的证明中找到一个错误，我给你 x 元；如果找到两个错误，我给 y 元……在数学中，证明只要存在一个错误，一个不准确之处，或者仅仅是不完整，就足以使整个证明无效。那么，我们为什么要在发现第一个错误之后还继续找错误呢？

毫无疑问，数学及其教育正站在一个历史性的十字路口。从某种意义上说，数学被打了个措手不及，我们还没有找到恰当的应对方式。也许其他一些领域可以从数学的处境中吸取教训，现在就尽早开始讨论 AI 的影响。

我相信，在这个不断扩张的数学宇宙中，生长型数学不会像雨中的泪水一样消失得无影无踪，反而会像五大湖中的水螅一样不断繁衍生息。

免责声明：本文没有使用任何 AI 工具的帮助。其不完美之处，正是人类经验的一部分。

本文经授权译自Zhenghan Wang, The future of mathematics, 原文地址：
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本文原题为《数学的未来》，现标题为编者所加。

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