测不准原理究竟是什么意思？ | 袁岚峰

向大家推荐一家著名的科普杂志，它叫做《科学世界》，由中国科学院科学出版社主办，制作精美，声誉卓著。他们邀我开了一个专栏，从 2025年1月开始。下面来介绍我在《科学世界》2025年12月刊的文章，标题是《测不准原理究竟是什么意思？》（）。

当你听到量子力学（quantum mechanics）中有个测不准原理，会不会感到十分迷惑？例如有人就曾问我，测不准原理是不是意味着我国的导弹会打不准？后边大家就会明白，答案是几乎没有影响。

这个原理究竟是怎么来的呢？经常见到的一种说法是类似这样：要测量一个体系的某个性质，就需要测量仪器跟这个体系发生相互作用。对于宏观物体，测量仪器可以做得比这个物体小得多，所以对这个物体的干扰可以忽略不计。但对于微观体系，测量仪器的大小会跟这个体系处于同一量级，甚至比待测体系还大。例如要确定一个电子的位置，你至少也要发一个光子过去，而一个光子就会对电子的位置产生很大的扰动，所以你无法测得精确的位置。

这种说法对不对呢？其实，这属于典型的似是而非。测不准原理的提出者海森伯（Werner Karl Heisenberg，1901 - 1976）就经常这样表述，但即使如此它也是错的。它最糟糕的地方，就在于让读者以为测不准是由于测量仪器的限制。那么读者立刻就会想到，改进仪器就有可能突破这种限制。实际上，测不准是待测体系本身的性质，所以无论怎么改进仪器都不能改变它。这话听起来很难理解，是吧？我们后边会来详细解释它。

再来看看推翻测不准原理的努力。这个原理最常见的表述方式之一，就是一个体系的位置和动量不能同时测准。这话听起来十分怪异，所以我见过很多人、很多书、很多文章，力图论证测不准原理是错的。最常见的论证方式，就是设计某种测量方法，认为按照这种方法就能同时确定一个体系的位置和动量。

我可以在这里给个结论，所有这种论证都是错的。如果你仔细去找，总是可以找到这些测量方法的某种缺点，导致它不能达到目的。不过在这里我并不打算逐个去分析这样的例子，因为完全没有必要。看到后边你就会明白，这就好像所有的永动机设计方案都是错的，因为永动机这个目标违反能量守恒定律，所以你不用挨个仔细看，就能知道它们是错的。

到这里为止，我们说了一堆对测不准原理的错误理解。那么正确的理解该是什么？正确的理解包括好几层。

第一层，测不准原理其实只是个俗称，这个原理的正规名称叫作不确定性原理（uncertainty principle）或者不确定性关系（uncertainty relation）。看到这个名字，你是不是立刻就产生一个感觉：这个原理说的是待测体系本身的性质，而不是测量仪器的问题？有这个感觉就对了。

第二层，不确定性原理谈论的对象，是物理量的不确定度。物理量为什么会有不确定度？这话对没有听过量子力学的人来说，可能比较难以理解。但对看过我们前面几期文章的人来说，很快就可以明白：因为量子力学中的测量结果是概率性的。

让我们回顾一下，量子力学中的测量是怎么回事。假如一个体系可以处于|0>和|1>两个基本状态（回顾一下，|>这个符号叫作狄拉克符号，用来表示量子力学中的状态），那么根据叠加原理（superposition principle），这个体系就可以处于|0>和|1>的任意线性叠加（linear superposition），即任意的a|0> + b|1>，其中a和b是两个数，对它们唯一的限制是|a| 2 + |b| 2 = 1。

然后，当我们要对这个体系做测量的时候，我们首先要选定一个基组（basis set）。所谓基组，就是一组基本状态的集合，它们的线性叠加可以表示出这个体系允许取到的所有状态。在这里，我们就取最简单的例子，即用|0>和|1>这个基组，对a|0> + b|1>这个状态做测量，那么结果是什么呢？

如以前的文章所述，结果是以|a| 2 的概率得到|0>，|b| 2 的概率得到|1>。当然，如果a = 0，就会100%即确定地得到|1>，如果b = 0，就会100%即确定地得到|0>。但这是特殊情况，在大多数情况下，a和b都不等于0，测量结果就是概率性的，两种结果都有一定的概率出现。这个概率性，就是量子力学的本质特征，它是无法消除的。再来回顾一下，一个物理量在测量之前总有个确定的值等着你去测，这是经典力学的世界观，但量子力学正是告诉我们，这个世界观是错的！

