手把手教你网格作图——2023年天津市中考数学第18题

手把手教你网格作图

2023年天津市中考数学第18题

在进行网格作图之前，我们有必要先回顾尺规作图的基本方法，包括作图原理，毕竟网格作图仍然是基于尺规作图原理，网格是由大小完全相同的正方形排列而成，它的基本构成是网格线和格点，其中网格线之间的关系为平行或垂直，相邻网格线间的距离相等，网格线的交点为格点，通常情况下，网格会有大小限制，并非无限延伸.

近年来网格作图题在全国各地中考都有呈现，尤其是天津市网格作图题，被喻为难度天花板，武汉市(非省考)中考数学第21题也是网格作图，且该题区分度一直优秀.

题目

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

（1）线段AB的长为_________；

（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

解析：

01

(1)AB=√29；

02

(2)先简要分析图中已有几何元素，等边△ABC，其中A、B在格点处，它有一个外接圆，点D在这个圆上，点P在AB边上，然后我们从尺规作图角度来看点Q的位置与各元素间的关联，如下图：

若以尺规作图，以C为顶点，CP为边作等边△CPQ，连接BQ、BD，立刻出现一对全等三角形，△APC≌△BQC，若我们能够构造出这样一对全等三角形，那么很容易得到等边△CPQ，并且这一对全等已经具备了一个必要条件即AC=BC；

逆向思考：我们可求出∠CBQ=60°，于是∠ABQ=120°，可证BQ∥AC，于是若能过点B作AC的平行线，则可得到全等的第二个必要条件∠CBQ=∠A；

再连接BD，过点A作AE∥BD，交圆于点E，由同弧所对圆周角相等，得∠ACP=∠BCQ，这是全等的第三个必要条件；

根据以上推导，我们可得到一个找到点Q的方法，构造△ACP≌△BCQ，分别过点B作AC的平行线BQ，再过点A作BD的平行线AE，则CE延长后与BQ相交于点Q.

回到网格图里，我们分别研究这两条平行线的作法：

①过点B作AC的平行线

突破口在线段AB与网格线的交点G，它是线段AB与网格线的交点，特殊之处在于，它是AB中点，也是网格中小正方形边长的中点(这很重要！)，我们可以通过构造全等三角形来证明这个结论；

此时的点G，已经成为部分网格的对称中心，如下图：

我们观察这两个关于点G中心对称的正方形网格，其中AC与网格线的交点E恰好在左侧正方形中，如果我们连接EG并延长，一定可以与对应小正方形的边交于点F，如下图：

只要再连接BF，立刻便得到了一对全等三角形，△AEG≌△BFG，就可以证明BF∥AC，只要再延长FB，就完成了这一步的任务；

②过点A作BD的平行线

过点A作BD的平行线，方法与前面类似，如下图：

仍然利用点G在网格中的特殊地位，取BD与网格线交点K，连接KG并延长，找到它的中心对称点K'，再连接AK'并延长，交圆于点M，根据图中构造的全等三角形可证AM∥BD；

连接CM并延长，交射线FB于点Q，连接PQ；

作图依据：由于AM∥BD，且它们在圆内都是弦，所以它们所夹的弧相等，这两段弧所对的圆周角也相等，于是∠ACP=∠BCQ，再由前一步骤中BF∥AC，得到∠ABQ=120°，减掉∠ABC之后，得∠CBQ=60°，所以∠CAP=∠CBQ，再加上AC=BC，可证△ACP≌△BCQ，如下图：

所以CP=CQ，现在只剩下最后一个需要验证的问题，即∠PCQ是否为60°？

由AM∥BD，可得∠CNM=∠D=60°，由同弧所对圆周角相等，可得∠CMN=∠ABC=60°，所以∠CPQ=60°.

保留全部作图过程后，如下图：

解题思考

本题最难想到的是点G的用途，它不仅是线段AB的中点，更可以看作是一部分网格的对称中心，至于是哪部分网格，根据需要取舍，可以是2个、4个甚至更多网格的对称中心；

仍然以作AC的平行线为例，如下图：

同样在作BD的平行线的时候，也存在多种作法，如下图：

线段BD与网格线的交点，除一个之外，其余均可用于构造全等三角形，从而作出BD的平行线，有兴趣的读者可以思考，哪个点不行，为什么？

网格作图极考验学生的几何综合能力，利用网格构造所需的几何图形，必须对各类基本图形如全等三角形、平行四边形、圆等概念理解透彻，才有可能在作图过程中想到去构造它们.

我们需要认识到网格作图与尺规作图间紧密的联系，让学生意识到尺规作图的重要性，并且理解作图依据，这是核心任务；并在平时就设计相应的数学活动，让学生逐渐学会用网格代替部分尺规操作，在网格环境下重新理解作图依据.