湖北
安检中的数学
2025年深圳中考数学第19题
在2022版新课标中，对于数学综合与实践的要求，进一步提高，小学阶段的综合与实践领域，主要是以主题式学习的形式，让学生感悟自然界和生活中的数学，在获取知识的同时，激发学习数学的兴趣。初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐述社会生活以及科学技术中遇到的现实问题。
在日常生活中，排队安检是极为常见的场景，高铁站、飞机场、长途客运站、地铁站、船码头等，当我们用数学的眼光观察时，会发现排队人数、安检通道、安检时间、总人数等量之间，存在某种关联，而描述这种关联所用到的函数，是数学基本且重要的概念，改变影响函数的参数，观察分析函数发生的变化，都是我们在综合与实践课堂上应该和学生共同经历的过程。
题目
综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景。如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安检通道数之间的关系。
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人。
【模型建构】
若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y=-x²+60x+100(0≤x≤30)，结合上述信息，请完成下述问题：
(1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为_____________
【模型应用】
(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
解析：
01
(1)根据研究条件2“平均每条通道每分钟可安检6人”，得3条安检通道x分钟可入场18x人，再根据“排队人数=现场总人数-已入场人数”的关系，得排队人数w=y-18x=-x²+42x+100；
02
(2)将前面所得w与x的二次函数关系式化为顶点式为：w=-(x-21)²+541，所以排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
03
(3)仍然根据研究条件，若有n条安检通道，则排队人数w与安检时间x之间的函数关系为w=-x²+(60-6n)x+100，它的对称轴是x=30-3n，因此30-3n≤10，解得n≥20/3，而n为整数，故n=7.
解题思考
本题取材于生活中的真实情境——排队，研究排队人数、安检时间、安检通道数之间的关系，题目并没有要求学生独立建模，而是给出了模型的大部分，再让学生完善，从而降低了题目难度，让更多学生可以上手.
在综合与实践教学中，我们需要帮助学生用数学眼光去“读”懂题目描述，当我们建立的模型是二次函数时，头脑中首先应该出现的是它的函数图象——抛物线，开口向下；
在这个理解的基础上，再去看模型应用中“第几分钟达到最大值”，对应的函数图象性质中顶点坐标的意义，就容易找到解题思路，本题实际上比较简单，因为最难的部分是建模，题目已经帮助完成了大半，只需要学生完成简单应用。
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