布尔戈斯大教堂辛波里奥的八角形几何图案

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本文对布尔戈斯大教堂中以科尔多瓦比例为特色的元素进行了几何分析。它以非凡的比例为基础，通过玫瑰花形和超立方体，激发了数学和装饰方面的创造力。

简介

布尔戈斯是西班牙卡斯蒂利亚和莱昂地区的一座城市（图 2）。其大教堂造型独特的尖塔和庄严的塔楼是西班牙哥特式艺术最精美的成就之一（图 1）。布尔戈斯大教堂被联合国教科文组织宣布为世界文化遗产[Rico Santamaria 1985]。

图1：布尔戈斯大教堂

图2：西班牙卡斯蒂利亚·莱昂（灰色）

阿方索六世建造了这座名为圣玛丽亚（Santa María）的11世纪罗马式大教堂（始于 1075 年，竣工于1096年），西班牙著名贵族和军事领袖罗德里戈·迪亚斯·德·维瓦尔（Rodrigo Díaz de Vivar，人称 Cid Campeador）就是在这座教堂流亡的。西班牙史诗《Cantar del Mío Cid》讲述了这一历史事件和这位卡斯蒂利亚骑士的英雄事迹，将中世纪西班牙基督教王国与阿拉伯人之间的战争历史与传说融为一体。

现在的大教堂是国王、主教、建筑师、雕刻师、工匠、大理石工人、铁匠等集体努力和干预的结果。13世纪初，许多因素推动了新大教堂的建设：历史的活力、城市的支持、布尔戈斯镇在卡米诺·德·圣地亚哥的战略地位，以及主要是主教毛里西奥的任命，他是一位深受国王费迪南德三世信任的德高望重的人。在游历了法国和德国之后，这位主教敦促斐迪南国王建造一座巨大而庄严的新大教堂。1221年7月20日，新大教堂奠基。

布尔戈斯大教堂的建筑方案受到了法国哥特式设计的影响，15世纪后，还受到了德国艺术灵感的影响。它的建筑经历了许多阶段和风格：从古典哥特式（从1221年到14世纪上半叶）到晚期哥特式（从14世纪下半叶到16世纪上半叶）。文艺复兴和巴洛克风格的一些元素也存在，但它们不那么突出。

几何图案

大教堂的一些重要元素都是在第二阶段建造的：八角形尖塔、八角形康德斯特伯格礼拜堂（中世纪时，康德斯特伯格是军事职业中的最高级别），以及当时最重要的建筑——哥特装饰华丽风格的八角形塔楼，又称辛博里奥（cimborio）。这座塔楼是大教堂中最高的塔楼，与中厅的灯笼相对应，呈八角棱形，内含一个正方形棱柱，棱柱的顶点上有四个塔楼。在八角棱柱的顶点上还耸立着八个较小的塔楼。八角形塔楼位于中殿的十字路口处，那里是Cid Campeador的坟墓所在。

从通向大教堂中厅的萨门塔尔立面的大门进入，可以更清楚地看到辛博里奥的几何形状。然后，就可以从内部看到塔楼的全貌。它是一个八角棱柱，由四个大圆柱支撑（图3）。中间有一个设计精巧的花环（图4）。

图3：拱顶

图4：逆光图案（左）；玫瑰花形的几何图案（右）

建造第一座塔楼的倡议来自路易斯·德·阿库尼亚主教，他在1460年提出了为中隔建造灯笼的想法。建筑大师是胡安·德·科隆尼亚（Juan de Colonia），他将当时德国的建筑趋势和方法融入其中。

1481年，胡安去世，他的儿子西蒙·德·科洛尼亚（Simon de Colonia）继续这项工程，并于1489年完成了塔楼的建造。不过，现在的辛博里奥塔与原来的塔并不一样。卡斯蒂利亚高原上的平原冬季气候恶劣，尤其是降雪和大风。积雪增加了塔的重量，从而使其重心失衡。这些情况导致它在1539年倒塌。

建筑师胡安·德·巴列霍（Juan de Vallejo）于1544年接管了修复工作，但他可能得到了西蒙（Simon）之子弗朗西斯科-德-科洛尼亚（Francisco de Colonia）的帮助，后者于 1542 年去世。德·巴列霍修复了塔楼，给柱子涂了一层涂料，并加大了底座的面积。这样他就降低了塔的细长度，即高度与地面支撑面之间的比例。塔楼于1573年完工，但在1642年，一场狂暴的飓风摧毁了辛博里奥的八个外塔，并严重损坏了周围的穹顶。1644年的一场大火也中断了修复工作。

最后，在1981年，另一场肆虐的暴风雨摧毁了穹顶的一些尖顶和装饰物。20世纪80年代修复大教堂的建筑师马科斯-里科-桑塔玛丽亚还减轻了覆盖层的重量，从而稍微降低了重心，保证了穹顶的稳定性。这位建筑师认为，“辛博里奥大教堂是另一座大教堂之上的一座大教堂”[Rico Santamaria 1985]。

塔的拱顶由越来越小的凸八边形组成，最后形成一个八角星形多边形。它将用“8/3”来表示，以指出它是由连接八边形八个规则间隔顶点中每三个点的直线构成的图形。另一颗星8/3的点出现在多边形的凹顶点上。最后一颗星的八个凹顶点可以用线段连接起来，形成一个八臂十字（见图 4）。

