点、线、面——追随希尔伯特、康定斯基

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

康定斯基试图发展系统的绘画基本要素理论的关键一步是出版《点线面》一书。这本书间接受到本世纪初关于几何基本要素的讨论的影响，并在某种意义上与之相关。我们研究了康定斯基与几何学之间现有的一些联系，指出他看待线条生成的方式具有令人惊讶的“矢量场”内涵。

1923年，康定斯基在魏玛度过。在经历了第一次世界大战和俄国革命时期的中断后，他一回到德国就再次遇到了一些老朋友，如保罗·克利（Paul Klee）和阿列克谢·冯·雅夫连斯基（Alexej von Jawlensky）。他重新开始了1914年夏天在博登湖畔的戈尔达赫进行的一项计划：撰写他在1912年出版的前一本书《艺术中的精神》的发展。康定斯基的目标是为绘画基本要素的系统理论奠定基础，在对色彩进行处理之后，他考虑的是形状（在他的计划中，第三个组成部分是主题）。因此，他花了3年时间撰写了《Punkt und Linie zu Fläche- Beitrag zur Analyse der malerischen Elemente》一书。

这本书即使出版于1926 年，也是在20世纪初的氛围中诞生的，当时，不同文化圈（正如我们今天所看到的那样）之间的思想、关键词和隐喻的渗透十分激烈。

对于数学家来说，点、线、面等词在这种情况下会让人立即联想到几何学基础的系统化。1899 年，大卫·希尔伯特（David Hilbert）出版了《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）一书，这本书同时也是自帕施（Pasch）、皮耶里（Pieri）、帕多瓦（Padoa）、皮亚诺（Peano）等人以来对初等几何进行整理和公理化的漫长工作的最后一步，也是一个新纪元——形式化时代——的起点。希尔伯特在与弗雷格的争论中写道，对数学家来说，Punkte、Geraden 和 Ebenen 这三个词除了公理所强加的（逻辑）含义外，没有其他含义，可以用Tische、Stühle 和Bierseidel来代替。严谨和客观理论（用康定斯基的话说）的概念在数学和艺术中是不同的，康定斯基不会写出像《Tische und Stühle zur Bierseidel》这样的书。

事实上，重点在于另一点。希尔伯特的设定是关键的一步，它（由于其内在价值和作者的声望）改变了我们的思维方式和阐释数学的方式。另一方面，毫无疑问，在那些年里，关于这一主题的讨论是激烈而开放的。我们可以读一读庞加莱（Poincaré）对希尔伯特的《基础》一书所写的评论（几年后，他在《科学与数学》（Science et méthode）一书中几乎逐字逐句地重复了同样的观点）：

他似乎只对逻辑观点感兴趣。给定一连串命题，他验证所有命题都是从第一个命题推导出来的。第一个命题的基础是什么，它的心理起源是什么？他没有考虑到这一点……因此，它的工作是不完整的，但这不是我对他的批评。每个人都必须承认自己是不完整的。我只想说，他的著作对于数学哲学来说，是一个进步，可以与洛巴切夫斯基、黎曼、赫尔莫茨和李的进步相媲美。

在这两位数学巨匠之间的小小争论中，我们要强调的是，庞加莱说的是数学哲学的进步（而不是数学的进步）。费德里戈·恩里克斯（Federigo Enriques）于 1901 年发表了《几何公设的心理起源》（Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria）一文，试图研究几何公设的心理起源。

庞加莱的忧虑也具有教学性质：

那么，为了理解一种理论，仅仅验证自己所走的道路没有被障碍物打断是不够的。我们有必要了解选择这条道路的原因。如果我们想从一开始就赋予一种理论以它的最终形式，即无懈可击的逻辑所强加的形式，而不去追溯导致这种组织的任何附带条件，那么是否可以说我们理解了这种理论呢？不，我们不会真正理解它，我们也无法记住它，或者我们只能通过用心学习来记住它。

无论如何，即使我们今天很容易在希尔伯特形式主义和布尔巴基教学法的熏陶下，从数学的角度将点、线、面等实体的含义视为非问题，但康定斯基写作此书时的情况有所不同。如果我们成功地从希尔伯特的范式来看待问题，就更容易在正确的背景下理解康定斯基的工作。

首先是点。马里奥·皮耶里（Mario Pieri）是希尔伯特之前初等几何系统化的作者，在那个被认为更加优雅和完整的时代，他只使用了两个原始概念：点和刚性运动，直线被定义为派生概念（他顺便指出，也可以使用点和omography 作为原始概念，但从教学的角度来看，这将是一个轻率的选择）。皮耶里认为，我们不能不使用点的概念，因为它是所有几何构造的基础。康定斯基认为，点是绝对的简洁，它通过绘画创造线条。值得注意的是，希尔伯特本人在1894年曾写道：几何是基于我们所能做的最简单的实验，也就是基于绘画。点和线都是抽象概念，主要来自绘画经验，而非视觉或触觉经验。这些观点在另一本奠基性著作《Les étapes de la philosophie mathématique》中得到了发展，该书由莱昂·布伦施维奇（Léon Brunschvicg）撰写于1912年，正是《关于艺术中的艺术家》（Uber das Geistige in der Kunst）出版的那一年。Brunschvicg认为绘画实践是几何真理的起源。

