AI 时代，为什么要学泛函分析？

导语

泛函分析诞生于对函数、微分方程和无穷维问题的研究。20 世纪量子力学的发展，让函数空间、希尔伯特空间、算子等概念进入了物理学的核心语言，泛函分析也因此成为理解量子力学的重要数学工具之一，而如今，机器学习也需要借助泛函分析提供的数学语言来描述。

本期文案贡献者 采访：兰岳恒、J-CAT 猫圈、范冬明 撰写：张倩和她的智能体 优化：谭夫有、李文韬、何瑞杰 审校：贾伊阳

今天，机器学习引爆了AI的第三次浪潮。正如同量子力学在泛函分析的加持下走的更远，机器学习也需要借助泛函分析提供的数学语言来描述。因为线性代数擅长处理有限维向量，但AI中的函数、分布、动态系统本质上是无限维的，需要泛函分析来提供更一般的框架。

来自泛函分析公开课ppt

但眼下有一个说法在大学生里很流行：大模型都能自动推导了，公式它帮我推、代码它帮我写，那还啃这些数学基本功干什么？用的时候交给它就行。

可以从两个角度回答上面的问题：

一、这个想法，把“工具替你干活”

和“你不需要懂”混成了一件事

工具能替你推导，恰恰是因为你给得出正确的问题、判得了它对不对。大模型越强，越需要那个能驾驭它的人。举个例子： 陶哲轩在2026年国际数学家大会（ICM）上发表了题为《人工智能时代的数学》的公众演讲。他展示了一张年轻时读Bourgain论文的批注页：上面全是批注、补全省略步骤、打问号、重写证明。他说：“理解的形成恰恰在这些停顿、卡壳、重写的痕迹里。” 但如今AI生成的论文文本光滑、语法完美，却掩盖了真正的认知难度。

陶哲轩指出，一个数学问题被真正解决需要过五关：证明、验证、阐释、同行认可、写进教材。AI目前只加速了第一关，证明生成。他甚至在演讲中公布了测试结果：10道从未公开的研究级新题，AI解出7道并达到期刊发表水平。但答案正确远远不够，数学的衡量标准不是定理的生产，而是“让人们更清楚地理解和思考”。

AI生成过剩 → 文本过度光滑 → 阻力与痕迹消失 → 读者的再创造接口被堵死 → 下一代数学家的理解能力退化，这一链条才是真正的危机。

基本功，就是内核。你不亲手把一套理论的来龙去脉走一遍，就没有内核，提不出真问题，也判断不了大模型给你的答案是对是错。反过来，内核越强，你操控大模型的能力就越强：你知道该问它什么、怎么引导它、它给的结果里哪些能用、哪些不能用。

这背后是一个被很多人忽略的事实：大模型强在学习能力，一个人一辈子学不完的数学，它几个小时能过一遍；它还能把别的领域里早就存在、你却不知道的定理，拿过来解决你的问题。但它的边界也很清楚，它做的是“把已有的知识联系起来”，不是“无中生有的创新”。至少到今天，前人从没想过的东西，它还做不出来。

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推导、计算这类硬功夫，大模型在符号计算和常规推导上比人类快且不易出错，但需要人类对其结果进行验证和判断。同时人的价值来到了更高层次：能把握一套理论的精髓，能在更大的知识范围之间做连接、做判断，能提出真正的问题。一个很具体的场景：你和大模型协作，它给你四个方案，你怎么选？你连问题都提不出来、连它给的结果对不对都判断不了，那它再强，跟你也没关系。

大模型可以替你算，但不能替你想。

二、泛函分析，

正是理解大模型底层原理的内核

它们面对的是相近的数学困难。

泛函分析处理函数空间等无穷维对象；深度学习通常在高维参数空间中工作，但当我们研究无限宽度极限、模型作为函数的行为、训练过程的稳定性，以及神经算子时，问题自然会进入函数空间和算子理论。两者都要处理复杂映射、极限和稳定性。机器学习中的许多问题还具有显著的非线性，而非线性泛函分析从原理上说，正是为处理这类问题准备的一套工具。

