量子伊辛模型中的微观“宇宙”

当温度不再是调控物相变化的唯一“旋钮”时，物质会呈现出怎样全新的量子形态？本文走进量子伊辛链模型这一类低维磁性强关联量子系统，从量子相变与临界行为出发，以准粒子激发刻画近临界量子伊辛链中的物理图像，由此展开对这一类丰富微观“宇宙”的探索。

在特定温度下，物质处于特定状态，例如高温时多呈气态，低温时多为固态。从高温降至低温时，物质通常会经历从气态到液态再到固态的转变。物理学中，物质的状态称为相，状态的转变称为相变。通过温度调控引发的系统相变，称为有限温度相变。

我们不禁会问：自然界是否存在通过与温度无关的物理量调控实现相变的系统？研究发现，这类系统广泛存在于量子多体系统中。量子多体系统是由大量相互作用的具有量子性质的粒子（如电子或原子）构成的复杂系统。这类系统的整体行为往往并非单个粒子行为的简单相加，而是表现出丰富奇异的物理现象，例如玻色-爱因斯坦凝聚、高温超导、超流、反常量子霍尔效应等。

量子相变

如果量子多体系统包含至少两种相互竞争、无法完全同时被精确测量的物理量，并且竞争强度可通过非热物理量调控，那么在绝对零度下该系统就会发生相变，称为量子相变[1]。例如，在玻色子晶格模型中，粒子间的相互作用强度和跃迁强度是一对相互竞争的物理量。当跃迁强度增加时，粒子不愿待在同一个地方，更倾向于在格点间穿行，这导致局域粒子数涨落幅度变大，使系统成为超流相；当相互作用强度增加时，粒子又被压制在一个地方，只在局部晃动，使系统成为（莫特）绝缘体。因此，在绝对零度下调控这一对物理量，可以产生一类称作莫特绝缘体-超流相的量子相变。

通常根据物理量在临界处的表现将有限温度相变分为一阶相变和二阶相变。一阶相变时，某些物理量会发生突变；二阶相变时这些量随参数的变化一阶连续可调，但二阶导数在相变点处出现突变，从图像上来看就像在临界点处突然发生了弯折。类比经典相变，量子相变也可分为一阶相变和二阶相变，相变发生处称为（量子）相变点或（量子）临界点。例如在一阶量子相变中，磁化强度、粒子密度或比热容等物理量在跨越临界点时会发生突变；在二阶量子相变中，这些量在数值上连续，但它们的斜率等二阶导数会突变。其中，一类从经典伊辛模型变化而来，被人们用来研究量子相变的微观模型被称作量子伊辛模型。

量子伊辛模型的微观“宇宙”

接下来介绍一种二阶磁性量子相变及其在相关扰动之下丰富的演生现象：在这一相变的临界点附近，会产生一系列不同的量子伊辛微观“宇宙”。称它们为 “宇宙”，是因为这些处在量子临界点附近的系统在注入能量后会自能量最低的基态（也称为真空态）产生一系列质量不同的“准粒子”激发。这一过程就好像是真实宇宙中自真空激发出各种粒子一样。具体而言，它们的能量和动量行为满足相对论描述的色散关系，只不过在这些系统中，原本相对论中的重要参数——光速——不再指真空中的光速，而是指处在具体系统中物理信息的最大传播速度。针对具体的能被这些量子伊辛模型所描述的材料来说，这一速度可以通过例如中子散射等实验手段高精度地测出，并且与理论预言十分吻合。

近年来，笔者及合作者团队已经在多个近临界量子伊辛模型的研究中取得一系列进展，包括临界横场伊辛链、量子E8粒子、量子D8(1)激发谱和暗粒子[2-10]。下面将介绍这些“宇宙”，揭示其“基本粒子”组成、运行规律及相关的实验观测。

