范畴论的思考方式

普通人看表象, 聪明人看关系，数学家看“模式”。只要你好奇“如何清晰而深刻地思考问题？”，英国剑桥大学数学博士、华裔数学家郑乐隽的《用数学思考万物：范畴论趣味入门》就是为你准备的。

这本书展现了一套人人都能懂的“抽象―模式―结构”范畴论式思考框架。范畴论被称为“数学的数学”，它塑造的思维核心不是定理和公式，而是让你内化一种以关系、角色、模式、普遍性质、等价和对偶等为基础的认知框架，而这正是深度思考背后的共通模式。

英国剑桥大学数学博士，谢菲尔德大学终身教职，畅销科普作家郑乐隽的这本《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》并不需要你太多数学，就能帮你从日常生活、家庭关系、社会问题等具体问题中形成一套崭新的数学观，培养一种结构化、关联性强的思考能力，并将之迁移到学习、工作与生活中，把自己的思维方式升级到数学家的“高阶版本”。

《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》

作者：[英]郑乐隽（Eugenia Cheng）

译者：张浩

撰文 | [英]郑乐隽（Eugenia Cheng）

译者 | 张浩

数学建立在严谨和精确的基础之上。这门学科依赖大量的形式化内容，包括记号、术语，以及与日常表达略有不同的语言运用方式。这是赋予数学清晰性和力量的关键之一，但学习这种形式化可能会妨碍我们体会其精髓。我认为这就像学钢琴时过于在意弹对音符，以至于无法享受音乐本身。但另一个极端是，如果你从不在意弹对音符，那么有些曲子你永远无法演奏。

大多数数学教科书注重形式化，而较少关注其精髓，通常需要面对面授课的教师来传达文本未能或无法传达的精髓。问题在于，这样一来，数学最终可能会像一系列非常技术性的过程的汇编。数学越抽象，就越容易给人这种感觉，这对于范畴论来说尤其危险。

如果教科书是这样传达范畴论的，学习者也这样去学习，那么范畴论的实践实际上就有可能变成一系列非常技术性的过程。在本书中，我希望传达一些技术性内容，同时传递大量的乐趣。因为对我来说，进行范畴论研究的过程更像是在翱翔，而不是迈出一个个小的技术性步骤——至少在开始时如此。只有在确保一切真正严谨的时候，才会涉及那些小的技术性步骤。

所以，我想总结一下我认为“以范畴论的方式思考”意味着什么，而非仅仅是“做范畴论研究”。我想把我们在一路上提到的范畴论的各种原则汇总起来，以思想精髓收尾，而非终于技术性内容。

动 机

抽象的目的

抽象的目的是统一更多的例子（而不是远离它们）。有时范畴论可能会让人觉得是为了抽象而进行任意的抽象，在这种情况下，我认为缺少了某些东西。诚然，有时抽象是由某种内在逻辑驱动的，但如果得到的抽象不能统一任何东西，我就会对此表示怀疑。

结构性理解

我认为范畴论旨在理解事物背后的结构性原因，而不仅仅是构建形式化论证。数学中的一些证明只是按部就班地进行，将所有步骤串联起来得出结论。

我认为真正的范畴性证明不止于此，它能从结构上揭示某件事发生的一些深层次原因。

有一个例子是，我们发现 30 的因数范畴与 42 的因数范畴具有相同的形状。我们可以用几种方法证明这两个范畴是同构的。以下是这些方法，大致按照我认为的结构性理解深度递增的顺序排列。

1. 构建从一个范畴到另一个范畴的一个函子，并证明它在对象和态射上都是双射。

2. 构建从一个范畴到另一个范畴的一个函子，并找出它的逆。

3. 证明每个范畴都是 abc 的因数范畴，其中 abc , 是不同的素数。

4. 证明每个范畴都是积范畴 I 3 ，其中 I 是典型箭头范畴。

我希望大家清楚，这些证明中没有一个比其他证明更正确，并且它们都是用范畴论来表述的。但从它们所揭示的深层范畴性结构的意义上来说，它们的范畴性越来越强。

“经济型”范畴论

运用范畴论进行研究通常会涉及具有特定类型结构的范畴，比如积与余积、其他极限与余极限等。一种方法是所谓“丰富型”方法，即往范畴中加入大量的结构，因为你认为在自己所研究的任何范畴中都会有这些结构：我们不妨假设存在积，因为我们研究的所有范畴总是有积。这就好比有些人对待金钱的态度，如果他们确信自己总能拥有无限的金钱。

