天津
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
在撒拉逊艺术中使用的复杂直线纹样，有一类可称为"阿拉伯几何纹样"，其绘制方法很奇特，数学家可能会感兴趣。
图1所示为这类复杂图案的"重复"。重复图案的中心是一颗十六射线的星。在重复图案的四个角上，各有四分之一颗这样的星。图的左下方显示了构造线，通过这些构造线可以很容易地绘制出这种图案。这些以单线显示的构造线由一些多边形组成。每个多边形的每条边的中心都有两条图案线交叉。通过观察可以很容易地看出这些图案线的绘制方法。进入构造八边形的图案线平行于其半径绘制。进入其他多边形的图案线则相互平行，以此类推。
图1
唯一的困难在于绘制多边形。我们必须从八边形开始。具体步骤如下。点 B 是重复平面的中心。将角 ABC 分成四等分，用虚线表示。对角 ACB 也做同样的处理。其中两条虚线相交于 E，那么 E 就是所需的八边形的中心。另一个交点在 D 处，那么 ED 线就是八边形的半径。如图左侧所示，其他多边形是通过延长八边形的半径形成的。16 边形是图案中 16 条射线星星的基础，它的具体尺寸并不重要。如果标出的 GH 等于 AF，那么 BH 或 BH 左右就是 16 角形的半径。
图 2 显示了这种图案的一个奇特变化。重复图案的四角分别由四角十六射线星组成，但类似的星却从图案中心消失了。如图左下方所示，除了四角十六宫格外，结构线还包括八角形、长方形和不规则七角形。首先，从上一个图案中相同的中心开始绘制两个大小相同的八边形。但每个八边形只画四条边，例如 CD、DE、EF 和 FG。在 L 和 M 处重复这些完整的八边形，将这些八边形的对角连接起来，从而形成长方形 N 和 P。在 R 和 S 处重复这些不规则的七角形。完成这些构造线后，就可以用与之前相同的方法绘制图案了，无需进一步说明。
图2
图 3 展示了阿拉伯工匠独具匠心的一个奇特例子。这个图案的重复部分是一个正方形。四个角上各有一颗二十射线星的四分之一。重复图案的中心是一颗十二角星。将角 NBE 分成五等分，如虚线所示。然后画出一个半径为 BF 的二十边形的四分之一和一个半径为 EF 的十二边形。
图3
这些大多边形在 G 和 H 处有两条边重叠。在这个空间中画一个尽可能规则的七边形，它的三个角要触及多边形相邻边的中心。这样画出的七边形就是图案的一部分。与通常的做法相反，在绘制图案的其余部分时，不再使用多边形的边。从中心点 E 和 B 开始，绘制两个圆，这两个圆在 G 和 H 之间的中间点相交。通过这些圆与半径相交的每一点，绘制一对图案线。在这些圆内画出稍小的圆，圆的大小需要猜测，这些圆以虚线表示。在这些圆与半径相交处的两侧，用圆点标出一些点。这些点与线间的确切距离并不重要。在 R 和 S 处还需要较小的圆。它们的具体尺寸并不重要，只需猜测即可。进行这些猜测时要注意的一点是，图案空间应尽可能规则。如果不可能实现径向对称，至少也要实现左右对称。
所有这些图案的一个特点是，两条线在一个点上交叉，但一个点绝不是几条线的交汇点。因此，每条直线在帮助限制一个图案空间后，又会继续帮助限制另一个图案空间。因此，图案的不同部分是相互依存的。这种相互依存的外观可以通过线条的交错来增加美感。
通常情况下，如图 1 和图 3 所示，每条花纹线从重复边上的任意一点开始，沿着之字形路线穿过图案，直到到达边上的其他点。但在某些情况下，如图 2，一些图案线标出了封闭的区域。我无法从结构线看出完成后的图案中是否会有这样的封闭区域。
在这里描述的图案中，图1和图2来自阿尔罕布拉宫的一个圆顶（参见Remains in Spain; the Alhambra, by A. E. Calvert），图3参见Bourgoin, Les Elements de l'Art Arabe。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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