横场伊辛链

横场伊辛链模型是研究量子伊辛“宇宙”的基础模型[1]。考虑一条处于热力学极限下的均匀格子链，每个格点有一个局域自旋。仅有最近邻的自旋存在相互作用，相互作用可负可正，对应的系统低能量子态中最近邻自旋指向倾向于同向或反向排列，分别称为铁磁/反铁磁伊辛相互作用。绝对零度时，量子多体系统处于基态（能量最低态）。在铁磁/反铁磁相互作用下，热力学极限下的伊辛自旋链基态对应完全同向（铁磁相）或近邻反向（反铁磁相）排列。翻转部分自旋会形成能量高于基态的激发态——以铁磁相互作用为例，能量高低取决于相反方向自旋对（称为畴壁）的数量，系统元激发本质由畴壁构成。若翻转所有自旋（如全部向上到全部向下），系统畴壁量保持不变，两种全同方向态能量相同。但热力学极限下，取决于穿过相变点时的微小真空磁涨落的指向，伊辛自旋链仅会选择其中一种状态稳定存在，这一现象称为自发对称性破缺。

进一步考虑施加横场的铁磁伊辛相互作用的伊辛链。若仅存在横向磁场（无相互作用），此时自旋链基态为独立指向横场方向的自旋直积态，称为量子顺磁相，这与伊辛相互作用的效果完全相反——伊辛相互作用倾向于使自旋的方向朝上或下状态。由于不同指向的自旋不对易，将导致这两种状态间的强烈竞争：从零场逐渐增强横向磁场，热力学极限下的横场伊辛自旋链必然经历从铁磁相到顺磁相的相变，相变临界点对应伊辛相互作用与横向磁场强度相当之处。

横场伊辛链在绝对零度（基态）下的相图g代表横场的大小，gc标定了铁磁相和顺磁相之间的相变临界点，蓝色箭头代表自旋方向。

横场伊辛链中由横向磁场主导的量子相变是二阶量子相变，在量子临界点处系统具有标度不变性。临界点处系统无能隙（即基态与第一激发态之间无能量间隔），这使我们能够从大空间尺度观测其低能物理（对应红外长波极限）。对系统进行标度极限处理（晶格间距趋于0，同时保证相互作用与晶格间距的乘积为常数），在低能物理区可得到具有共形不变性的1+1维量子场论——共形场论[8]。在刻画共形场论的常数中，中心荷是其中一个重要的量。由临界横场伊辛链低能近似所得到的共形场论的中心荷为1/2，即处于量子临界点的横场伊辛链的低能长波物理可由中心荷为1/2的1+1维共形场论所刻画。

另一方面，我们可通过约当-魏格纳变换（Jordan-Wigner transformation），将横场伊辛链映射为自由费米子链[1]。在零动量附近，费米子满足相对论性色散关系。费米子的质量正比于横场离开量子临界点的距离，在临界点处，费米子呈现无质量特性，这一近临界横场伊辛链展现出丰富的低能物理特性。例如，铁磁相中系统存在非零平均磁化，且伊辛自旋的空间两点关联函数在长程下保持有限，将两自旋的距离推至无穷之时，该两点关联函数恰好等于磁化强度的平方，由此可得到系统自发破缺后的非零磁化强度，对应于长程有序。当系统从铁磁相趋近相变点时，非零磁化呈现奇异的标度律——其强度与横向磁场和临界横场差值的1/8次方成正比。在临界点处，磁化自旋算符的空间两点关联函数表现出随距离 1/4 次方衰减的特征，而横向磁场自旋算符的关联函数则呈现随距离 2 次方衰减的规律。

随着对更多一维量子多体系统的研究，人们发现横场伊辛链中算符的临界行为，连同中心荷1/2、动力学临界指数1（此处不过多展开）等与临界行为相关的指数，也会出现在许多与横场伊辛链类似但更复杂的临界系统中，且这些性质与系统微观细节无关。因此，研究者将近临界区域内具有共同临界指数（不依赖微观细节）的量子多体系统归为一类，称作普适类。例如，横场伊辛链的量子相变临界指数与二维经典伊辛模型中热涨落驱动的经典相变临界指数一致，故二者均属于伊辛普适类。

