优思学院 - 箱线图怎么画？从四分位数到异常值，一次看懂

箱线图（Boxplot）是一种非常常见的数据分析图表。

在质量管理、六西格玛和统计分析中，我们经常需要回答几个问题：

一组数据主要集中在哪里？

波动大不大？

数据有没有明显偏斜？

有没有异常值？

不同机器、不同供应商、不同班次之间，数据分布是否存在差异？

箱线图的优势就在于，它可以把一整组数据压缩成一个非常简洁的图形，让我们快速看出数据的中心位置、离散程度和异常情况。

不过，要真正看懂箱线图，就必须先理解它背后的几个数字。

一、箱线图主要由什么组成？

传统箱线图的核心，来自几个关键位置：

最小端
第一四分位数 Q1
第二四分位数 Q2，也就是中位数
第三四分位数 Q3
最大端

其中最重要的是 Q1、Q2 和 Q3。

Q1 可以理解为第 25 百分位附近的位置。

Q2 是第 50 百分位，也就是中位数。

Q3 是第 75 百分位附近的位置。

在图形上，Q1 到 Q3 之间会画成一个长方形，这就是「箱子」。

Q2 会在箱子内部画一条线。

因此，箱子大致代表数据中间 50% 的范围。

箱子越短，说明中间一半的数据越集中。

箱子越长，说明数据波动越大。

而箱子两端延伸出去的线，就是所谓的「须」。

二、画箱线图的第一步：先把数据排序

不论有多少个数据，第一步永远都是：

把数据从小到大排列。

例如：

62、65、69、70、74、78、81、83、87、89、93

这组数据本身已经排好。

接下来，我们就可以找 Q1、Q2 和 Q3。

不过，在这里必须特别注意：

数据个数是奇数和偶数时，计算方法会稍有不同。

三、数据个数是奇数时，Q1、Q2、Q3 怎么算？

假设有 11 个数据：

62、65、69、70、74、78、81、83、87、89、93

因为一共有 11 个数据，所以中间正好有一个数。

第 6 个数据是：

78

所以：

Q2 = 78

接下来，把中位数 78 暂时排除，再把剩余的数据分成上下两半。

较小的一半是：

62、65、69、70、74

较大的一半是：

81、83、87、89、93

下半组一共有 5 个数据，中间那个数是 69。

所以：

Q1 = 69

上半组也是 5 个数据，中间那个数是 87。

所以：

Q3 = 87

最终得到：

Q1 = 69
Q2 = 78
Q3 = 87

这里采用的是一种很适合手工计算和课堂教学的方法：

当总数据数量是奇数时，先找整体中位数，再把中位数排除，然后分别求上下两半数据的中位数。

四、数据个数是偶数时，中位数怎么算？

如果数据个数是偶数，最中间就不会只有一个数字。

这时候，中位数要取中间两个数据的平均值。

例如有 10 个数据：

62、65、69、70、74、78、81、83、87、89

一共有 10 个数据。

最中间的是第 5 个和第 6 个数据：

74 和 78

所以：

Q2 =（74 + 78）÷ 2

Q2 = 76

这里有一个很重要的概念。

中位数不一定是原始数据里面实际出现过的数字。

虽然这组数据里面并没有 76，但是 76 仍然可以作为中位数。

因为中位数的作用是把数据分成数量大致相等的上下两部分，而不是要求它一定来自原始观测值。

五、偶数个数据时，Q1 和 Q3 怎么算？

继续使用刚才 10 个数据的例子：

62、65、69、70、74、78、81、83、87、89

总共有 10 个数据，所以可以直接平均分成上下两组。

下半组：

62、65、69、70、74

上半组：

78、81、83、87、89

下半组一共有 5 个数据，其中位数就是中间那个：

69

所以：

Q1 = 69

上半组也是 5 个数据，其中位数是：

83

所以：

Q3 = 83

最终得到：

Q1 = 69
Q2 = 76
Q3 = 83

六、如果上下半组自己也是偶数怎么办？

这才是很多学生最容易混淆的地方。

假设现在有 12 个数据：

