四维空间中的透视与幻觉：埃舍尔《画廊》中的德罗斯特效应

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文阐明了一种网格的存在——四维埃舍尔网格。这种网格使用四维空间中的透视来产生德罗斯特效应，参考埃舍尔作品《画廊》中固有的埃舍尔网格。考虑到埃舍尔网格是二维的，推测为四维人产生德罗斯特效应的网格本身可以在三维空间中产生。由于网格可以解释为基于通过旋转和扩展埃舍尔网格的正方形而获得的图形，因此可以解释为四维埃舍尔网格是通过旋转和扩展立方体而获得的图形。为了生成四维埃舍尔网格，首先提到了嵌套、透视和维度之间的关系，并且揭示了存在具有增加的消失点维度的“消失线”。埃舍尔网格中正方形的旋转轴是画的消失点，该点是二维平面上关于x和y对称的点。考虑到这一点，可以看出消失线，也就是四维埃舍尔网格的旋转轴，是在三维空间中x、y、z方向上与立方体对称的线，也就是立方体的体对角线。综上所述，可以说四维埃舍尔格子的底是一个立方体绕身体对角线轴旋转展开得到的图形。

1导言

1.1德罗斯特效应（Droste effect）

德罗斯特效应是一种图片递归出现在自身内部的效果，出现在现实中预期会出现类似图片的地方，是自参照系统令人眩晕的循环的视觉示例。图像的大小随着每次迭代以几何方式减小，因此只要图像分辨率允许，它就会继续。图像的大小随着每次迭代以几何方式减小，因此只要图像分辨率允许，它就会继续。

1.2 埃舍尔的作品

荷兰版画艺术家埃舍尔（M.C. Escher）也有一幅利用德罗斯特效应的欺骗性绘画作品（图1）。画廊里有一个正在看画的年轻人。当你观察这个年轻人观看的画面时，你会发现这个人本身就是画面的一部分。

图1：M.C.埃舍尔的《画廊》，1956 年。

之所以会出现这样的效果，是因为有一种叫做“埃舍尔网格”的原始网格创造了德罗斯特效应，这张图就是基于它绘制的(图2)。

图2：埃舍尔网格

在每个方格之后，每个较小的方格都被转移到相应的放大方格中。通过这种方法，屏幕的放大可以自动完成。具体来说，图3-a中的矩形 KLMN 被转换成图3-b中的 K'L'M'N'。

图3：埃舍尔网格的具体例子，引自[1]

1.3推理

埃舍尔在一个二维网格上绘制了一个具有德罗斯特效应的神秘三维空间。这意味着有可能在我们的空间中创建一个三维网格，使四维人产生德罗斯特效应。为简单起见，将埃舍尔网格曲线近似为一条直线。实际上，埃舍尔最初试图使用直线，但最终凭直觉决定使用曲线。使用这种方法，原始正方形可以更忠实地保留其原始形状（图4）。

图4：埃舍尔网格的初始和演化类型

认为图像失真是因为四边形的形状通过将曲线近似为直线而失真，但是可以认为德罗斯特效应的本质部分没有丢失。然后，这个网格被解释为通过围绕消失点旋转和扩展一个正方形而获得的网格(图5)。

图5：直型埃舍尔网格

此时，我们三维人可以感知网格本身，但无法感知像埃舍尔这样的人在基于“四维埃舍尔网格”的四维空间中制造的三维空间，就像生活在平地上的二维人无法感知埃舍尔绘画的幻觉一样。作为一个三维人，我能做的就是画这个格子，其中的乐趣只有四维人才知道。

2创建四维埃舍尔网格的方法

2.1嵌套、透视和维度之间的关系

作为生成四维埃舍尔网格的过程，必须首先描述嵌套、透视和尺寸之间的关系。从二维角度看，图6看起来像一个正方形中的正方形，但是因为我们也有三维视角，所以看起来像是从上面看盒子。这是一个透视感知，一个消失点出现在盒子底部的中心。二维中的“内部”在三维中变成了“背面”。这里重要的是你有能力在不同的维度上感知同一个图形。

图6：二维嵌套

然后，当增加维度时，正方形中的正方形变成立方体中的立方体(图7)。我们只能感觉到“里面”，但四维的人一定能感知到这是“后面”。此时，既然维度更高，那么“消失点(零维)”就应该是“消失线(一维)”。考虑到正方形中的消失点是在x和y方向上与正方形对称的二维点，消失线是在x、y和z方向上与立方体对称的三维线，并且正好是立方体的对角线。

图7：三维嵌套

2.2四维埃舍尔网格的生成过程

四维埃舍尔网格是通过旋转和放大立方体的对角线作为旋转轴来近似描述的图形（图8）。放大和导出的数量是任意的，因为它与埃舍尔网格绘制的细分程度相同，这是一个类似的数字。

图8：旋转和扩展立方体的过程

图9展示了离散描述立方体旋转膨胀的结果。

图9：旋转和扩展立方体的模型

考虑到通过增加图5的维度来创建四维埃舍尔网格，精确的图形是其中图9中生成的每个立方体的每个边都被延伸的图形。这里，整体复杂且难以理解，一部分被放大显示(图10)。

图10：四维涡流效应模型的一部分

旋转和展开一个立方体是一个极其简单的过程，但是通过把它的旋转轴设置为x，y，z三个参数的立方体对角线，就产生了一个不可想象的。这说明我们还缺乏对三维空间的把握能力，而这个图形与四维空间相连是非常有趣的。

参考文献

1. Ernst, B., Toverspiegel, D., van Escher, M.C.: English translation by J.E. Brigham: The Magic Mirror of M.C. Escher. Ballantine Books, New York (1976)

2. Abbott, E.A.: Flatland: A Romance of Many Dimensions. Seeley & Co. (1884)

3 Ikko Yokoyama, Perspective and Illusion in Four-Dimension: Droste-Effect in Four-Dimension Based on Escher’s Work

青山不改，绿水长流，在下告退。

转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。

扫一扫，关注微信公众号“宇宙文明带路党”