更有趣的是，若对处于量子临界的横场伊辛链施加特定的微小扰动，系统将打开能隙。此时，由微扰产生的近临界伊辛系统展现出丰富的低能激发行为[2-10]。

伊辛普适类及其微扰在理论层面展现出丰富有趣的性质，驱动着人们在真实材料体系中寻找伊辛普适类。真实材料体系往往存在极端复杂的相互作用，而如前文所述，普适类的性质表明在相变系统展现临界行为的过程中，复杂的微观细节并非主导因素，这为寻找伊辛普适类提供了极大的便利。然而，受实验技术限制，真实环境只能无限趋近绝对零度而无法完全达到，因此需通过验证伊辛普适类在有限温度下的量子临界行为来佐证其存在[3]。

近年来，随着实验手段的精进和对材料体系认知的深入，研究人员已在铌酸钴（CoNb2O6）、钒酸钴钡（BaCo2V2O8）、钒酸钴锶（SrCo2V2O8）等一系列准一维强关联磁性材料中，在外加横向磁场下，将系统调至横场伊辛链量子临界点附近，观测到伊辛普适类[2,4,5]。对于特定材料，在恰当参数的调节之下，可将横场伊辛链的一维量子临界点调至材料的三维磁有序区。在三维磁有序区里，静态的磁序结构恰能为材料中的横场伊辛链提供一个等效的相关微扰场，这些微扰使得其中一些材料具备实现量子E8粒子和D8(1)粒子（出现在两种不同的近临界量子伊辛模型中的准粒子）等量子伊辛微观 “宇宙” 的潜力[2-10]。

纵向磁场微扰下量子临界点处的横场伊辛链

我们考虑在量子临界点处的横场伊辛链中引入一个纵向磁场的微扰。微扰是指其强度约为伊辛相互作用强度的1/10或以下。该纵向磁场的低能本征态为沿磁场方向的自旋，因此尽管纵向磁场也倾向使自旋向上或向下，但它与伊辛相互作用的区别在于：纵向磁场导致的自旋具有明确的方向性，而非依赖于初始微小扰动。此时，系统中翻转全部自旋后与原状态能量不再相同——翻转过程需要加入因纵向磁场作用而产生的所有额外能量。

我们可从另一视角分析纵向磁场的影响。在原始横场伊辛链的铁磁相中，系统能量的高低仅由畴壁数量决定。从一对畴壁开始，持续翻转近邻自旋时，由于畴壁数目不变，这些状态的能量均相同，即畴壁可在系统中自由传播。然而，纵向磁场的引入使得畴壁的传播需要消耗能量，这导致畴壁的传播随距离增加愈发困难，犹如给畴壁传播施加了一种禁闭效应。

横场伊辛模型中畴壁的自由传播和纵场微扰下横场伊辛模型中畴壁的禁闭传播(a)黑色虚线代表畴壁的位置，(b)箭头颜色从浅黄到橙色再到红色的变化示意随自旋畴壁传播所需能量的增加。

这种禁闭效应与量子色动力学中夸克的禁闭物理机制高度相似，进而启发我们：能否用类似物理过程理解纵向磁场微扰下临界横场伊辛链的物理机制？答案是肯定的。

事实上，可将被纵向磁场禁闭的这对畴壁视作一对夸克，而它们在传播过程中共同产生的物理现象，可由一对夸克对应的介子物理来描述。这一观点最早由麦科伊（B. McCoy）及其导师——吴大峻于1978年提出，尽管当时他们的研究对象是含纵向磁场微扰的二维经典伊辛模型热涨落相变点附近区域。

受此启发，扎莫洛奇科夫（A. Zamolodchikov）随后深入研究了临界点处纵向磁场微扰下的物理过程。他提出并证明：严格处于临界点时，纵向磁场微扰下的低能量子场论为可积量子场论。从此量子场论的真空中可激发出8种准粒子，且它们的质量关系满足一系列特定代数关系，比如其最轻的前两种粒子的质量比符合黄金分割比。