62、65、69、70、74、78、81、83、87、89、93、97

总数据数量是 12。

先计算 Q2。

中间两个数据是第 6 个和第 7 个：

78 和 81

所以：

Q2 =（78 + 81）÷ 2

Q2 = 79.5

接下来，把 12 个数据分成上下两半。

下半组：

62、65、69、70、74、78

上半组：

81、83、87、89、93、97

这时候，每一半都有 6 个数据。

也就是说，上下半组本身也是偶数。

所以，Q1 不能只选其中一个数字，而要取下半组中间两个数字的平均值。

下半组：

62、65、69、70、74、78

中间两个数字是：

69 和 70

所以：

Q1 =（69 + 70）÷ 2

Q1 = 69.5

再来看上半组：

81、83、87、89、93、97

中间两个数字是：

87 和 89

所以：

Q3 =（87 + 89）÷ 2

Q3 = 88

最终得到：

Q1 = 69.5
Q2 = 79.5
Q3 = 88

这个例子其实揭示了一个很简单的原则。

在这种手工计算方法下：

Q1 就是下半组的中位数。

Q2 就是全部数据的中位数。

Q3 就是上半组的中位数。

而计算「中位数」时，只需要记住一个规则。

如果数据数量是奇数，就直接取最中间的那个数。

如果数据数量是偶数，就取中间两个数的平均值。

无论是在计算 Q1、Q2 还是 Q3，逻辑都是一样的。

七、可以这样快速记忆

例如 5 个数据：

1、2、3、4、5

中位数就是：

3

如果是 6 个数据：

1、2、3、4、5、6

中间两个是：

3 和 4

所以中位数为：

（3 + 4）÷ 2 = 3.5

因此，在学习箱线图时，不需要把 Q1、Q2、Q3 看成三套不同算法。

可以简单理解成：

Q2 = 全部数据的中位数

Q1 = 下半组数据的中位数

Q3 = 上半组数据的中位数

这样会容易得多。

八、有了 Q1、Q2、Q3，接下来计算 IQR

找到三个四分位数以后，下一步是计算 IQR。

IQR 的英文全称是：

Interquartile Range

中文叫「四分位距」。

公式是：

IQR = Q3 − Q1

例如在前面 11 个数据的例子中：

Q1 = 69

Q3 = 87

所以：

IQR = 87 − 69

IQR = 18

IQR 代表中间 50% 数据所跨越的范围。

它也是箱线图判断异常值的关键指标。

九、为什么还要计算 1.5 × IQR？

常见的箱线图，并不是简单地把「须」拉到最小值和最大值。

它通常会先判断哪些数据可能属于异常值。

计算方法是：

下界 = Q1 − 1.5 × IQR

上界 = Q3 + 1.5 × IQR

继续使用刚才的例子。

Q1 = 69

Q3 = 87

IQR = 18

因此：

下界 = 69 − 1.5 × 18

下界 = 42

上界 = 87 + 1.5 × 18

上界 = 114

也就是说：

低于 42 或高于 114 的数据，会被视为潜在异常值。

十、箱线图的「须」到底画到哪里？

这是一个很常见的误区。

很多人认为：

下须一定等于最小值，上须一定等于最大值。

实际上，在常见的 Tukey 箱线图画法中：

下须延伸到仍然位于下界之上的最小实际观测值。

上须延伸到仍然位于上界之下的最大实际观测值。

如果所有数据都没有超过异常值界限，那么下须刚好就是最小值，上须就是最大值。

如果某一个数据超出了界限，就不能再直接把须画到那个数据。

十一、举一个有异常值的例子

假设数据变成：

62、65、69、70、74、78、81、83、87、89、150

其中最后一个数据是 150。

假设经过计算：

Q1 = 69

Q3 = 87

所以：

IQR = 18

上界为：

87 + 1.5 × 18 = 114

但是：

150 > 114

所以 150 超出了上界。

它会被标记为潜在异常值。

这时候，上须不会直接画到 150。