假如我们定义一个物理量X，它对|0>这个态取值为0，对|1>这个态取值为1，那么请问，对(|0> + |1>) / sqrt(2)这个叠加态，这个物理量的取值会是什么呢？你立刻就知道答案了，取值是不确定的，它会以一半的概率取到0，一半的概率取到1。用稍微数学一点的语言说，测量结果是一个分布（distribution）。我们可以事先预测这个分布，但无法预测单次测量的结果。

知道了这个分布，我们就可以定义X这个物理量的平均值（average value），或者叫作期望值（expectation value），往往用 来表示。在这个例子中，期望值显然就是

= 0 × 1/2 + 1 × 1/2 = 1/2

知道了期望值以后，又可以定义这个分布的方差（variance），它是这个物理量与自己的期望值的差的平方的期望值，即<(X - ) 2 >，往往用Var(X)来表示。在这个例子中，就是

Var(X) = (0 - 1/2) 2 × 1/2 + (1 - 1/2) 2 × 1/2 = 1/4

再下一步，方差的平方根就叫作标准差（standard deviation），往往用 Δ X来表示。在这个例子中，就是

Δ X = sqrt(1/4) = 1/2

实际上，标准差就是这个物理量的不确定度（uncertainty）。现在大家明白了吧？只要一个物理量的测量结果是概率性的（这是非常常见的情况），它就会有个不确定度。

一大关键在于，只要给定了待测状态，这个物理量的不确定度就是可以事先算出来的，它跟测量仪器毫无关系。并不是因为测量仪器不够准才导致不确定，而是因为待测状态就决定了测量结果是一个分布，由此导致不确定。

了解了物理量的不确定度之后，我们再来解释不确定性原理实际说了些什么。它说的是，对于一个体系的两个物理量，它们的不确定度的乘积有个下限。具体而言，对于两个物理量A和B的不确定度 Δ A和 Δ B，它们的乘积会满足

这个不等式的右边是什么？它其实是：

这个算符（operator）在待测状态中的期望值的绝对值除以2。

咦，什么叫作算符？我们稍后再来解释。在这里，只需要明白一个基本点就够了：不确定性原理谈的不是一个物理量的不确定度，而是两个物理量的不确定度的乘积。一个物理量的不确定度完全可以是0，因为有可能找到使它为0的待测状态。但如果不等式右边那个值不为0，那么两个物理量的不确定度的乘积就不可能是0，无论你找什么样的待测状态都不行。这就是不确定性原理告诉我们的惊人的事实。

上面这些论述，可能已经绕得你晕头转向。来看一个具体的例子，你就清楚了。不确定性原理最广为人知的例子，就是开头说的，一个体系的位置和动量不能同时确定。实际上，对此严格的数学表述是Δ x Δ p ≥ ħ /2

其中 Δ x是x方向坐标的不确定度， Δ p是（x方向）动量的不确定度，两者乘起来必然大于等于 ħ /2。这个 ħ 是什么呢？它叫作约化普朗克常数（ reduced Planck constant ），等于普朗克常数 h 除以 2 π ，约等于1.0546 × 10 -34 J · s。本来先发现的是普朗克常数，但在后来的理论推导中，人们发现 h /2 π 非常频繁地出现，于是给它起了个名字约化普朗克常数，还给了它一个专用的符号 ħ 。搞笑的是，由于 ħ 比h用得多得多，有时出现h的时候，我们还宁可把它写成2 πħ ，——倒反天罡了属于是！

了解了这些之后，来考虑考虑，

Δ x Δ p ≥ ħ /2

这个不确定性关系告诉我们什么？

它告诉我们很多东西。例如对于一个 Δ x = 0即位置完全确定的粒子，它的 Δ p必然等于无穷大，即动量完全不确定。而对于一个 Δ p = 0即动量完全确定的粒子，它的 Δ x必然等于无穷大，即坐标完全不确定。而对于某种中间状态，例如氢原子中的电子，它的 Δ x和 Δ p都不等于0，把实际的值代进去，你会发现它们的乘积确实大于 ħ /2这个下限，不过相差不多，处于同一量级。根据这个原理还可以估算氢原子的半径，然后会发现确实跟实际值（约为0.529 Å ，1 Å 等于10的-10次方米）处于同一量级。