其中，若一个经典多粒子系统的守恒量的数量足够多，与该系统自由度相当，则这一类系统被称为经典可积系统，其典型特征为严格可解性与非混沌性——该经典可积系统中物理量的时间演化过程可被严格求解，且对初值不敏感。而量子可积系统则进一步要求存在无穷多的局域守恒量。借助微扰共形场论的方法，扎莫洛奇科夫揭示了纵向磁场扰动下临界横场伊辛链的低能量子场论部分局域守恒量特征。在此基础上，他大胆假设该量子场论为可积场论。由于可积场论在数学上对场论性质具有严格约束，基于这些约束可构建一系列方程组，用于求解对应场论中粒子质量、散射矩阵等信息。这类方程组被称为散射矩阵自举（bootstrap）方程，可被程序化自洽求解，且能依据预先得到的局域守恒量特征给出唯一解。该解不仅给出了可积场论中8种准粒子的质量关系，还揭示了它们的散射矩阵信息。扎莫洛奇科夫发现，这些粒子的质量关系与特殊的例外李代数——E8李代数紧密相关。

具体而言，质量对应E8李代数嘉当矩阵的单根，而前述局域守恒量及散射矩阵的结构则与E8李代数的 考克斯特数[以数学家考克斯特（H. S. M. Coxeter） 命名]相关。因此，该可积量子场论被命名为量子E8可积场论。后续通过数值微扰共形场论方法对模型进行直接计算，证实量子E8可积场论确实描述了纵场微扰下临界横场伊辛链的低能物理。至此，针对该系统低能物理的研究正式转向对量子E8可积场论的探索。

一般而言，对于具有相互作用的量子场论，计算其物理量及动力学需依赖费曼图的逐阶微扰展开，往往需要庞大的计算资源才能获得较为精确的结果。然而在可积场论中，存在另一种求解系统物理量与动力学的方法：通过求解物理量（可观测量）的形式因子（form factor）， 即任意两个本征态关于算符（局域可观测量）的跃迁矩阵元，将物理量或动力学的求解转化为形式因子对本征态的求和。这一方法可近乎严格地求解一定能量截断下的完整动力学过程，而形式因子的求解本质上依赖于可积性。如前文所述，可积场论的性质对形式因子亦具有严格的数学约束，这些约束构成了一系列形式因子满足的方程，即形式因子自举方程组。该方程组由数学物理学家斯米尔诺夫（F. A. Smirnov）系统推导并提出[10]。结合特定可积场论的信息，可通过自洽迭代逐步求解形式因子，进而得到对应量子场论的物理量与动力学行为。

与探索伊辛普适类相似，一个亟待解答的问题是：能否在真实系统中发现量子E8可积场论及其蕴含的量子E8粒子？答案同样是肯定的。实现量子E8可积场论的关键在于具备伊辛普适类条件，且在临界点附近存在纵向磁场微扰。在真实材料中，伊辛相互作用多为反铁磁类型，这要求对应的纵向磁场微扰在格点上交错排列。然而，以现有实验技术，在材料微观尺度上人为施加这种磁场微扰几乎无法实现，因此需借助其他手段来达成这一微扰。幸运的是，准一维反铁磁材料BaCo2V2O8在沿特定方向施加横场时所实现的伊辛普适类，被深度包裹在三维反铁磁相中。在单链平均场的图像下，这一反铁磁相有效提供了完整的交错纵向磁场微扰，使得在BaCo2V2O8的一维临界点附近观测量子E8粒子成为可能。近年来，通过理论、实验与数值算法相结合的一系列研究，已充分验证了BaCo2V2O8中量子 E8粒子的存在，包括量子 E8粒子单粒子的质量比，以及长波极限下的相对论色散关系。根据相关实验数据，还可得出在 BaCo2V2O8构成的量子伊辛微观“宇宙”中，其“有效光速”（即该系统中磁信息传播的速度上限）约为1600米/秒[2,4-5]。