另一种方法是更“经济型”的方法，即精确地找出为了完成你想做的事情，究竟需要哪些结构，一方面是为了更好地理解它，另一方面是为了保留在结构非常少的范畴中完成这件事的可能性。

这种对范畴论更细致入微的处理方法在不太明显的领域找到越来越多样化应用的潜力更大，就像一个问题的经济型解决方案更具包容性，因为即使是那些没有钱随意挥霍的人也能采用。

我认为经济型范畴论更符合范畴论的精神，也许这只是我做范畴论研究时更喜欢的方式。

范畴论的研究过程

关于范畴论背后的动机就说这么多。以下是做范畴论研究的一个典型过程可能呈现的步骤。

1. 我们在某处看到一个有趣的结构。

2. 我们用范畴论的语言表述它，即仅使用某个相关范畴中的对象和态射。

3. 我们在其他范畴中寻找该结构。

4. 我们用它来证明在许多不同范畴中会立即成立的命题。

5. 我们研究它如何通过函子在范畴之间传递。

6. 我们探索如何对其进行推广，也许可以通过放宽某些条件来实现。

7. 我们研究它具有哪些泛性质。

8. 我们探讨是否可以通过范畴化将其推广到更高维度。

这通常包括对某件事有一个初步的预感，遵循你的范畴论直觉，然后用范畴论的语言使其精确化。这就是为什么我经常提出一些相当模糊的“思考”，因为范畴论的一部分内容就是将模糊的想法精确化。

范畴论的实践

在实际进行范畴论研究时，经常会遇到以下情况。

态射

范畴论的整个出发点是关注对象之间的态射，而不仅仅是对象本身。这一思想贯穿范畴论，因为我们始终关注的是结构之间的映射，而不仅仅是单个结构。因此，我们考虑的是特定类型结构的整体，而不仅仅是该结构的一个实例。有了态射之后，我们考虑的是同构而非相等，更一般地说，我们考虑的是所处维度下最弱形式的相同性。

推理

我们使用图推理，以充分利用几何直觉、逻辑和代数直觉。证明过程通常本质上是类型检查。我们会引用“显而易见的公理”，这些公理可能看似晦涩难懂，但一旦你理解了其原则，就不会觉得那么难了：这个原则是，如果我们有两种内在的结构性方法来处理相同的事物，那么为了避免结构上的不一致，它们应该是相同的。

融贯性

对于同一结构，我们通常有两种方法：一种是从局部开始，逐步扩展到整体视角；另一种是从整体开始，然后确定一个充分的局部视角。这两种方法总结在下表中。

融贯性问题是局部视图和整体视图如何相互对应的问题。范畴论中的结构通常依赖于同时具有这两者并理解它们之间的关系。

泛性质

我们尝试通过性质而非内在特征来刻画事物，并且在可能的情况下，最好通过泛性质来刻画。这有时需要对一个范畴进行扩充，以便在一个复杂的范畴中将某事物表示为一个简单的泛性质，然后将其拆解为一个更基础范畴中的复杂泛性质。

结构性意识

我们要时刻留意与结构的交互方式，以及我们对结构的使用方式。例如，在使用结合律时，我们要确保自己意识到这一点，而不是将其视为理所当然。

这有助于进行推广，特别是在高维情形中，我们过去认为理所当然的公理可能会变成我们现在必须追踪的结构性同构。我们还要留意自己是在调用某种结构的存在性，还是在展示某个具体的结构。例如，我们要清楚自己是在说事物“同构”，还是在展示它们之间的一个具体同构。明确具体情况更难，但能让我们有更精确的理解。

高维以体现细微差别

态射比对象具有更高的维度，能为我们提供更多的细微差别。更一般地说，我们引入的每一个更高维度都会带来更多的细微差别，同时也伴随着更多的复杂性。但我们的目标是学会如何应对这些复杂性，以便从增加的细微差别中受益。我认为这在生活中同样重要。生活中的争论常常变得过于非黑即白。我希望我们在数学论证以及生活的方方面面都能发现更高维的细微差别。