湖北
【解题研究】反比例中的几何直观——2026年扬州中考数学第8题
提起反比例函数的图象双曲线，学生不会陌生，人教版新教材将原本九年级下册的反比例函数提前至九年级上册，在二次函数之后接着学习反比例函数，有利于学生迁移前面的函数学习经验。2022版新课标中关于这一版块的教学提示中，也注明了“增强几何直观”的要求，反比例函数的几何直观多集中于双曲线上的点向坐标轴作垂线后构成的矩形，平时研究矩形面积与k值的关系比较多，但是否只有这一种研究方法，本题给出了另一种思路。
题目
一次函数y=-x+b(b>0)与反比例函数y=k/x(k>0)的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点，过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D，记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（ ）
A.S1 C2
C.S1>S2，C1 S2，C1>C2
解析
我们先从最“擅长”的矩形面积开始，对于矩形MAOB，它的面积可直接表示出来，即S1=k；
对于矩形NCOD，由于点N在直线与双曲线围成的区域内，所以DN一定与双曲线存在交点N'，不妨过点N'作N'C'⊥x轴于点C'，如下图：
从图中可知，矩形N'C'OD的面积大于矩形NCOD的面积，而点N'在双曲线上，则S2>k；
现在我们可以得到面积间的关系了，S1
再来看周长，设MA与ND交点为E点，如下图：
观察这两个矩形分别有一部分边长重叠或相等，我们只需要比较它们不重叠的部分即可，基于这个思路，矩形MAOB周长为2(OA+OB)，矩形NCOD周长为2(OC+OD)，用作差法，C1-C2=2(OA+OB-OC-OD)=2[OA+(OD+BD)-(OA+AC)-OD]=2(BD-AC)，由于BD=EM，AC=EN，所以我们来比较EM和EN的大小，延长DN交直线y=-x+b于点F，如下图：
由直线斜率可知△EFM是等腰直角三角形，即EF=ME，显然当点N在区域内时，EN EN，所以得到周长间的关系了，C1>C2；
综上，应该选择B.
解题思考
作为选择压轴题，难度适中，但考查方式却超出常规“套路”，有不少学生上手就设参表示点坐标，再表示周长进行比较，但无一例外被困在“N是它们所围成的区域内一点”上，没有将这个条件变成几何直观，其实这是一次函数图象性质研究中，我们常见的几何图形——等腰直角三角形。
以此反思函数教学中，究竟怎样才能增强几何直观？在函数背景下的点、线，均可以用坐标或解析式描述，但这些点、线间的几何关联，需要学生通过观察发现，不要一看到坐标系中的图形就设参求解析式，这个思维惯势并不符合课标要求，同时这也要求教师在课堂上，教学语言要慎重，诸如“看到某某就怎样”的灌输，还是少一些为妙。
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