一个有趣的问题是，把这个原理用到宏观物体上，会怎么样？答案是几乎没有影响。例如对于一粒肉眼看不见的微尘，直径约为1微米（即10的-6次方米），质量约为10的-12次方克，速度约为0.1厘米每秒，那么它的动量约为10 -18 kg · m · s -1 。 再假设对它的位置测量达到一个极高的精度，10的-10次方米，即相当于一个氢原子的直径。那么请问，它的动量不确定度等于多少？按照不确定性关系，会得到

Δ p ≈ ħ / Δ x ≈ 10 -24 kg · m · s -1

由此得到的动量相对误差

Δp / p ≈ 10-6

这仍然是一个非常小的相对误差，实验上都很难达到。这还是对于一粒微尘，随着物体质量的增大，动量的绝对值会变得更大，动量的相对误差会变得更小，所以对于宏观物体，不确定性原理几乎不产生任何影响。这就是为什么，我们不需要担心我国的导弹打不准！

因此，不确定性原理是一个对微观非常重要、对宏观非常不重要的原理。了解到这一层，你就超过了99%的人。

那么，不确定性原理是怎么来的呢？许多书籍和文章大谈它的哲学意义，让许多人产生一个感觉，好像它是个基本原理，从天上掉下来的。但其实完全不是这样，不确定性原理是一个定理。

是的，所谓测不准原理其实是一个定理。如果你知道这一点，你就超过了99.9%的人。

这个定理是怎么证明的呢？可以参见任何一本量子力学教科书，例如曾谨言先生的教材。其实说到底，这个定理来自量子力学中对物理量测量值的定义。只要你接受这套定义，再加上一些不算很复杂的数学推导，就可以推出这个定理。简单说一句，这个数学推导的基本思路其实就是柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality），这个不等式在许多领域中都有表现，而它最简单的表现就是平面几何中的：三角形的任意两边之和大于第三边。仔细看看

这个形式，你是不是有所领悟了？

到这里为止，你对不确定性原理的了解已经超过了99.99%的人。还有什么不知道的？可能还剩下一点，就是一个物理量的测量值究竟是怎么计算的。这个说起来可就长了，要牵涉到算符。在这里我们只做一些非常粗略的讲解，因为一旦要详细讲解，就会发现需要整本量子力学教材。

算符就是一种操作或者说一种运算规则，它作用在一个函数上，得到一个函数。例如，“乘以一个常数”就是一个算符，“求导”也是一个算符。在量子力学中，每一个物理量都对应一个算符，常用字母上加一个三角帽子来表示，即把物理量A对应的算符写成Â。

实际上，两个算符相乘也是一个算符，两个算符相减也是一个算符，因此给定两个算符

之后，

也是一个算符。我们把它称为

的对易子（commutator），记为

。这里的关键在于，算符可以不满足交换律，即 的对易子可以不等于 0，这时我们说这两个算符不对易。一个经典的例子，就是穿鞋是一个算符，穿袜子也是一个算符，但你先穿鞋再穿袜子，和先穿袜子再穿鞋，得到的结果就完全不是一回事。

不确定性关系的右边，其实就是的对易子在待测状态下的期望值的绝对值除以 2 。不确定性关系说的就是， A 和 B 的不确定度的乘积不会小于它。

在量子力学中最基本也最著名的不对易的例子，就是x和p的对易子是个常数，等于iħ。由此推出，对于任意状态，都有

Δx Δp ≥ ħ/2

实际上，如果你学过信号与系统，了解傅里叶变换（Fourier transform），你就会发现，以上推理在数学上完全等价于信号在时域与频域的关系：在时域越窄（即在时间上集中），在频域就越宽（即在频率上弥散）；在频域越窄，在时域就越宽。无论如何也不可能让一个信号在时域和频域都很窄，因为它在时域的宽度和在频域的宽度相乘有个下限。

如果不熟悉时域和频域，我们还可以换一种更直观的表述。假设握住一根绳子的一端，上下摆动产生一个波。这时“波在哪里”就不是一个好问题，我们只能说它分布在一个范围内。而如果问“波长是多少”，就可以有一个很好的回答。

如果我们突然抖动绳子，又可以得到一个沿绳子传播的很窄的波峰。这时“波在哪里”这个问题就有答案了，但是“波长是多少”又没有意义了——它甚至没有一个周期。当然也可以有介乎两者之间的情况，但是无论如何都无法让两个问题同时获得很好的定义：波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。

上面谈的是宏观的波动现象，但惊人的是，量子力学中的不确定性原理跟它共享同样的数学原理。这种简明而深刻的科学之美，你感受到了吗？

■ 作者简介

袁岚峰

中国科学技术大学科技传播系副主任

中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员

科技与战略风云学会会长

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