而是画到仍然位于 114 以内的最大实际数据。

150 则会在箱线图外面单独画成一个点。

十二、箱线图应该怎样一步一步画出来？

假设我们已经算出：

下须 = 62

Q1 = 69

Q2 = 78

Q3 = 87

上须 = 93

绘图时，可以先画一条数据刻度轴。

接着，在 Q1 到 Q3 之间画一个长方形。

也就是从 69 到 87 形成一个箱子。

在 78 的位置画一条线，代表中位数 Q2。

从 Q1 的位置向较小方向延伸一条线到 62。

从 Q3 的位置向较大方向延伸一条线到 93。

在线的末端通常会再画一条短横线。

这两条延伸出去的线，就是箱线图的「须」。

如果存在超过 1.5 × IQR 界限的数据，则把这些数据单独画成圆点、星号或其他符号。

这样，一张完整的箱线图就完成了。

十三、为什么有时候不同软件算出的 Q1 和 Q3 不一样？

这是学习箱线图时非常重要的一点。

很多学生会发现：

同一组数据，在手工计算、Excel、Minitab、Python、R 或不同教材中，Q1 和 Q3 有时候并不完全一样。

这并不一定是谁算错了。

原因是：

四分位数并没有只有一种计算方法。

不同统计方法对于「第 25 百分位到底位于哪里」可能有不同定义。

有些方法采用上下半组中位数法。

有些方法通过位置公式计算。

有些软件会使用线性插值。

有些算法还会对总体中位数是否纳入上下半组作不同处理。

因此，在小样本情况下，不同算法的 Q1 和 Q3 可能出现轻微差异。

对于实际分析而言，真正重要的是：

同一个项目中保持计算方法一致。

十四、箱线图到底怎么看？

学会画箱线图只是第一步。

更重要的是会解释。

看中心位置

箱子中间那条线就是中位数。

中位数越高，代表这一组数据整体位置越高。

看波动

Q1 到 Q3 之间的距离就是 IQR。

箱子越长，说明中间 50% 数据分布越散。

箱子越短，说明数据越集中。

看偏斜

如果中位数非常接近箱子的某一边，或者某一边的须明显比另一边长，数据可能存在偏态。

看异常值

如果箱线图外面出现孤立的数据点，就要注意这些数据可能属于潜在异常值。

在六西格玛项目中，这些数据往往值得进一步调查。

十五、箱线图最适合比较不同组的数据

箱线图很适合放在一起比较多个组别。

例如比较：

不同机器的产品尺寸

不同供应商的来料质量

不同生产线的周期时间

不同班次的缺陷率

改善前与改善后的数据

不同地区的客户等待时间

这时候，我们不只看平均值。

还可以同时比较中位数、波动、异常值和分布形态。

十六、箱线图不能告诉我们的事情

箱线图虽然非常实用，但它并不是万能的。

例如，它不能单独证明一组数据符合正态分布。

箱线图可以帮助我们观察：

中心位置

数据波动

偏态迹象

异常值

但是如果要正式判断数据是否近似正态分布，通常还需要结合直方图、概率图或正态性检验。

因此，在六西格玛中，箱线图更适合作为探索性数据分析工具。

十七、手工绘制箱线图，可以记住这套流程

如果以后需要自己手动画箱线图，可以按照下面的逻辑：

先把数据从小到大排列。

找到全部数据的中位数 Q2。

再把数据分成上下两半。

下半组的中位数就是 Q1。

上半组的中位数就是 Q3。

如果某一组有偶数个数据，就取中间两个数字的平均值。

接着计算：

IQR = Q3 − Q1

再计算：

下界 = Q1 − 1.5 × IQR

上界 = Q3 + 1.5 × IQR

超过上下界的数据，标记为潜在异常值。

箱子画在 Q1 到 Q3 之间。

中位数 Q2 画在箱子内部。

两边的须，则延伸到仍然位于异常值界限以内的最远实际观测值。

理解了这套逻辑，箱线图就不再只是一张由统计软件自动生成的图。

它其实是一种非常直观的数据语言。

一长串原本不容易看懂的数据，被压缩成一个箱子、两条须、一条中位数线，以及几个可能的异常点。

对于质量管理和六西格玛来说，箱线图真正的价值就在这里：

让差异、波动和异常更容易被看见。