这套工具做了几十年，积累了一些很硬的东西，把它引入深度学习，能帮人看清模型里到底发生了什么。这种理解不是空谈。有学员在学完第一期后说，他第一次真正想通了一件事：无限宽度的神经网络，约等于一个核方法。这就是泛函分析给的视角，它让你从数学上、而不是从调参的经验上，去看懂机器学习。

给“炼丹”一个思考的把手。

现在很多做模型的人，实际是在调参数：一个接一个试，成了就是“炼丹成功”，不成继续试。这种调法没有把手，不知道成是因为什么，败又是因为什么，只能靠运气。泛函分析给的是一个理论框架。有了框架，思考才有落点，才可能从“一堆参数在乱调”，变成知道往哪个方向改进，甚至反过来改进网络本身。

“不稳定”谁都知道，难的是“怎么限制”。

神经网络天然过拟合，这不稀奇，所以大家都会加正则化去约束。真正难的不是“要加约束”，而是“怎么加”：加在哪、加多少、哪种形式最好。这正是课程中“算子稳定性与病态逆问题”模块要解决的问题，通过紧算子、奇异系统、开映射定理等工具，可以定量分析正则化如何影响解的存在性与稳定性。概念放在书里谁都有，能把它和实际问题接起来，才值钱。

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泛函分析本身研究的是函数空间、算子、收敛、连续性与稳定性等一般结构，量子力学只是它的一块重要应用背景。问题在于，现有教材常常沿着经典的数学和物理例子组织内容，和今天 AI 研究者面对的对象之间，仍有一段距离。

第一期带人走进了函数空间、希尔伯特空间、核方法这些基础的数学对象。但真实世界里要面对的函数远不止这些：模拟一个细胞、理解生命与复杂系统，这些对象可能落在高维流形上，带着拓扑、分形等几何属性。这些问题并不天然属于量子力学的语境，需要更复杂、也更贴近现实的数学语言。

贾伊阳老师的泛函分析（二），要往这个方向走一步。课程不预设严格的数学基础，而是从AI实际问题（如最小二乘、PCA、核方法、Neural ODE）出发，通过直观实例逐步引入弱拓扑、紧性、Hahn-Banach等概念，让数学工具自然呈现。对非物理背景的 AI 从业者来说，可以直接拿起泛函分析的工具，去审视这些“不平凡”的函数，搞清楚它们的基本描述、基本属性，以及怎么找到、拟合它们。

这门课里，每节课都集中讲一个具体问题：从弱拓扑、紧性开始，到凸分析、对偶性，再到次梯度、近端算子，然后分析算子稳定性，接着通过半群理解连续深度模型，通过隐式层理解深度平衡模型，通过概率测度理解分布距离，通过分布动力学分析生成模型，最后是神经算子和Bellman算子。

每一个都是 AI 里正在用、或者马上要用的东西：例如对偶模块对应SVM和GAN的生成器‑判别器对偶结构，核方法正是对偶空间中的内积；半群与连续深度模型模块对应Neural ODE，其前向传播可视为一个半群作用，生成元的谱性质直接决定训练稳定性；神经算子模块对应傅里叶神经算子（FNO），它直接学习函数空间之间的映射，能在毫秒级完成传统PDE数值求解；Bellman算子模块对应强化学习中的策略迭代，其收敛性由Bellman算子的压缩映射性质保证，正是课程中“紧性与极小值存在性”的生动应用。每一讲的知识都能直接落地到具体问题。

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如果大模型真的让你开始怀疑“数学还值不值得学”，那恰恰说明：该学的，正是那些它替你学不掉的东西。期待这门课，能让更多读者因 AI 的热情，与泛函分析结缘。

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