在拱顶上的两颗主星之外，还有各种三角形、梯形和相连的正方形，形成一个覆盖拱顶的格栅。小圆圈上雕刻着三叶形和希腊十字（见图 5）。

图5：拱顶的细节。

数学解释

正八边形的一个显著比例是用正八边形的第二条对角线除以正八边形的边长（图 6），得到 1+√2 或"白银"比例或数字，这里用θ表示（见 [Kappraff 1996] 和 [Spinadel 1998]）。第二种比例是用八边形的半径除以边长（图 7），得出 (√(2-√2))^-1，用c表示（见 [Redondo Buitrago 和 Reyes 2008a、2008b、2009]）。该比例被称为"科尔多瓦比例"，因为它是由西班牙建筑师拉斐尔·德拉·霍兹·阿德里乌斯（见 [Hoz 1976]）提出的，他对西班牙城市科尔多瓦的建筑进行了研究。θ和c的关系为c=√((1+θ )/2)或θ=√2c^2。

图6：白银矩形

图7：科尔多瓦三角形

注意，第二个(大的)玫瑰花结与第一个(小的)相似，因为它是由相似比c√2=θ/c的中央膨胀产生的(图8)。

图8：利用反射和膨胀构造拱顶

如果一个边长为θ/1的“银色”矩形绕其中心旋转45度，将得到一个内接于八边形的8/3星形多边形以及一个内八边形（图9）。

图9：旋转银色矩形

AB/CD之比就是白银比例θ。科尔多瓦三角形的两条相等边的旋转产生了同样的星形8/3（图10）。

图10：旋转科尔多瓦三角形

8/2 星形是用直线连接八边形八个间隔规则的顶点的每第二个点而形成的图形。在图 11 中，这个 8/2 星用红色绘制，刻在一个绿色八边形上。绿色八边形位于两个蓝色八边形之间，两个蓝色八边形的边构成了一个几何序列，其比例为 θ/c。

图11：钦博里奥和嵌套八边形中的8/2号星。

屋顶上还有两个嵌套的正方形，嵌在由一个科尔多瓦三角形和一个等腰直角三角形拼成的四边形中。这说明了一个几何性质：

给定由一个科尔多瓦三角形 PQR 和一个等腰直角三角形 QRS 结合而成的四边形 PQSR，公共边 QR 将正方形 ABCD 分成一个 √2 矩形和 一个1+θ=2c^2 矩形。两块的面积之比等于 θ（图 12）。

图12：四边形细节的比例。

当放置一个正方形，使其三个且只有三个顶点与科尔多瓦三角形ABC相交时，会得到另一个有趣的形状：绕其外心O旋转七次45°会产生一个类似星形网格的图案(图13)。它分裂成一个玫瑰花结和一系列四个嵌套的8/2星(图14)。

图13：星形网格的生成器

图14：星星的网格及其细分

将橙色和蓝色的星星放在花环的顶部，彩色玻璃装饰元素的最小方格被锁定在它们之间（图 15）。外围的两颗绿色和橙色星星构成了比例为√2/2的几何收缩，而内部的两颗蓝色和紫色星星则不属于这个序列（图 16）。

图15：拱顶的装饰元素

图16：收缩星星

蓝星的顶点H将线段BJ分成三个线段BH、HI和IJ，使得BH=IJ和BJ/HI=θ，因为BJ和HI分别是橙色八边形的第二条对角线和边，其长度与θ之比(图17)。当我们考虑半径AD和点B和c时，紫色的星起着类似的作用。这是泰勒斯的“截距”定理的直接结果，因为AF/FG=θ(图18)。

图17：蓝星和θ

图18：紫星和θ

通过添加更多的方格（见图 19 和 20），可以扩展科尔多瓦三角形的剖面，从而在一个超立方体中嵌入一个玫瑰花环，在玫瑰花环中嵌入一个超立方体，以此类推。图21显示了图案的分形特征。

图19：花环上的梯形和三角形

图20：科尔多瓦三角形的分形剖面图

图21：嵌套花环和超正方体

参考文献

HOZ, Rafael de la. 1976. La proporción Cordobesa. Actas de quinta asamblea de instituciones de

Cultura de las Diputacioness. Córdoba: Ed. Diputación de Córdoba. 、

KAPPRAFF K , Jay. 1996. Musical Proportions at the Basis of Systems of Architectural Proportions

both Ancient and Modern. Pp. 115-133 in Nexus: Architecture and Mathematics, Kim

Williams, ed. Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba. http://www.nexusjournal.com/conferences/N1996-Kappraff.html.

REDONDO BUITRAGO, Antonia and Encarnation REYES. 2008a. The Cordovan Proportion: Geometry, Art and Paper folding. Hyperseeing May-June 2008: 107:114. http://www.isama.org/hyperseeing/08/08-c.pdf.

———. 2008b. The Geometry of the Cordovan Polygons. Visual Mathematics 10, 4.

http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/redondo2009/cordovan.pdf

———. 2009. Cordovan Geometrical Patterns and Designs. Journal of ISIS-Symmetry: Art and

Science 1, 4: 68-71.

RICO SANTAMARÍA, Marcos. 1985. La Catedral de Burgos. Patrimonio del mundo

o. Burgos: Fournier.

SPINADEL, Vera. W. de. 1998. The Metallic Means and Design. Pp. 141-157 in Nexus II: Architecture and Mathematics, Kim Williams, ed. Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba.

http://www.nexusjournal.com/conferences/N1998-Spinadel.html.

青山不改，绿水长流，在下告退。

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