恩里克斯在上文引述的《几何学假设的心理学启示》（Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria）一文中认为，点是空间概念表征的起始元素（他的认知方法是以点为基础的，根本不是态势学）——没有点，就不可能赋予几何实体以意义。

这些话题都很流行。弗朗斯·布伦塔诺（Frans Brentano）是一位非常有影响力的学者，他在给瓦拉蒂的一封信中讨论了欧几里得公理，暗中试图揭示点和直线等原始概念的本质。瓦拉蒂回答说：

几何的公理是什么？在我看来，如果不先行回答另一个问题，就不可能给出准确的答案：哪种方式最能使我们对空间性质的认识有序化，从而使它们成为数量有限的基本假设的结果？在可以实现这一目的的多种方法中，有些方法可能对某些特性更为可取，而另一些方法则对其他特性更为可取（例如，有些方法对假设的大量证据更为可取，而另一些方法则对假设的有限数量更为可取）。

在那些年里，抽象艺术界对数学家的“发现”很感兴趣，有时甚至着迷。普特奥小组的成员（库普卡、莱热尔、格莱泽斯、梅辛格、狄龙、杜尚、勒福索尼耶——或者至少其中有人）阅读了普安卡雷和一些爱因斯坦的作品，甚至试图在他们的作品中融入这些作品的一些暗示。例如，四维空间是一个反复出现的主题——我们必须记住，这是一个几何四维空间，与时空的混合是一个现代事实。与此同时，试图用图像表现运动的尝试也产生了与康定斯基的方法有关的结果。例如，我们可以看看库普卡，他用线条描绘物体的运动轨迹——点的运动产生曲线。

当然，这些艺术界人士同时也在阅读普安卡雷和布拉瓦茨基夫人的著作，但从某种意义上说，这也是那个时代的典型特征。康定斯基本人追随彼得·乌斯宾斯基（Peter Ouspensky），认为精神世界是一个多维结构——有人试图用几何学的新发现来解释超自然或超自然现象。有人展示了耶稣是如何通过四维空间进入所有门都关闭的餐厅的。

弗拉基米尔·列宁(！)在《唯物主义和经验主义》中攻击了庞加莱，因为他关于多维空间的理论为唯心主义者和唯心论者提供了论据。

无论如何，即使杜尚等艺术家的理论解释在今天看来显得幼稚（例如，当他试图解释绘画中的每个三维物体都是四维物体的投影时），其艺术效果，就像《La mariée mise à nu par ses célibataires》一样，也是非凡的。

康定斯基在书中研究了平面上一个点的运动问题，他的分析基本上是局部的。一个点受到两种拉力的作用，第一种是水平拉力，第二种是垂直拉力——这两种力的组成就是运动的方向。随着基本力强度的变化，这种构成每时每刻也会发生变化。这是一种非常“矢量化”的曲线生成思想，让我们想起了矢量场和积分曲线。

对康定斯基来说，线条并不是单点的简单结合。它们的连续性是强大而不可分割的。在某一特定时刻，他开始谈论移动点的标记。在恩里克看来，这正是曲线的心理起源，他将继续把曲面视为由曲线系统生成。相反，对于物理学家庞加莱来说，眼前的现实是三维的，我们通过超平面截面得到面和点。不过，请注意，康定斯基也说过，线的一个特征就是生成曲面。

这些点上的张力是由内在感知产生的。在此必须指出的是，康定斯基提出的这一形状理论是他得以脱离具象艺术的理论工具，同时又不失作为一般艺术结构构成要素的预言价值。如果我们放弃对物体的表现，如何保持艺术的预言功能？康定斯基的解决办法是转而表现内心的感知，这就造成了点与点之间的紧张关系。关于点和线，康定斯基谈到了灵魂体验。因此，线是由一个点在一个非各向同性的平面上从自身出来而产生的，在这个平面上，两个特定的方向（水平=温暖，垂直=寒冷）具有不同的含义。因此，康定斯基寻求绘画基本元素的内在生成，恩里克斯则寻求相同元素的心理基础。

康定斯基用更现代的话说，在抽象思维中，在我们的“观念”中（不管这种说法的含义是什么），点是理想的小，理想的圆，就像一个无限小的圆，当我们画出它时，它就具体化了：他所涉及的就是今天所说的形象方面和概念方面之间的辩证关系。康定斯基书中再现的点的不同形状被称为基本特征的相对色彩变化，而基本特征是不可改变的。

最后一点。当我们将康定斯基的观点与学生在课堂上处理几何图形的最初构造时的言行进行比较时，就会发现他的观点具有令人惊讶的解释力。例如，当然有水平方向和垂直方向，但通常还有对角线方向，即与水平方向和垂直方向成 45◦角的方向。其他线条只是与对角线或多或少的偏差。为什么孩子们要区分水平线和垂直线？这是很自然的；但为什么当他们处理欧几里得几何或形式推理时，这种直观的非各向异性仍然会影响他们呢？为什么他们会说“竖起来的长方形”，或者他们不能识别非正则位置上的梯形？这些都是数学教学中众所周知的问题。

康定斯基认为有三个基本角度：直角、锐角（=45◦）和钝角（=135◦），其他角度只是这些角度的变体，具有不同的个性。康定斯基的分析有助于我们理解，为什么对许多学生来说，不受物体或画布位置的影响而进行几何创作是如此困难。

康定斯基用他的艺术力量告诉我们，几何元素在图形上的表现充满了意义和轻描淡写，在心理上是非中性的。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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