两条弱耦合的量子临界横场伊辛链

我们要介绍的另一个量子伊辛“宇宙”由两条通过弱伊辛相互作用耦合的临界横场伊辛链构成。若不存在这一弱耦合，两条独立临界横场伊辛链的长波低能物理可由等效中心荷为1的共形场论描述。一种直观理解是：从临界横场伊辛链的无质量自由马约拉纳费米子出发，借助玻色化方法，可将两个无质量自由马约拉纳费米子整合为等效的自由玻色子，而自由玻色子的中心荷恰好为1。当激活两链间的伊辛相互作用时，该作用会打开系统能隙，亦会导致如前述纵场扰动下的量子临界横场伊辛链中类似但更加丰富的禁闭效应[6-9]。这种禁闭效应也会产生8种稳定的准粒子激发，但相比于量子E8粒子，这些准粒子则具有更加复杂的性质。它们包含2种孤子及6种呼吸子。这些准粒子谱与一类正弦-戈登模型的准粒子谱对应，可由D8(1) 李代数刻画。然而，其散射矩阵与正弦-戈登模型存在一些差异，因此这一新可积场论模型被命名为Isingh2可积模型[6-9]。

(a)—(c) 和(d)—(f)：弱耦合的量子临界横场伊辛链中两种不同的禁闭效应图示(b)—(c)中的禁闭效应与量子E8“宇宙”中的类似，(d)—(f)则为新型的禁闭效应。虚线代表畴壁的位置，颜色变化示意随自旋畴壁传播所需能量的增加。

借鉴正弦-戈登模型中的语言，Isingh2模型中的6种呼吸子还可进一步按宇称划分——奇数标号的呼吸子具有奇宇称，偶数标号的具有偶宇称，且系统的真空态（基态）为偶宇称。这会导致，若要从真空态完整独立激发出奇宇称呼吸子，必须借助能改变宇称类型的算符。理论证明，所有局域或准局域自旋算符操作都无法实现宇称类型的改变。因此，与大多数最终稳定于基态的量子多体模型不同，能量最低的奇宇称呼吸子能够抵抗真空涨落并稳定在这一本征态上。同时，由于局域自旋动力学无法激发这些呼吸子，独立的奇宇称呼吸子激发在动力学谱上完全不可见，这如同宇宙中无法与电磁场直接耦合的暗物质，因此这些呼吸子也被称为暗粒子。由于Isingh2模型中真空态和能量最低的暗粒子态恰好构成一对长时间稳定、不衰减的两能级系统，我们进而设想可通过制备暗粒子态来实现稳定的量子比特[6-8]。

总 结

我们可以将每一个量子多体系统视为一个小小的“宇宙”，去研究这每一个微观“宇宙”内的物理规律。在这些微观“宇宙”中，由准粒子集体激发描述的理论为我们理解相关量子多体系统提供了新颖且简洁明确的物理图像。基于理论预言从而操控相关量子材料，或者在冷原子系统中制备对应的准粒子激发，则进一步为基础科学理论在实际工程学中的应用提供了坚实的理论基础。

作者简介

王骁，博士后：康奈尔大学物理系。

吴建达，长聘副教授：同济大学物理科学与工程学院，上海200092；合肥国家实验室上海基地，上海 200123。wujd@tongji.edu.cn

Wang Xiao, Postdoctor, Department of Physics, Cornell University.

Wu Jianda, Tenured Associate Professor: School of Physics Science and Engineering, Tongji University, Shanghai 200092; Shanghai Branch, Hefei National Lab, Shanghai 200123.

[1]Sachdev S, Quantum phase transitions. Cambridge: Cambridge University Press, 2011.

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[4]Zou H Y, Cui Y, Wang X, et al. E8 spectra of quasi-one-dimensional antiferromagnet BaCo2V2O8 under transverse field. Physical Review letters, 2021, 127(7): 077201.

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[6]Gao Y J, Wang X, Xi N, et al. Spin dynamics and dark particle in a weak-coupled quantum Ising ladder with D8(1) spectrum. Physical Review B, 2025, 111: L201117.

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[10]Smirnov F A. Form factors in completely integrable models of quantum field theory. Singapore: World Scientific, 1992.

关键词：量子可积系统 低维强关联材料 量子相变 量子临界 量子伊辛模型■

本文刊载于2026年第78卷第4期《科学》杂志（P32-P36）

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《科学》杂志于1915年1月在上海问世，

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